信号系统傅里叶变换专业知识讲座.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。,3.1 引言,本章将以,正弦信号,和,复指数信号,为基本函数，任意信号将分解为一系列,不同频率,的正弦信号或复指数信号之和或积分。,由,时域分析,转入,变换域,（本章为,频域,）分析,一、频域分析,从本章开始由,时域,转入,变换域,分析，首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（,频域分析,）。将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。,频域分析将,时间变量,变换成,频率变量,，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。,二、主要内容,本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅里叶变换，建立信号频谱的概念。,通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步掌握傅里叶分析方法的应用。,对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅里叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式。,本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。,3.2,周期信号的傅里叶级数分析,一、三角函数形式的傅里叶级数,由积分可知,1,、三角函数集,是一个完备的正交函数集,t,在一个周期内，,n,=0,1,.,在满足,狄利克雷条件,时，可展成,直流分量,余弦分量的幅度,正弦分量的幅度,称为,三角形式,的,傅里叶级数,，其系数,2,、级数形式,狄利克雷（,Dirichlet,）,条件,(3)在一周期内，信号绝对可积。,(2),在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。,(1)在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。,求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式。,周期锯齿波的傅里叶级数展开式为,t,(,),t,f,A,/,2,2,1,T,2,1,T,-,解：,余弦形式,正弦形式,通常，把角频率为,1,的分量称为,基波,，角频率为2,1,，3,1,，等分量分别称为,二次谐波,、,三次谐波,等。,可画出,频谱图,。,周期信号频谱具有,离散性,、,谐波性,、,收敛性,。,3、幅度频率特性和相位频率特性,关系曲线称为,幅度频谱图,，简称,幅度谱,；,关系曲线称为,相位频谱图,，简称,相位谱,。,1,w,w,1,3,w,n,c,0,c,1,c,3,c,O,1,w,1,3,w,w,p,n,j,O,幅度频谱,相位频谱,二、指数形式的傅里叶级数,1,、级数形式,f(t),的,指数形式,傅里叶级数,说明,：,2、幅度频率特性和相位频率特性,相频特性,幅频特性,复数频谱,双边频谱,n,(-,),|,F,n,|,n,当,F,n,为实数时，可用,F,n,的正负表示,n,的0、,，因此常把幅度谱和相位谱合画在一张图上；,负频率的出现完全是数学运算的结果，并没有任何物理意义，只有将负频率项和相应的正频率项成对合并起来，才是实际的频谱函数。,则,三角函数形式,的傅里叶级数的,谱系数,三角函数形式的,频谱图,1,w,w,1,c,0,c,2,c,1,2,w,O,24,.,2,1,1,n,c,1,2,w,25,.,0,15,.,0,-,O,1,w,w,n,j,解：,（1）将,f,(,t,),化为余弦形式,（2）将,f,(,t,),化为指数形式,则,指数形式,的傅里叶级数的,谱系数,整理，得,谱线,指数形式的,频谱图,1,2,w,5,.,0,O,1,w,w,1,w,-,12,.,1,1,2,w,-,12,.,1,5,.,0,1,(,),1,w,n,F,1,2,w,25,.,0,15,.,0,-,O,1,w,w,1,w,-,15,.,0,1,2,w,-,25,.,0,-,n,j,三角形式与指数形式的频谱图对比,三角函数形式的频谱图,指数形式的频谱图,1,w,w,1,c,0,c,2,c,1,2,w,O,24,.,2,1,1,n,c,1,2,w,25,.,0,15,.,0,-,O,1,w,w,n,j,1,2,w,5,.,0,O,1,w,w,1,w,-,12,.,1,1,2,w,-,12,.,1,5,.,0,1,(,),1,w,n,F,1,2,w,25,.,0,15,.,0,-,O,1,w,w,1,w,-,15,.,0,1,2,w,-,25,.,0,-,n,j,三、函数的对称性与傅里叶系数的关系,信号波形相对于纵轴是对称的,1,、偶函数,则,),(,t,f,L,L,O,t,T,E,T,-,),(,t,f,L,L,O,t,T,T,-,1,1,-,2,、奇函数,则,注：若在奇函数上加以直流成分，则它不再是奇函数，但在其级数中仍不会含有余弦项，而仅含正弦项和直流项。,则,f,(,t,),的傅氏级数偶次谐波为零，即,),(,t,f,L,L,O,t,T,T,-,2,T,若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变化，则称,奇谐函数,。,3,、奇谐函数,4,、偶谐函数,则,f,(,t,),的傅氏级数奇次谐波为零,),(,t,f,L,L,O,t,1,T,1,T,-,2,1,T,-,2,1,T,一般函数可分解为奇函数和偶函数之和，则其分别展开成傅里叶级数再相加，有时可使运算过程简化；,在允许的情况下，可以移动函数的坐标使波形具有某种对称性，以简化运算。,利用信号,f(t),的对称性，定性判断图中各周期信号的傅里叶级数中所含的频率分量。,(,a),(,b),(,c),解：,(,a),(,b),(,c),周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分量有效值的平方和，即，,时域和频域的能量是守恒的,。,四、周期信号的功率,这是,帕塞瓦尔定理,在傅里叶级数情况下的具体体现。,绘成的线状图形，表示 各次谐波的平均功率随频率分布的情况，称为,功率谱系数,。,误差函数,方均误差,五、傅里叶有限级数与最小方均误差,傅里叶级数所取项数愈多，相加后波形愈逼近原信号,f,(,t,)，,两者的方均误差愈小；,f,(,t,),波形变化愈剧烈，所包含的高频分量愈丰富；变化愈缓慢，所包含的低频分量愈丰富；,当信号中任一频谱分量的幅度或相位发生相对变化时，输出波形一般要发生失真。,说明,：,3.3 典型,周期信号的傅里叶级数,一、周期矩形脉冲信号,1,、傅里叶级数,),(,t,f,2,t,-,t,1,T,1,T,-,E,2,t,O,（1）三角函数形式的,傅里叶级数,（2）指数形式的,傅里叶级数,2,、频谱图,说明,：,零点间谱线数目增加，收敛性变缓。,带宽与脉宽成反比。,系统的通频带信号的带宽，信号才能不失真。,对于一般周期信号，将幅度下降至 的频率区间定义为频带宽度。,3,、对称方波信号,偶函数,奇谐函数,二、周期锯齿脉冲信号,三、周期三角脉冲信号,四、周期半波余弦信号,五、周期全波余弦信号,3.4,傅里叶变换,一、频谱密度函数,1,、引出,再用,F(n,1,),表示频谱已不合适，引入“,频谱密度函数,”。,F(,),称为,频谱密度函数,，简称,频谱函数,。,2,、傅里叶变换,若,f(t),是实函数，则,3,、傅里叶逆变换,二、傅里叶变换的物理意义,若,f(t),是实函数，则此项=0,三、傅里叶变换存在的条件,可见，所有的能量信号均满足此条件。,当引入,(,t),函数的概念后，可将傅里叶变换的函数类型大大扩展了。,3.5 典型非周期信号的,傅里叶变换,一、单边指数信号,O,w,(,),w,F,a,1,w,O,(,),w,j,2,-,2,二、双边指数信号,三、矩形脉冲信号,E,O,(,),t,f,t,2,t,2,t,-,w,(,),w,F,t,E,t,2,O,t,4,t,2,-,四、钟形脉冲信号（高斯脉冲）,O,t,f,(,t,),E,波形与频谱具有相同的形状，均为钟形。,五、直流信号,因为,f(t),不满足绝对可积条件，所以不能直接用定义求。,求解方法,：,六、符号信号,因为,f(t),不满足绝对可积条件，所以不能直接用定义求。,求解方法,：,w,2,w,),(,w,F,O,O,w,2,2,-,(,),w,j,七、升余弦脉冲信号,O,t,E,(,),t,f,t,-,t,2,E,2,t,-,2,t,O,(,),w,F,t,E,t,2,t,E,t,2,t,3,t,4,w,其频谱比矩形脉冲的频谱更集中。,3.6 冲激函数和阶跃函数的,傅里叶变换,一、冲激函数的傅里叶变换,1,、冲激函数的傅里叶变换,2,、冲激函数的傅里叶逆变换,二、冲激偶的傅里叶变换,推论,：,三、阶跃函数的傅里叶变换,u(t),不满足绝对可积条件，不能直接用定义求。,求解方法,：,3.7,傅里叶变换的基本性质,一、对称性,推论,：,二、线性,三、奇偶虚实性,1,、,f(t),是实函数,2,、,f(t),是虚函数,四、尺度变换特性,五、时移特性,推论,：,解：,六、频移特性,证明：,七、微分特性,解：,证明：,八、积分特性,解：,推论,：,解：,3.8,卷积特性（卷积定理）,一、卷积定理,1,、时域卷积定理,2,、频域卷积定理,二、应用,1,、用时域卷积定理求频谱密度函数,解：,2,、求系统的响应,3.9,周期信号的傅里叶变换,一、正弦、余弦信号的傅里叶变换,0,w,-,0,w,w,(,),(,),(,),w,F,O,0,w,-,0,w,w,(,),(,),(,),w,F,o,w,0,w,0,w,-,(,),w,j,2,p,2,p,-,o,二、一般周期信号的傅里叶变换,1,、由傅里叶级数的系数,F(n,1,),求傅里叶变换,F(),2,、由单脉冲的,傅里叶变换,F,0,(),求周期脉冲序列的,傅里叶级数的系数,F(n,1,),三、周期单位冲激序列的傅里叶变换,t,(,),t,T,d,(,),1,(,),1,(,),1,(,),1,(,),1,1,T,1,T,-,1,2,T,1,2,T,-,L,L,o,(,),1,w,n,F,1,1,T,1,w,1,2,w,1,w,-,1,2,w,-,L,L,w,o,(,),1,w,L,L,(,),1,w,(,),1,w,(,),1,w,(,),1,w,1,2,w,1,w,1,w,-,1,2,w,-,w,(,),w,F,o,四、周期矩形脉冲序列的傅里叶变换,(,),t,f,1,T,t,o,1,T,-,L,L,2,t,2,t,-,E,3.10,抽样信号的傅里叶变换,一、抽样,利用抽样脉冲序列,p(t),从连续信号,f(t),中“抽取”一系列的离散样值，称为“,抽样,”。,这种离散信号称为“,抽样信号,”，以,f,s,(t),表示。,需解决的问题,二、时域抽样,1,、理想抽样（周期单位冲激抽样）,t,f,(,t,),o,t,p,(,t,),o,T,S,E,t,f,S,(,t,),o,T,S,o,o,o,w,(,),w,F,(,),w,P,w,s,w,s,w,-,(,),s,w,(,),w,s,F,w,s,1,T,1,m,w,m,w,-,m,w,s,w,s,w,-,相,乘,卷,积,(1),L,L,L,L,L,L,L,L,o,(,),w,s,F,w,s,1,T,m,w,s,w,s,w,-,L,L,2,、矩形脉冲抽样,t,f,(,t,),o,t,p,(,t,),o,t,T,s,E,t,o,T,s,o,o,o,w,(,),w,F,(,),w,P,w,t,2,s,w,s,w,-,s,tw,E,(,),w,s,F,w,s,T,E,t,1,m,w,m,w,-,m,w,s,w,s,w,-,相,乘,卷,积,(,),t,f,s,o,(,),w,s,F,w,s,T,E,t,m,w,s,w,s,w,-,三、频域抽样,t,f,(,t,),o,t,o,t,f,1,(,t,),o,o,o,w,(,),w,F,(,),w,d,w,1,T,-,w,1,1,w,1,m,t,m,t,-,m,t,相,乘,卷,积,(,1,),L,L,L,L,L,L,L,L,),0,(,F,1,w,1,w,-,1,2,w,1,2,w,-,o,1,w,1,w,-,1,2,w,1,2,w,-,),0,(,F,(,),w,1,F,),(,1,1,t,T,d,w,1,T,t,1,T,-,1,T,1,1,w,(),3.11,抽样定理,一、时域抽样定理,问题,如何从抽样信号中恢复原连续信号？,在什么条件下才可以无失真地完成这种恢复作用？,时域抽样定理,t,f,(,t,),o,o,w,(,),w,F,1,m,w,m,w,-,t,f,S,(,t,),o,T,S,o,(,),w,s,F,w,s,1,T,m,w,s,w,s,w,-,L,L,L,L,m,s,w,w,-,t,f,S,(,t,),o,T,S,o,(,),w,s,F,w,s,1,T,m,w,s,w,s,w,-,L,L,L,L,“,奈奎斯特（,Nyquist）,频率,”；,“,奈奎斯特间隔,”。,二、频域抽样定理,频域抽样定理,