工程力学—刚体定轴转动微分方程.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,6,刚体绕定轴转动的微分方程,刚体绕定轴转动的微分方程,刚体对轴的转动惯量,6.1,刚体绕定轴转动的转动微分方程,设刚体绕定轴,z,以角速度,转动，角加速度为,。假设刚体是由无数个质点所组成的，对每个质点，可根据质点动力学基本方程：,令,I,z,m,i,r,i,2,称为刚体对,z,轴的,转动惯量,于是得,x,y,z,F,y1,F,y,2,F,n,F,1,F,2,M,i,r,i,F,x,2,F,x,1,F,z,2,刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体上的外力对该轴之矩的代数和。以上各式均称为,刚体绕定轴转动的微分方程,。应用刚体定轴转动的微分方程可以解决动力学两类问题。,或,在应用上式进行计算的过程中，注意此式只适用于单个物体，如果是一个物体系统，必须将其分开来进行研究。,由前知，刚体对轴,z,的转动惯量定义为：,刚体上所有质点的质量与该质点到轴,z,的垂直距离的平方乘积的算术和。,即,对于质量连续分布的刚体，上式可写成积分形式,由定义可知，转动惯量不仅与质量有关，而且与质量的分布有关；在国际单位制中，转动惯量的单位是,:,kg,m,2,。同一刚体对不同轴的转动惯量是不同的，而它对某定轴的转动惯量却是常数。因此在谈及转动惯量时，必须指明它是对哪一轴的转动惯量。,6.2,刚体对轴的转动惯量,1.,均质细杆,6.2.1,简单形状物体的转动惯量,z,1,d,x,x,x,C,z,d,x,x,x,O,l,设均质细杆长,l,，质量为,m,，取微段,d,x,则,2.,均质薄圆环对于中心轴的转动惯量,设细圆环的质量为,m,，半径为,R,。则,3.,均质圆板对于中心轴的转动惯量,设圆板的质量为,m,，半径为,R,。将圆板分为无数同心的薄圆环，任一圆环的质量为,d,m,r,2,p,r,d,r,r,m,/,p,R,2,于是圆板转动惯量为,在工程上常用回转半径来计算刚体的转动惯量，其定义为,如果已知回转半径，则物体的转动惯量为,回转半径的几何意义是：假想地将物体的质量集中到一点处，并保持物体对轴的转动惯量不变，则该点到轴的距离就等于回转半径的长度。,对于几何形状相同的均质物体，其回转半径相同。,6.2.2,回转半径,(,惯性半径,),定理：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积，即,6.2.3,平行移轴定理,z,1,d,x,x,x,C,z,d,x,x,x,O,l,例,1,如图所示，已知均质杆的质量为,m,，对,Z,1,轴的转动惯量为,I,1,，求杆对,Z,2,的转动惯量,I,2,。,解：由 ，得,(1),(2),得,z,z,1,z,2,a,b,C,例,2,均质直角折杆尺寸如图，其质量为,3,m,，求其对轴,O,的转动惯量。,解,：,本章结束,