Matlab教学-MATLAB线性变换及其特征.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,Lecture 6,Linear Algebra with MATLAB,线性变换及其特征(MATLAB),1/40,线性代数很,抽象,吗？,你应该感到它概念都以,形象,作基础。,线性代数很,冗繁,吗？,你应该知道它计算全有,简明,程序。,线性代数很,枯燥,吗？,你应该发觉它应用极其,精彩,而广泛,。,经过主要方法是利用软件工具空间绘图能力、快捷计算能力和大量工程问题解，建立学习线性代数目标和热情。,Linear Algebra with Applications using MATLAB,2/40,Lecture 6,Linear Algebra with MATLAB,1 平面上线性变换几何意义,2 二维矩阵特征值几何意义,3/40,1 平面上线性变换几何意义,例1 设x为二维平面上第一象限中一个单位方块，其四个顶点数据可写成,把不一样A矩阵作用于此组数据，能够得到各种多样结果yi=Ai*x。用程序实现变换计算，并画出x及yi图形：,x,0,1,1,0;0,0,1,1;,subplot(2,3,1),fill(x(1,:),0,x(2,:),0,r),A1,1,0;0,1,y1,A1*x,subplot(2,3,2),fill(y1(1,:),0,y1(2,:),0,g),4/40,5/40,几个变换行列式与特征值,6/40,看出基本关系,能够看出，矩阵A1使原图对纵轴生成镜像，矩阵A2使原图在横轴方向膨胀，矩阵A3使原图在纵轴方向压缩，矩阵A4使原图向右方剪切变形，矩阵A5使原图沿反时针方向旋转t,pi/6。分别计算出这五个矩阵行列式和特征值;,对二维空间（平面），一个变换所造成图形面积改变，取决于该变换行列式。A1，A4和A5行列式绝对值都是1，所以它们不会使变换后图形面积发生改变。而A2和A3行列式分别为1.5和0.2，,7/40,2 二维矩阵特征值几何意义,二维矩阵特征值表示该变换在原图形特征向量方向上放大量。,比如矩阵A1在第一特征向量 方向特征值为，即横轴,正方向增益为,1，其结果是把原图中横轴正方向部分变换到新图负方向去了；,A1在第二特征向量 方向特征值为,1(2)=1,，,即纵轴正方向增益为1，因而保持了新图和原图在纵轴方向尺度不变。,8/40,用eigshow函数看特征值,对于比较复杂情况，完全凭简单几何关系去想像是困难，应该用eigshow函数，联络x和Ax向量图来思索,。,键入eigshow(A4)。绿色x表示原坐标系中单位向量，能够用鼠标左键点住x并拖动它围绕原点转动。图中同时出现以蓝色表示Ax向量，它表示变换后新向量。当两个向量处于同一条直线上时（包含同向和反向），表示二者相位相同，只存在一个（可正可负）实数乘子，,Ax,x,9/40,Eigshow(A4)产生图形,10/40,eigshow(1,2;2,2)图形,11/40,A是对称实矩阵情况,尤其要注意A是对称实矩阵情况，所谓对称矩阵是满足A,T,A矩阵。,对2,2矩阵，只要求A(1,2),A(2,1)。比如令，A=1,2;2,2 再键入eigshow(A)，,这时特点是：Ax,x出现在Ax椭圆轨迹主轴上，所以两个特征值分别对应于单位圆映射,椭圆轨迹长轴和短轴,。此时A特征值为-0.5616和 3.5616，能够和图形对照起来看。,(注意：对称实矩阵,普通矩阵也是这个意义吗?why?),12/40,例:斜体字生成,(wzs091224.m),数据矩阵,表示英文大写空心字母N各个节点,（1）用plot语句在子图1中画出其形状；,（2）取 作为变换矩阵对x进行变换，,并在子图2中画出其图形；,画图关键点是要在给定数据右方，补上第一点坐标，使画出图形封闭。,13/40,程序与图形结果,x0,0,0.5,0.5,6,6,5.5,5.5,0;0,0,6.42,0,8,8,1.58,8;,x,x0,x0(:,1);%把首顶点坐标补到末顶点后,A,1,0.25;0,1;y,A*x;,subplot(1,2,1),plot(x(1,:),x(2,:),subplot(1,2,2),plot(y(1,:),y(2,:),画出两个图形如右：,14/40,线性代数模型举例(略),15/40,1 刚体平面运动描述,设三角形三个顶点坐标为(,1,1),(1,1),(0,2)，今要使它旋转30度，右移2，上移3，以试设计变换矩阵A，并画出变换前后图形。,解：程序关键点是：,1。列出三角形数据矩阵,2。扩展为齐次坐标(第三行加1),3。平移和转动变换矩阵也,要用三维变换矩阵,4。按变换次序左乘,5。绘图,16/40,2 空间线性变换几何意义,三维空间线性变换最直接几何意义和应用价值能够从飞行器三维转动坐标中得到解释。飞行器在空中能够围绕三个轴旋转。假如它在向北飞行，机头正对北方，则它围绕铅垂轴旋转角称为偏航角（Yaw），它描述了飞机左右偏转，用u表示；围绕翼展轴旋转角称为倾斜角（Pitch），它描述了飞机俯仰姿态，用v表示；围绕机身轴旋转角称为滚动角（Roll），用w表示；u,v和w三个变量统称为欧拉角，它们完全地描述了飞机姿态。,17/40,演示程序quatdemo,18/40,演示画面说明,画面中。左方为飞行器在三维空间中模型，其中红色是飞行器。右上方为三个姿态角u,v,w设定标尺和显示窗，右下方为在地面坐标系中另外三个姿态角：方位角、俯仰角和倾侧角。左下方还有【静态】和【动态】两个复选钮，我们只介绍【静态】，读者可自行试用【动态】进行演示。,用键入参数或移动标尺方法分别给u,v,w赋值并回车后，就能够得出对应飞行器姿态，同时出现一根蓝色线表示合成旋转转轴。,19/40,程序实现方法,把飞行器三维图像用N个顶点描述，写成一个3,N数据矩阵G。用plot3命令时按顶点连线能绘制出飞行器外观。比如以下程序ag904a即可画出一个最简单飞行器立体图。,Gw=,4,3,0;4,3,0;0,7,0;,4,3,0;%主翼顶点坐标,Gt=0,3,0;0,3,3;0,2,0;0,3,0;%尾翼顶点坐标,G=Gw,Gt%整个飞行器外形数据集,plot3(Gw(1,:),Gw(2,:),Gw(3,:),r),hold on,plot3(Gt(1,:),Gt(2,:),Gt(3,:),g),axis equal,20/40,围绕各个轴旋转变换矩阵,飞行器围绕各个轴旋转结果，表现为各个顶点坐标发生改变，也就是G改变。只要把三种姿态变换矩阵Y,P和R乘以图形数据矩阵G即可。其中,21/40,综合旋转变换矩阵,单独改变某个姿态角所生成图形由G1,Y*G，G2,P*G，G3,R*G算出，假如同时改变三个姿态角，则最终图像数据成为Gf,Y*P*R*G,Q*G。这里假定转动次序为：先滚动R，再倾斜P，最终偏航Y，因为矩阵乘法不服从交换律，转动次序不一样时结果也不一样。,用MATLAB实现程序,ag9,04,b,以下：,syms u w v,Y=cos(u),sin(u),0;,sin(u cos(u),0;0,0,1),R=1,0,0;0,cos(w),sin(w);0,sin(w),cos(w),P=cos(v),0,sin(v);0,1,0;sin(v),0,cos(v),Q=Y*P*R,22/40,空间齐次坐标系,三维空间考虑了平移运动后，如同二维情况那样，也必须扩展一维，成为4,N数据集G4，成为空间齐次坐标系：,在四维空间4,4变换矩阵为：,其中c1,c2,c3为在三个轴x1,x2,x3方向上平移距离。这种方法在机器人运动学研究中很有用处。,23/40,3 基变换与坐标变换,在线性空间中经常需要进行坐标变换。用下列图能够形象地说明这点。按照左图笛卡儿坐标，x向量应该表为(1,6)，这是x按标准基e1,e2度量结果，在斜坐标纸上x点坐标就成为沿b1方向为,2个单位而沿b2方向3个单位，即(-2,3)了。这反应了不一样基对坐标值影响。,24/40,基坐标变换公式,设线性空间R,n,中两组基向量u 和v都是n维列向量，它们在基准坐标系中n个分量都是已知，所以u和v都可表示为n,n矩阵。假如R,n,中一个向量w在以u为基坐标系内坐标为wu（n,1数组），在以v为基坐标系内坐标为wv（n,1数组），它们在基准坐标系内坐标应分别为u*wu和v*wv，这二者应该相等。,u*wu,v*wv （9.18）,所谓基坐标变换就是已知wu，求出wv。将上式左右均左乘以inv(v)，得到,（9.19）,可见，坐标变换矩阵P可由u和v求得：,P(uv),v u （9.20）,25/40,基变换算例,已知R,4,空间两组基向量u,v以下：,试求把u变换为v坐标变换矩阵P(u,v),。,解方法为:输入u和v矩阵后,键入uv，得到,给出某点wu坐标wu,即可求其v坐标wv=P*wu,26/40,4 对称矩阵与二次型主轴,对称矩阵特点是全部元素关于主对角线对称，即A,A。所以对称矩阵一定是方阵。前面曾要求读者尤其注意A是对称矩阵时x与Ax对应关系，其特点就是Ax呈椭圆形状，在椭圆两个主轴方向，Ax与x在一条直线上长度差倍，即Ax,x。当Ax与x方向相同时，为正数；当Ax与x方向相反时，为负数；2,2变换有两个特征值，在相互正交两个主轴方向，各有一个。,作为2,2正交变换一个应用，我们来看看它对二次型图形影响。二次型本身已经不是线性范围，不属于线性代数范围。现在要研究是基坐标线性变换对二次型图形发生何种影响。,27/40,例 二次型例,设A=5,-2;-2,5，则令A二次型x,T,*A*x等于常数,得到是一个椭圆方程，其图形以下列图(a)所表示。,假如做一个基坐标旋转变换，让坐标轴转过45度，此椭圆主轴就与新坐标方向y1,y2相同，如图(b)所表示，即令,y1,x1cos,x2sin,y2,x1sin,x2cos,用矩阵乘法表为,28/40,线性变换后二次型,其逆变换R为，所以,用此变换式代入二次型表示式，有,本题中,=45，代入P和R,可得,于是得到,29/40,30/40,二次型主轴等价于矩阵对角化,所以从几何图形上寻找二次型主轴问题，在线性代数中就等价于使矩阵经过正交变换或相同变换R（注意这又是一个几何名词，说明被变换图形形状和尺寸保持不变），使矩阵A对角化。图中(c)和(d)表示了对另一个双曲线二次型（它两个特征值一正一负）坐标变换，,求主轴方法就是把矩阵A对角化。找其主轴大小和方向，也就是找它特征值lamda和特征向量e。,31/40,双曲线二次型算例,依据列出程序,A=1,-4;-4,-5,lamda,e=eig(A)或R=orth(A),得到,把两个特征向量e并列起来,即正交矩阵。landa就是对角化矩阵D，故标准化二次型方程为,32/40,33/40,高维空间算例,化二次型,为标准型。,解：能够看出系数矩阵A，程序ag907为,A,1,1,3;1,2,1;3,1,5,R,orth(A),D,inv(R)*,A*R,得知二次型最终标准型为,其中,34/40,5 人口迁徙模型,设在一个大城市中总人口是固定。人口分布则因居民在市区和郊区之间迁徙而改变。每年有6%市区居民搬到郊区去住，而有2%郊区居民搬到市区。假如开始时有30%居民住在市区，70%居民住在郊区，问10年后市区和郊区居民人口百分比是多少？30年、50年后又怎样？,这个问题能够用矩阵乘法来描述。把人口变量用市区和郊区两个分量表示，一年以后，市区人口为xc1,(1,0.06)xc0,0.02xs0，郊区人口xs1,0.06xc0,(1,0.02)xs0，,35/40,问题矩阵描述,用矩阵乘法来描述，可写成：,从初始到k年，此关系保持不变，所以上述算式可扩展为，,故可用程序ag961进行计算：,A,0.94,0.02;0.06,0.98,x0,0.3;0.7,x1,A*x0,x10,A10*x0,x30,A30*x0,x50,A50*x0,得到：,36/40,本题特征值和特征向量意义,无限增加时间k，市区和郊区人口之比将趋向一组常数,0.25/0.75,。为了搞清为何这个过程趋向于一个稳态值，我们改变一下坐标系统。在这个坐标系统中能够更清楚地看到乘以矩阵A效果，先求A特征值和特征向量，得到,令它是特征向量整数化，得到,37/40,6 产品成本计算,某厂生产三种成品，每件产品成本及每季度生产件数如表9.1及表9.2所表示。试提供该厂每季度在每种产品上成本表。,解：应该用矩阵,来描述此问题，列,出成本矩阵为M，,季度产量矩阵为P,38/40,本例矩阵相乘变换意义,将M和P相乘，得到矩阵设为Q，Q第一行第一列元素为,Q(1,1),0.1,4000,0.3,0.15,5800,1870,不难看出，Q表示了夏季消耗原材料总成本。从线性变换角度来看，Q矩阵把以件数为单位产品空间映射到了以元为单位成本空间。,39/40,7 情报检索模型,假如数据库中包含了n个文件，而搜索所用关键词有m个。能够把数据库表示为m,n矩阵A。比如有7本书，6个关键词x（初等，代数，矩阵，理论，线性，应用）：则A就是67矩阵。书名中有此关键词就将该对应元素置1。,搜索结果能够表示为乘积y,A,T,x，它是n1列向量。于是y各个分量就表示各书与搜索向量匹配程度。y值最大元素对应于匹配最好书籍，是读者可能最需要。,可见变换有很广泛意义。在本例中，它是从关键词子空间变换为文件目录子空间。,40/40,