数学方法论.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学方法论,绪论 第二节 学习中学数学思想方法的意义,一、,有助于树立正确的数学观,二、促进数学方法的普及和人才的培养,三、数学方法对于数学的发展起着关键性的推动作用,如历史上古希腊三大尺规作图难题，就是笛卡尔创立解析几何之后，数学家们借助解析几何，采用了RMI(关系映射反演)方法，才得到彻底的解决；又如，代数方程的根式解的问题，也是在伽罗瓦群论思想方法的指导下，才得以圆满解决；不仅如此，群论的思想方法还使得代数学的研究发生了巨大的变革，从古典的局部性研究转向了近代的系统结构整体性的研究。,第一章 数学的起源与发展,第一节 数学发展各个时期简析,数学的萌芽时期,从远古到公元前六世纪,常量数学或初等数学时期,从公元前六世纪到公元十七世纪初,变量数学时期,从十七世纪初到十九世纪20年代。,这个时期的起点是笛卡尔的著作。,近代数学时期,十九世纪20年代到20世纪40年代。,现代数学时期,从20世纪40年代至现在,数学萌芽时期,1.数学的对象,天文历法的计算，,土地丈量的长度、面积、体积的计算，,商业交往中运输、交换的计算等,2.数学发展的特点,（1）数学研究的对象是初步的,算术和几何,的计算知识；算术和几何结合在一起研究,（2）数学概念的形成比较缓慢，数学知识是片断的、零碎的，缺乏逻辑因素，没有形成严谨的科学体系,（3）已经逐步出现了一些数学概念和一些抽象的数学符号，产生了具有一定关系和规律的数学系统 算术,（4）为建立抽象的数学理论科学，从思想和方法上积累了丰富的素材,常量数学或初等数学时期,1.数学的对象,研究对象是客观事物在相对静止的状态下保持不变的数量和图形，即常量。研究方法采用了逻辑方法（主要是演绎法）,2.主要发明创造,希腊在几何发展方面有突出贡献。欧几里得的,几何原本,是这个时期的重大贡献，它是从经验数学到理论数学的标志。,中国的,九章算术,是这个时期杰出的数学著作,九章算术,九章算术是中国古代第一部数学专著，是算经十书中最重要的一种。该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就。同时，九章算术在数学上还有其独到的成就，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。要注意的是九章算术没有作者，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最先进的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。,九章算术亦有其不容忽视的缺点：没有任何数学概念的定义，也没有给出任何推导和证明。魏景元四年(263年)，刘徽给九章算术作注，才大大弥补了这个缺陷。,九章算术是几代人共同劳动的结晶，它的出现标志着中国古代数学体系的形成后世的数学家，大都是从九章算术开始学习和研究数学知识的。唐宋两代都由国家明令规定为教科书。1084年由当时的北宋朝廷进行刊刻，这是世界上最早的印刷本数学书。,3.数学发展的特点,（1）数学的研究对象从实际事物的性质中抽象出来，把它理想化成纯粹的研究对象相对稳定状态下的数量和图形。,（2）由具体的实验阶段过渡到抽象的理论阶段，建立了更多的抽象的数字概念、符号和图形，逐步脱离实际问题而成为独立的学科。,（3）研究方法运用逻辑方法（主要为演绎法）,（4）依据研究对象的不同，建立起了算术、代数、几何、三角等分支，并有专门的符号体系、陈述方法和推理证明方法。,变量数学时期,1.数学的对象：变量,2.主要发明创造,法国笛卡尔解析几何,英国牛顿和德国的莱布尼兹微积分,莱布尼兹最早引入微分符号dx和积分符号。,解析几何和微积分,是常量数学到变量数学的标志。,级数论、微分方程论、实变函数论、复变函数论等，微分几何、数论、组合论、画法几何学,3.数学发展的特点,（1）研究对象从常量到变量，离散量到连续量，有限量到无限量，必然量到或然量。,（2）由几何方法向解析方法转变，数学思想、观点出现了许多混乱并导致剧烈争论。,（3）建立解析几何和微积分两个新学科,（4）数学分析在数学发展中占主导地位,（5）数学与自然科学相互促进,近代数学时期,1.数学的对象,数学对象是定义在任意性质的元素集上的运算和关系，它们由于遵循的公理系统不同而形成不同的数学结构。,2.主要发明创造,公理方法和公理化集合论得到很大发展,三大转折：微积分发展为数学分析；解析几何发展为高等几何；方程发展为高等代数。,三大突破：分析学产生了傅立叶级数，函数概念上产生重大突破；几何学产生了非欧几何，空间概念上有重大突破；代数上产生伽罗华理论，代数运算概念上有重大突破。,三大理论：实数理论、集合论和数理逻辑,出现了许多数学新分支，如：非欧几何、拓扑学、级数论、函数论、积分方程、泛函分析、积分几何、代数几何、逻辑代数、随机微分方程等,3.数学发展的特点,（,1）革命的数学思想、数学创造的自由化促使数学很大发展；,（2）数学研究对象更一般化、抽象化、多样化,（3）数学的发展趋向于统分结合,（4）数学的应用越来越广泛,（5）数学新问题层出不穷,现代数学时期,1.数学对象,现实世界的空间形式和数量关系以及在这个基础上发展起来的结构和模型。,2.主要发明创造,对策论、规划论、排队论、最优化方法、运筹学、信息论、控制论、数理经济学、生物数学、数理心理学；计算数学、程序设计、程序语言、数理逻辑、数理语言学、组合论、图论、非标准分析、模糊数学、突变理论等,3.数学发展的特点,（1）以集合论为基础，数理逻辑成为数学推理的依据,（2）数学抽象化的程度进一步加强,（3）应用数学蓬勃发展,（4）电子计算机的产生和应用,（5）基础数学理论飞速发展,第二节,中国数学的起源与发展,中国数学的起源,二、算经十书,中国汉唐千余年间陆续出现的十部数学著作。唐代曾在国子监中设立算学馆，以李淳风等注释的十部算经作为教本，用以进行数学教育和考试。这十部算经是：,周髀算经,、,九章算术、孙子算经,五曹算经,、,夏侯阳算经,张丘建算经,、,海岛算经,五经算术,、,缀术,、,缉古算经,其中,缀术在唐宋之交失传后，便以南北朝时北周人甄鸾所著数术记遗来替补，甄鸾也是五曹算经 五经算术的作者,周髀算经,周髀算经是算经的十书之一。约成书于公元前1世纪，原名周髀，它是我国流传至今的一部最早的数学著作，同时也是一部天文学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。周髀算经在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量上的应用以及怎样引用到天文计算。,孙子算经与“物不知数”问题,孙子算经卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二。问物几何?”,这相当于求解一次同余组,N,2（mod 3）,N 3（mod 5）,N 2（mod 7）,当时虽已有了答案23，但它的系统解法是秦九韶在数书九章大衍求一术中给出的。大衍求一术（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题。,秦九韶和杨辉的数学成就,秦九韶的,数术九章,是一部划时代的巨著，其中“大衍求一术”和高次方程解法，在数学史上占有崇高的地位。,杨辉对数学的贡献主要在于引用和保持了大量古代珍贵的数学史料。对垛积术的研究有许多成果，改进计算技术，提出许多速算法，研究“纵横图”并有衍化发展。,张丘建算经和“百鸡问题”,今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁母雏各几何？,答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡雏七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡 母十一，值钱三十三，鸡雏八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡雏八十 四，值钱二十八。”,此题相当于解不定方程组,九章算术,1.九章标志着中国初等数学理论体系的形成,2.九章算术的内容,九章算术的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤，但没有证明），有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰（音cui）分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股,3.九章算术在中国数学史上的地位,九章算术是几代人共同劳动的结晶，它的出现标志着中国古代数学体系的形成；它总结了2000年前中国数学的伟大成就，是一部珍贵的历史文献。,4.九章算术的特色,（1）社会性和实用性,（2）以算法为中心的形数结合的算法体系,（3）构造性,第三节 数学发展的动力,一、外部动力：社会实践及社会生产的发展,二、内部动力：数学内部的矛盾 斗争,社会实践及社会生产的发展,例如：以天文学需要为指南，建立了球面几何及三角学原理；,数和形的初始概念产生于社会实践；,17世纪欧洲生产的发展，促进了力学和技术的发展，从而向数学提出了从一般的形态上研究运动的问题。出于研究运动，变量的观念产生了，同时也产生了函数的概念；,微积分的产生；,连续介质力学、场论引导了偏微分方程的发展；,经济与军事竞争的需要发展了对策论；,在工程技术、国防科学、社会科学及工商业贸易中提出了大量的最优化问题；,数学内部的矛盾,负数、无理数、虚数的出现,在19世纪发现了许多用传统方法不能解决的问题，如五次及五次以上代数方程不能通过加、减、乘、除、开方求出根来；古希腊几何三大问题不能通过圆规和直尺作图来解决等等。这些发现导致代数学从此以后向抽象代数的方面发展，而求解方程的根也变成了分析及计算数学的课题。,三次数学危机（无理数、无穷小是不是0、理发师悖论）,第二章 数学概观,第一节 数学的对象和特征,一、什么是数学,恩格斯：数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的一门科学,。,随着时间的推移，数学大大发展了，诸如事物的结构、数理逻辑等，都成为数学的研究对象；这些，似乎不能包含在上述定义中。人们在寻找数学的新“定义”。,1古今数学家的说法,古希腊：数学是研究数量的科学,毕达哥拉斯：万物皆数,亚里士多德：把研究数及其属性的学科叫做算术，把研究量及其属性的学科叫做几何学，因而把研究数量的科学称为数学。,笛卡尔：数学是研究顺序和度量的科学,恩格斯：数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的一门科学,布尔巴基学派认为：“数学是研究抽象结构的学科。”并认为最普遍、最基本的结构有三类，即代数结构、拓扑结构和顺序结构。,亚历山大洛夫在数学它的内容、方法和意义一书中指出：“数学以纯粹形态的关系和形式作为自己的对象”,总结：对数学本质特征的认识是随数学的发展而发展的。,19世纪以前，人们普遍认为数学是一门自然科学、,经验科学,，因为那时的数学与现实之间的联系非常密切。,随着数学研究的不断深入，从19世纪中叶以后，数学是一门,演绎科学,的观点逐渐占据主导地位，这种观点在布尔巴基学派的研究中得到发展，他们认为数学是研究结构的科学，一切数学都建立在代数结构、序结构和拓扑结构这三种母结构之上。与这种观点相对应，许多人认为数学是研究模式的学问，数学家怀特海在数学与善中说，“数学的本质特征就是：在从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行研究，”数学对于理解模式和分析模式之间的关系，是最强有力的技术。”,1931年，歌德尔不完全性定理的证明，宣告了公理化逻辑演绎系统中存在的缺憾，这样，人们又想到了数学是经验科学的观点，著名数学家冯诺伊曼就认为，数学兼有演绎科学和经验科学两种特性。,二、数学的特点,1、,理论的抽象性,2、,逻辑的严谨性,3、,应用的广泛性,4、,科学的预见性,第三节 辨证唯物主义数学观,一、数学对实践的依赖关系,1.两种对立的,数学,观：,唯心主义,数学,观认为和辩证唯物主义数学观。,唯心主义数学观认为：数学,是纯思维的产物，唯心主义,数学,观认为，与客观世界无关，可不必借助于外界经验，而由人的头脑自行构造出来。,唯心主义,数学,观的人物代表：古希腊,数学,家柏拉图、17世纪英国哲学家贝克莱、18 世纪德国哲学家康德。康德认为：严格的,数学,命题永远是先天的判断，而非经验的判断，因为它们具有不能来自经验的必然性”。,现代西方三大数学哲学学派：逻辑学派、,直觉学派、形式学派。,辩证唯物主义数学观主要包含如下观点：,（1）反映论。数学起源于人类实践经验，是现实世界空间形式和数量关系在人的头脑中的反映。,（2）以现实材料为出发点。数学的起源是非常现实的材料。数学是由现实世界发展而来的结构和模型。,（3）数学发展的相对独立性。数学虽起源于实践，但决不意味着每个数学概念或定理都有实践的原型，数学自身的矛盾也能推动数学相对独立地向前发展。,（4）数学对客观世界的反映是能动的。数学以抽象形式反映客观世界，它舍弃了物质运动形态中有关质的特性。所反映的仅仅是量的形式和关系。这种反映包含了人类思维中对运动形式的加工作用。例如：抽象、概括、模式化等等。而且，数学又能通过人类活动对客观事物产生作用，从而推动人类科学技术的前进,（5）客观世界是一个运动、变化、发展着的对立统一体，作为反映客观世界数量关系变化规律性的数学必然充满着辩证法。数学理论的创立要靠数学家的抽象思维，但不是人脑的“自由创造物和想象物”。数学具有真理性，但不是绝对真理。,2.数学以抽象形式反映客观世界,一些新的数学概念未必能直接找到其现实原型，但经过一段时间的历史考验，终究在现实生活或科学技术中找到直接或间接的应用,（1）数的概念来源于计数；,（2）自然数四则运算，来源于具体事物的合并、分解、增加、减少、倍大、缩小、包含等分等实际数量关系；,（3）有理数,（4）形的概念也离不开客观世界提供的材料。,3.,数学,自身矛盾推动,数学,独立向前发展,在数学中，一些新的概念的形成，有时可能暂时找不到哦其现实原型，但这并不妨碍相关的数学概念体系能在没有实践推动的情况下而独立发展。我们把这种独立发展的功能称为数学中的,自由创造,。如：由二维空间、三维空间发展为n维空间，甚至无穷维空间、函数空间等等。,复数概念的产生,二、数学内容的辨证性质,数学的内容中充满了相互联系、运动变化、对立统一、量变到质变的辩证法的基本规律。例如，正数和负数、常量与变量、必然与随机、近似与精确、收敛与发散、有限与无限等等，它们都互为存在的前提，失去一方，另一方将不复存在，而且在一定条件下可以相互转化。数学方法也体现了辩证性。例如，数学中的极限方法就是为了研究和解决数学中“直与曲”、“有限与无限”、“均匀与非均匀”等矛盾问题而产生的，这就决定了极限方法的辩证性。数学发展过程也充满了辩证性。,三、互逆运算及其相互转化,1.正逆运算及其相互转化,四、数学的经验性与演绎性的辩证关系,数学的认识过程是：在解决现实问题的实践基础上获得数学的经验知识；然后上升为演绎性的理论知识（公理系统和形式系统）；再返回到实践中，通过解决现实问题而证实自身的真理性，完善或发展新的数学知识。这是辩证唯物论的认识论在数学认识论上的具体表现，反映了数学本质上是数学知识的经验性与演绎性在实践基础上的辩证统一。,五、内容与形式,形式与内容相互影响,数学为科学提供形式化的语言,利用形式符号更好地反映内容,形式与内容相辅相成,第四节 数学基础论及其简要评介一、数学基础及其研究,数学基础论是研究数学的对象、性质和方法等一般性问题的学科,数学基础论主要包括3类问题,1.数学的逻辑问题,2.数学方法论问题,3.数学的哲学问题,二、悖论及其成因,通俗地说，悖论即谬说,悖论是一种导致逻辑矛盾的命题。,一般地说，悖论即矛盾,如果某一理论的公理体系和推理原则看上去是合理的，但根据此公理体系和推理原则却推出两个互相矛盾的命题，或者证明了一个复合命题，它表现为两个互相矛盾命题的等价式，那么我们就说此理论包含了一个悖论。,悖论泛指两类命题 （1）推理过程看似合理，而推理结果却不符合客观实际；（2）由于新概念引入而违背了具有历史局限性的传统观念，而引起的矛盾。,三、数学发展中几次有影响的悖论,芝诺所提出的阿奇利追龟说,希帕索斯（Hippasus）悖论,贝克莱（Berkely）悖论,康托悖论,罗素悖论,第一次数学危机：无理数的表示问题；有限与无限的矛盾问题。,与之相关的悖论：芝诺所提出的阿奇利追龟说；希帕索斯（Hippasus）悖论,第二次数学危机：贝克莱悖论,第三次数学危机：康托悖论和罗素悖论,四、数学基础论的几个学派（代表人物）,逻辑主义学派,直觉主义学派,形式主义学派,逻辑主义学派,数学概念可以从逻辑命题出发，经由明确的定义而给出；,数学的定理可由逻辑概念出发，经由纯粹的逻辑演绎推理而给出。换言之，他们企图用逻辑，推导出全部数学。这个推导过程可归结为两步：第一步是数学理论算术化；第二步是算术理论逻辑化。,代表人物：英国著名的数学家、哲学家和逻辑学家罗素,直觉主义学派,否认逻辑先于数学，对传统数学知识持批判态度；,数学起源于直觉；,数学必须能构造,逻辑法则,无穷观,代表人物：荷兰数学家布劳威尔,形式主义学派,反对直觉主义的无限观；,希尔伯特改造数学计划,提出排除悖论的方法,代表人物：希尔伯特,第三章 第一节,观察与实验,观察和实验是通过收集科学事实材料，获得感性认识的基本途径，是形成、发展和检验自然科学理论的实践基础。,获得检验材料的基本途径是对研究对象的关系、性质等的观察和实验。,一、观察和实验,观察和实验，是发现与解决问题中的最形象、最具体的手段之一。有人认为数学是高度抽象和逻辑性极强的学科，不需形象和具体的思考和操作。其实是不正确的。事实上越是抽象和复杂就越需要形象和具体的辅助与配合。,1观察的涵义,前苏联数学教育家奥加涅相认为：观察是人们对客观世界的各个客观事物和现象，在其自然条件下，按照客观事物本身存在的实际情况，研究和确定它们的性质和关系的方法。,从数学的角度说，观察就是人们对事物或问题的数学特征通过视觉获取信息，运用思维辨认其形式、结构和数量关系，从而发现某些规律或性质的方法。,欧拉说过：“在被称为纯粹数学的那部分数学中，观察无疑占有极其重要的地位”。,爱因斯坦论述观察在科学中的作用时指出：“理论所以能够成立，其根据就在于同大量的单个观察关联着，而理论的真理性也在于此”在数学中，常常通过观察来收集资料，发现新事实因此，观察的作用主要归结为以下两个方面：,(1)命题的发现,数学真命题如定理、公式等，都是数学对象属性间关系的反映，认识这些关系，很多也都是从对数学对象的直接观察得来的因此，认识数学真命题离不开观察观察是数学科学研究的“敲门砖”,(2)解题方法的探求,直觉是认识的特殊形式，它可直接了解真理通过观察有时能直接捕捉解题方法观察多从问题条件的特点入手、从观察己知和结论的关系（联系与差异）入手、从观察分析条件的隐含关系入手。在数学教学中，教师要特别注意培养学生的观察能力，它是培养学生综合数学能力的前提，要特别注意那些连问题还没有看明白就贸然动手解题的学生，让他们一定养成认真观察题目的条件和结论的习惯，并通过具体的例题使他们体会到仔细观察、认真审题的效果。,(3)观察法在数学概念教学中的作用,数学概念是高度概括、高度抽象的产物，只有密切联系现实原型，才能使学生较容易的理解、掌握数学概念。,3观察的作用,1.实验的涵义,实验是按照科学研究目的，根据研究对象的自然状态和自身发展规律，人为的设置条件，来引起或控制事物的发生或发展过程，并通过感官来认识对象和规律的方法。,任何实验都离不开观察如果把观察看成是在自然条件下认识对象的活动，那么实验则可看作是在人为控制的有利条件下，实现对对象或对象本质属性再现的观察因此，实验比自然观察具有如下的优点：,2实验的作用,(1)实验可以用来说明(或验证)数学对象的本身和属性,在数学发展过程中，有很多数学对象和性质是从实验得来的，例如在几何中，对各种图形的面积、体积的计算，常用割拼法来变换图形使之成为易于测量和计算其面积、体积的等积的图形又如，关于线段、角、三角形的相等关系是测量法和叠合法验证的再如，三角形的重心、抛物线的焦点，其数学性质都是通过物理实验而作出的圆锥曲线的光学性质，三角形内角和定理，平行四边形性质，勾股定理等内容，都可以不同程度地运用实验的方法发现其结论。,(2)实验可以用来发现数学规律，提出猜想,(3)实验可以用来探求解题思路，选择 最佳解题方法,第二节 分析法与综合法,分析法,是从所需证的结论出发，以一系列已知定义、定理为依据逐步逆推，从而达到已知条件分析法也叫,执果索因法,，它是一种推理的方法，人们常用它来寻找解题思路。分析法分为两种：,逆求法和逆推法,。当推理过程步步均可逆时，它又是一种证明方法又称逆推法其思维过程可表示为：B A,1,A,2,A.其中B是命题的结论，A是条件。如果没一步分析是从结论出发寻求其成立的充分条件，则称这种方法为逆求法，其思维过程可表示为B A,1,A,2,A,综合法,是从题设条件出发，以一系列已知定义、定理为依据，逐步推演从而导致所证明的结论综合法又叫由因导果法综合法是一种侧重于整理性的思维，是数学中表达求解、论证过程的基本方法。,证法一（分析法）,欲证a,3,+b,3,a,2,b+ab,2,，只需证,a,3,+b,3,-（a,2,b+ab,2,）0,即(a+b)(a,2,-ab+b,2,)-ab(a+b)0,(a+b)(a,2,-2ab+b,2,)0,由a,b是不等的正数得，a,2,-2ab+b,2,)0,a+b 0，故a,3,+b,3,a,2,b+ab,2,证法二（综合法）,由于a,b不等，所以(a-b),2,0,又a0，b0，所以a+b0,a,3,+b,3,-（a,2,b+ab,2,）=(a+b)(a,2,-2ab+b,2,)0,第三节 划分与比较,划分的标准、意义及规则,比较,划分是指按照事物间的异同，将相同性质的对象归为一类，不同性质的对象归入不同类别的思维方式。,划分的意义在于使知识条理化，并进而系统化，促使认知结构的发展。,数学上的划分包括对概念的划分、对性质的划分、方法的整理以及解题中的分域讨论等。,1.2概念的内涵和外延,概念的,内涵,亦称内包，指概念所反映的对象的,特有属性、本质属性,。,概念的,外延,亦称外包，指概念所反映的对象的,总和,。,例：“,偶数,”的,内涵,是指“能被2整除”这个性质，,外延,是指所有偶数的全体。,“,平行四边形,”的,内涵,包括：是四边形，对边平行，对边相等，对角相等，对角线互相平分等等。“平行四边形”的,外延,包括：矩形、菱形、正方形以及各种各样的任意的平行四边形。,注：,（,1,）,数学概念的内涵和外延是在一定的数学科学体系中来认识的。,（,2,）概念的内涵和外延是发展的,1.3概念间的关系（概念外延间的同异关系）,1,、相容关系,（,1,）同一关系（全同关系或重合关系）,外延完全重合，内涵可以不同。,例如,：,数,0,是扩大的自然数集中最小的数，又是正数,与负数的分界数，在数的运算中它又是两个相等数,的差等；“等边的矩形”和“直角的菱形”,等腰三角形底边上的高线、中线以及顶角的平分线,的外延都是同一条线段，而内涵也各不相同。,注,：研究概念间的同一关系，可以对概念所反映的对,象得到较深刻、较全面的认识。另外，在推理证明中,具有全同关系的概念可以互相代换，使得论证简明。,（2）从属关系,如果甲概念的外延,真包含,乙概念的外延 ，如下图所示，那么，这两个概念具有,从属关系,。其中，外延较,大,的那个概念叫做,属概念,，外延较,小,的那个概念叫做,种概念,。,注：内涵和外延的,反比,关系,正方形内涵 矩形内涵 平行四边形内涵 四边形内涵,正方形外延 矩形外延 平行四边形外延四边形外延,（3）交叉关系,如果两个概念的外延有且只有部分重合，那么这两个概念具有,交叉关系,或者叫做部分重合关系，如下图。用集合符号表示概念的交叉关系，可设两个概念的外延分别是集合 和集合 ，如果 是非空集合而且不是 ，那么这两个概念具有,交叉,关系。,例：,（1）负数和整数,（2）等腰三角形和直角三角形,2、不相容关系（全异关系）,如果两个概念的外延间没有任何一部分重合的关系，那么这两个概念具有,全异关系,，这种关系又叫做“拳异关系”或“排斥关系”。,全异关系又分为,反对关系,和,矛盾关系,。,矛盾关系,反对关系,1.4 概念的定义和原始概念,把概念的内涵或外延用语言表达出来，就是给概念下定义。,原始概念,点、线、面、空间、集合、元素、对应等。,数学中常用的几种定义方式,（,1,）,属概念,加,种差,的定义方式,“种差”就是被定义概念在它的最邻近的属概念里区别于其它种概念的那些本质属性。,四边形,+,两组对边分别平行,=,平行四边形,四边形,+,四边相等,=,菱形,三角形,+,两边相等,=,等腰三角形,平行四边形,+,一个直角,=,矩形,（,2,）,发生,定义方式,(,也称构造性定义法,):,在平面上，射线绕它的端点旋转所成的图形叫做角。,（3）关系性定义,如：能被2整除的整数是偶数,（4）揭示,外延,的定义方式,整数和分数统称为有理数。,（5）约定式定义,我们规定,a,-m,=(a0),1.5下定义的基本要求,（,1,）,定义应当相称。,所谓定义相称就是下定义概念的外延与被定义概念的外延必须相等。,A,、无理数是无限小数。,B,、各角为直角的菱形是矩形。,（,2,）,定义不能恶性循环。下定义概念,不能直接或间接地依赖于被定义概念,例如：不能用两条直线垂直来定义直角,反过来又用两直线交成直角来定义垂直。,（,3,）定义,一般,不用否定形式,不是有理数的数是无理数。,（,4,）定义必须清楚确切。在定义中不能应用比喻或含混不清的概念,不应列举非本质属性,不应含有多余词语,也不能漏掉必须的词语。,例如,“,无穷小是很小很小的数”,从外表看,颇似定义,但它用了比喻词。又如,“,正方形是一种有规则的四边形”,“,有规则”是一个不可捉摸的含混概念,这样定义不能揭示出“正方形”的内涵。,1.6 概念的划分和分类,划分是揭示概念外延的逻辑方法。也就是通过把一个属概念分为若干个种概念来明确概念的逻辑方法。,任何划分都包含划分的,母项、划分的子项和划分的标准,三个要素。划分的母项就是被划分的概念，划分的子项就是从母项划分出来的各个种概念，划分的标准就是据以划分的标准。例如：例如:根据边的相等关系三角形划分为不等边、等边和等腰的三角形。根据角的关系三角形划分为锐角、直角和钝角三角形。,（1）划分的几种形式：,一次划分,、,连续划,分、复分,和,二分法,一次划分：根据一个标准把一个概念划,分一次。,根据奇偶性,整数划分为奇数和偶数。,连续划分：,把一次划分得出的子项作为母项,继续划分子项,直到满足需要为止。,有理数分为整数和分数。其中整数又分为正整数、零和负整数；分数又分为正分数和负分数。,复分：根据不同标准对同一概念进行多种划分。,二分法:,它是每次划分后所得的子项总是两个相互矛盾概念的划分法。以对象是否具有某种属性来划分。,比较是确定有关事物的共同点和不同点的思维方式。包括量的比较、形式的比较、性质的比较等。比较是概括的基础，通过抽象得出的属性是在比较之后才能认识其共性与个性的。,概念的发现、概念的教学、证明命题、命题的发现等过程中都渗透比较方法的运用。,第四节 抽象与概括,一、抽象方法,抽象是把研究的事物从某种角度看待的本质属性抽取出来舍去其非本质属性进行考察的思维方法。在数学中，抽象是指从研究对象或问题中抽取出数量关系或空间形式而舍弃其它属性对其进行考察的方法。数学中的概念、关系、定理、方法、符号等都是数学抽象或再抽象的思维结果。抽象思维是数学学习的基础之一。,2.数学抽象的基本形式,（1）理想化抽象,所谓理想化是指通过抽象得到的数学概念和性质，并非客观事物本身存在的东西，而是从实际事物中分离出来的经过思维加工得来的，甚至是假想出来的概念和性质。,如，在几何中的“点”、“直线”、“平面”等抽象概念，在自然界也是不存在的，都是经过人们的智慧加工得来的理想化概念几何中的“点”是从自然界中物体的大小无限地减少可能得到的结果，或者在物体的大小比较中，大大可以忽略不计的物体中抽象得来的，而且把它理想化为无长、无宽、无高的“点”同样，“直线”被理想化为没有厚度和宽度的线、“平面被理想化为没有厚度的面等。,在数学中，往往在原有的对象中引入理想化元素，创造出新的数学理论例如无限远点(理想化元素)和虚根的引入。,上述事例说明，理想化抽象的方法在数学的发展和发明创造中具有重要的作用”,(2)等价抽象,在数学研究中，把同类对象的共同性质抽取出来而舍弃对象的其它性质，这种抽象方法称为等价抽象,例如，对于两个集合来说，如果能够在它们的元素之间建立起一一对应关系，则称它们为对等的集合,自然数,是等价抽象的结果,又如，两个三角形，它们的对应角相等，对应边成比例，具有这样的性质的三角形，它们都具有相同的形状把三角形这种相同的性质和形状的特点抽象出来就得到,相似三角形,的概念这也是等价抽象,再如，在自然数中有的数被一个自然数除，都得到相同的余数(如2，7，12，17，被5除都得到余数2)，从这类自然数的共同特征抽象得到,同余数,的概念，也是等价抽象,等价关系满足以下三条性质：,自反性、对称性、传递性。,设有一集合E，如果给定了笛卡尔乘积EE的一个子集合R，我们就说在E上定义了一个二元关系R.即一个二元关系，就是一个有序偶对的集合。,如果用a,b,c,表示所考察的一类对象，那么,自反性：如果对于所有的a，都有（a,a）R，例如数的相等，自然数的整除等,对称性：如果（a,b）R，则（b,a）R，如数的不等、直线的平行、垂直、相似等,传递性：如果（a,b）R，（b,c）R，则（a,c）R.如数的大小、直线的平行、整除、相似等,（3）强抽象与弱抽象,强抽象是指在已知概念中，加强对某一属性的限制，抽象出作为原概念特例的新概念的方法，即通过扩大原概念的内涵来建立新概念的抽象方法。,例：从四边形概念出发，从两组对边给予适当限制，则得平行四边形和梯形的概念。,若从平行四边形概念出发，再对边或角分别适当限制，有得到矩形、菱形及正方形的概念。,由对数的概念出发，对底数给予适当的限制，可获得以10为底的常用对数和以e为底的自然对数等,弱抽象：指在已知概念中，减弱对某一属性的限制，抽象出比原概念更为广泛的新概念，使原概念成为新概念的特例的方法。即通过缩小原概念的内涵来建立新概念的抽象方法。,例：从全等三角形的概念出发，借助弱抽象就可获得相似形与等积形的概念，它们分别保留了“形状相同”及“面积相等”的特性。,又如：在锐角三角函数概念中，放宽对“锐角”的限制，可以获得任意角的三角函数的概念，任意角的三角函数保留了“比”的属性,（4）存在性抽象（可能性抽象）,先用假设的方法肯定抽象出来的数学概念的存在性，并由此发展出一定的数学理论，然后在理论和实践中加以验证，从而确认新的数学理论的合理性。,例如：自然数列就是存在性一个例子要把自然数列无限延伸，必须把人类生命的有限性以及认识客观事物在时间上的局限性舍去，才有可能实现无限地延伸自然数列的设想从实践的观点来看，能够实现的过程必须是有限个步骤因此，任何人都不可能把自然数列延伸到无限的境地但是，人们认识到，如果能够把自然数列延伸到任何一个自然数n，那么必能写出n后面的一个自然数n+1由此，认为把自然数列无限延伸潜在着实现的可能性，简称可能性,从圆内接正六边形算起，把边数连续倍增来计算圆周长等等，都是以前一步计算结果为根据，就能够算出后一步的结果，这就认为可能无限地计算下去由此，得到圆周率的概念，这些都是运用了可能性抽象的方法得到的数学概念,二、概括,概括就是把若干事物共同的属性联合起来考察的方法例如，我们从日出日落，潮涨潮退，一年四季及正弦曲线、余弦曲线的图象等，观察到这样的共同属性：当函数的自变量增加到一定数值时，函数值可以重复出现我们把这些个别事物的各自的属性联合起来考察，发现了它们的共同性质变化的周期性,例如，自然数的运算性质推广到有理数运算，进一步推广到实数和复数运算，就是运用了概括的方法又如，在中学数学里幂的运算性质，把同底数的自然数指数幂的运算性质推广到有理数指数幂，以及实数指数幂的运算都是运用了概括的方法,a,m,a,n,=a,m+n,，a,m,a,n,=a,m-n,，,(ab),n,a,n,b,n,，(a,m,),n,a,mn,，,在几何中，把平面几何中的一些图形性质和关系推广到立体几何的一些同类图形的性质和关系例如，在平面几何中，两边分别平行的两个角相等或互补这样的两个角的关系可以推广到立体几何中的两个角又如，在数学研究中，常常把现实存在的一维、二维、三维空间图形的性质和概念推广到更多维的空间图形，这些都是运用了概括的方法,第五节 特殊与一般,特殊化是把研究对象或问题从原有范围缩小到较小范围或个别情形进行考察的思维方法。,波利亚在数学与猜想中给出了一个“古老的然而非常有名的难题”,两人轮流在圆桌上摆硬币(大小相同)，每次摆一个，不能重迭，也不能有一部分在桌子的边缘以外，先摆不下的人输，试问先摆的人还是后摆的人能胜。,2.特殊化方法在数学教学中的思维作用,特殊化是导致数学发现的重要方法之一。,3.特殊化方法是数学研究的重要方法,（1）考察特殊情形，直接求解,例6：在平面给出100个点，已知其中任意两点的距离不超过1，且任意3点构成钝角三角形.试证：能用某个半径为1/2的圆盖住这100个点。,如图所示，A、B两点间的距离最大，则A、B的距离不超过1,A,B,C,（2）以特殊情形为起点，进而发现一般问题的解法,例7 试证:任何面积等于1的凸四边形的两条对角线的长度之和不小于22,分析，先考察特殊情形，面积为1的正方形和菱形。正方形刚好对角线为22，菱形中，设对角线长度分别为a、b，则因为1/2ab=1，故a+b2ab=22.从中得到启示，可以从“对角线与面积的关系”及“算术几何平均不等式”入手,（3）特殊化可为求解一般问题奠定基础,例7 求证：复平面上的3各点z,1,、z,2、,z,3,，则,z,1,z,2,z,3,是正三角形的充要条件是：,z,1,2,+z,2,2,+z,3,2,=z,1,z,2,+z,2,z,3,+,z,1,z,3,（1）,分析：由于（1）较复杂，难于化简，可令,z,1,=0（即z,1,为原点），则（1）化简为,z,2,2,+z,3,2,=z,2,z,3,（2）,（2）的证明较容易。下面证明一般情形，平移坐标原点到z,1,，把在新坐标系内z,2、,z,3,两点表示称z,2,、,z,3,（z,1,=0,），由平移公式得：,z,2,=z,2,-z,1,z,3,=z,3,-z,1,由（2）知 z,2,2,+z,3,2,=z,2,z,3,化简得（1）,（4）利用特殊化探求某些问题的结论,有一些数学问题，其待解的结论是不明显的数学事实，例如“定值”或“常量”问题。定值往往是未知的，这就增加了求解的难度。这时可以先取特殊情形探求“定值”的表达形式，还可以利用特殊化探求定圆、定线、定向等问题。,（5）利用特殊化解决某些选择题,（6）将一般的结论特殊化，可产生新内容,如：利用二项式定理,令a=b=1得,令a=1，b=-1得，二项式的奇数项的系数和等于偶数项的系数和,（7）利用特殊化方法，帮助理解和记忆某些数学定,理和公式。如：三倍角公式，两角和与两角差的三角函数,二、一般化方法,1.一般化方法在数学研究和数学教学中的作用,（1）数学命题的推广,把命题中的某些特殊条件一般化，从而得到更普遍的结论,（2）通过一般化来解决问题,特殊一般特殊,逻辑是数学家为保持思想强健而遵守的卫生规则。（外尔Weyl）,第四章 数学的逻辑方法,第一节 逻辑思维的基本形式,逻辑是人的一种抽象思维，是人通过概念、判断、推理、论证来理解和区分客观世界的思维过程。,概念、判断和推理是逻辑思维的基本形式。,一、数学概念,二、数学的判断,三、数学的推理,三、推理,1.推理和推理的组成,推理,是从一个或几个已知判断推出一个新的判断的思维形式。其作用是从已知的知识得到未知的知识，特别是可以得到不可能通过感觉经验掌握的未知知识。,任何推理都是由前提和结论两部分组成，推理的前提是推理所依据的已知判断或概念，推理的结论是由前提所推出的新的