第六章 6.3 分式线性映射.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,6.3,分式线性映射,一、,分式线性映射的一般形式,二、,分式线性映射的分解,三,、,分式线性映射的特性,四,、,唯一决定分式线性映射的条件,五,、,两个典型区域间的映射,1,一、,分式线性映射的一般形式,定义,(,为复数且,),由分式线性函数,构成的映射，称为,分式线性映射,；,特别地，若,则称为,(,整式,),线性映射,。,(2),分式线性映射的逆映射也是一个分式线性映射：,(1),两个分式线性映射的复合，仍是一个分式线性映射；,注,2,二、,分式线性映射的分解,分析,将分式线性函数 分解：,其复合过程为：,3,二、,分式线性映射的分解,分析,因此，一个一般形式的分式线性映射可以由下面四种,最简单的分式线性映射复合而成。,(1),(,b,为复数,),；,(2),(,为实数,),；,(3),(,r,为正数,),；,复合成,(,整式,),线性映射。,复合成,分式,线性映射。,(4),4,二、,分式线性映射的分解,1.,平移映射,(,b,为复数,),令,则有,向量 的方向平移一段距离,.,它将,点集,(,点 曲线 区域等,),沿着,、,、,下面分别对四种映射进行讨论。为了比较映射前后的变化，,将,w,平面与,z,平面放在同一个平面上。,5,二、,分式线性映射的分解,2.,旋转映射,旋转一个角度,它将,点集,(,点 曲线 区域等,),、,、,(,为实数,),令,则有,当 时，沿逆时针旋转；,当 时，沿顺时针旋转。,6,二、,分式线性映射的分解,3.,相似映射,其特点是保持点,的辐角不变，,(,r,为正数,),令,则有,但模扩大,(,或缩小,),r,倍,。,它将曲线或者区域,相似,地,扩大,(,或缩小,),r,倍,。,7,单位圆外,(,或内,),，且辐角反号。,二、,分式线性映射的分解,4.,反演,(,或倒数,),映射,它将单位圆内,(,或外,),的点映射到,令,则有,圆周对称的概念,定义,设某圆周,C,的半径为,R,，,则称,A,和,A,B,两点位于从圆心,O,B,是,关于圆周,C,对称,的。,出发的射线上，,且,P145,定义,6.3,自然地，规定,圆心,O,与,无穷远点,关于该圆周对称。,8,单位圆外,(,或内,),，且辐角反号。,二、,分式线性映射的分解,4.,反演,(,或倒数,),映射,它将单位圆内,(,或外,),的点映射到,令,则有,结论,是,单位圆周对称映射,与,实轴对称映射,的复合。,9,二、,分式线性映射的分解,两个特殊的对称,映射,(1),关于单位圆周的对称映射,令,则有,即,(2),关于实轴的对称映射,令,则有,即,10,单位圆外,(,或内,),，且辐角反号。,二、,分式线性映射的分解,4.,反演,(,或倒数,),映射,它将单位圆内,(,或外,),的点映射到,令,则有,结论,是,单位圆周对称映射,与,实轴对称映射,的复合。,11,三,、,分式线性映射的几种特性,1.,保形性,定理,分式线性映射在扩充复平面上是,共形映射,。,注意,该定理不仅从,理论上,确保了分式线性映射是,共形映射，,而且其中的,保角性,在分式线性映射的构造中,非常实用。,P146,定理,6.5,2.,保圆性,约定,将直线看作是半径为无穷大的,圆,。,P147,定理,6.6,定理,在扩充复平面上，分式线性映射能把圆变成圆。,(1),如果给定的圆,(,或直线,),上,没有点映射成无穷远点，,注,则它就映射成,半径有限的圆；,非常实用,12,三,、,分式线性映射的几种特性,1.,保形性,定理,分式线性映射在扩充复平面上是,共形映射,。,注意,该定理不仅从,理论上,确保了分式线性映射是,共形映射，,而且其中的,保角性,在分式线性映射的构造中,非常实用。,P146,定理,6.5,2.,保圆性,约定,将直线看作是半径为无穷大的,圆,。,P147,定理,6.6,定理,在扩充复平面上，分式线性映射能把圆变成圆。,(2),如果给定的圆,(,或直线,),上,有一点映射成无穷远点，,注,则它就映射成,直线,.,非常实用,13,在分式线性映射下，求圆,(,或圆弧段,),的像曲线的方法,方法二,分解为四种简单映射的复合。,方法三,利用保圆性，选三点定圆。,对于圆弧段,(,或直线段,),，两个端点必须选定,。,方法四,综合利用保圆性与保角性。,(1),找出原像曲线中的一些,“,特殊点,”,所对应的像点，,从而能够大致地确定出像曲线的位置。,(2),找出一些,“,特殊曲线,”,(,如坐标轴等,),所对应的像。,(3),由原像之间的关系,(,如,夹角,等,),确定像之间的关系。,三,、,分式线性映射的几种特性,方法一,求像曲线满足的方程（见上节方法）。,14,解,方法一,分解为四种简单映射,平移,倒数,旋转,相似,平移,平移,倒数,相似,平移,旋转,P147,例,6.6,修改,求直线,例,下的像曲线。,在映射,解,方法二,利用保圆性，直接三点定圆,找 三 点,另 找 三 点,(,不是蛮好直接定圆,),求直线,例,下的像曲线。,在映射,P147,例,6.6,修改,解,方法三,借助特殊点和特殊曲线,(3),由于,和,在,点,正交,，,(1),特殊点,故,和 在,点,正交,；,故其像曲线,是经过 两点的圆；,将虚轴记为,在直线,C,上取两点 和,由于,(2),特殊线,则其像曲线 为实轴；,求直线,例,下的像曲线。,在映射,P147,例,6.6,修改,(,结合保圆性和保角性,),解,首先作一个简单的定性分析,(3),由于 被映射为 被映射为,0,，,被映射为从原点出发且相互,垂直,的两条射线。,(1),区域,D,的边界 和 是,圆弧,段，,且 和 的,交角,为,90,度；,(2),由于所给的映射为分式线性映射，,因此具有,保圆,性与,保角,性；,因此,圆弧,和,P148,例,6.7,求区域,例,在映射,下的像区域。,解,方法一,利用保圆性，直接三点定圆,其中,求区域,例,在映射,下的像区域。,P148,例,6.7,解,方法二,利用保圆性，保角性,(1),(2),由 和 在 点正交，,(3),由 顺时针旋转,90,度到 ，,知 和 在 点正交；,(,保大小,),知 顺时针旋转,90,度到 。,(,保方向,),求区域,例,在映射,下的像区域。,P148,例,6.7,解,方法三,借助特殊曲线,(2),由 与,的交角及位置关系，,知 与,的交角及位置关系，,从而很容易地确定出 和,。,(1),将虚轴上从 到 的一段记为,则,求区域,例,在映射,下的像区域。,P148,例,6.7,3,、,保对称点性,的象点 也关于象曲线,对称。,设点,关于圆周,C,对称，则在分式线性映射下，它们,定理,P150,定理,6.7,三,、,分式线性映射的几种特性,22,分析,四,、,唯一决定分式线性映射的条件,分式线性映射,中含有四个常数,如果用这四个数中的一个去除分子和分母，则可以将,分式线性映射,中的四个常数化为三个独立的常数。,由此可见，只需要给定三个条件，就能决定一个分式,线性映射。,P151,定理,6.8,也任给三个不同的点,分别依次映射为,平面上,平面上任给三个不同的点,定理,在,线性映射,，,将,在,则,存在唯一的分式,23,注,(1),由于分式线性映射具有保圆性，,为过 三点的,圆,。,把过 三点的,圆,映射,直接应用于：,(2),如果 或 中有一个为,将对应点公式中含有 的项换成,1,。,因此对应点公式通常,则只需,P152,推论,6.1,六,、,唯一决定分式线性映射的条件,称下式为,对应点公式,：,定义,P151,式子,(,6.10),24,特别地，,若,则,(,k,待定,),设 为分式线性映射，且,推论,则它可表示为,:,(,k,为任意复常数,),。,非常实用,P152,推论,6.2,六,、,唯一决定分式线性映射的条件,称下式为,对应点公式,：,定义,P151,式子,(,6.10),点的弧,映射成过原点的直线。,把过,特点：,如果在构造共形映射的过程中，,左式是作为中间步骤,，则,可直接设为,1.,25,例,已知区域,求一分式线性映射，将区域,D,映射,为第一象限。,解,方法一,(1),令,则,这个可以没有,(2),旋转,可由保角性直接得,P152,例,6.9,例,已知区域,求一分式线性映射，将区域,D,映射,解,为第一象限。,故,再要求将,得,方法二,令,k,待定，,也可要求将 或者其它点,.,说明,从,上半单位圆域,到,第一象限,的映射为,结论：,五,、,两个典型区域间的映射,将,上半平面,映射成,单位圆域,特点,这两个区域的边界都是,圆,。,求解,方法一,(,三点定圆,),在实轴上和单位圆周上分别取三点：,根据对应点公式有,整理得,显然，如果取另外的三点则会得到另外的结果。,P153,例,6.10,比较重要,28,五,、,两个典型区域间的映射,将,上半平面,映射成,单位圆域,特点,这两个区域的边界都是,圆,。,求解,方法二,(,求通式,),根据前面的推论有,在上半平面任取一点,由,保对称点性,，则有,(,k,待定,).,29,五,、,两个典型区域间的映射,特点,这两个区域的边界都是,圆,。,求解,方法二,(,求通式,),(,k,待定,).,又当 在实轴上取值时，有,即,特别，取 则得到方法一的结果。,故,比较重要,将,上半平面,映射成,单位圆域,30,求一共形映射 将区域,映射为,例,解,方法一,(,利用三点定圆,),根据对应点公式有,整理后即得,如图，在,和,上分别取三点：,31,解,方法二,(,利用保对称点性,),即得,(,k,待定,).,在,内取一点,由保对称点性有,再令,故,求一共形映射 将区域,映射为,例,32,解,方法三,(,直接套用公式,),(,旋转,),(,相似,),由,求一共形映射 将区域,映射为,例,33,(,旋转,),(,相似,),由,解,(1),求通式,P154,例,6.12,求一共形映射 将区域,映射为,例,且满足,34,求一共形映射 将区域,映射为,例,解,(1),求通式,且满足,(2),代入条件,由,有,故,由,有,即得,P154,例,6.12,35,当区域边界都是“圆”时,，求共形映射的常用方法：,方法二,利用保对称点性。,方法一,利用保圆性，选三点定圆。,方法三,直接套用公式,(2),将上半平面映射为单位圆域,公式,(,无附加条件,),(,由附加条件确定,),(1),从,上半单位圆域,到,第一象限,的映射为,(,结合相似、旋转等简单映射,),(,结合对应点公式,),36,