第五章Green函数法.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数理方程分类,与时间,有关,稳定态,格林函数法,无源：,拉普拉斯方程,有源：,泊松方程,无源,有源,第五章 格林函数法,Method of Green function,5.1,函数,物理和工程技术中，许多物理现象具有脉冲性,如集中在一点的质量分布、电荷分布等问题（即质点、点电荷的概念）力学中集中作用在一点的力所产生的压强、热学中的点热源，以及在电路中出现的瞬时电流、瞬时电压等。,它们不在某一空间范围内出现，也,不在某一时间间隔内出现，,而只是在某一空间点，或某一瞬时才出现。,研究这类现象产生的问题都要涉及到下面介绍的,函数,1,函数的,引入,设在,x,轴上有一金属线，则在任意点处金属线的密度为,若取金属线的总质量为,1,，且集中分布在,x=0,处,，则,更一般的,即,另外的例子,显然，上例中的电流强度无法用一个普通函数来表示，为了确定这类工程中常见的函数，必须引入广义函数,简记为,函数,.,有了这种函数，对于许多集中于一点或一瞬时的量，例如点电荷、点热源、集中于一点的质量以及脉冲技术中非常窄的脉冲等，都能够像处理连续分布的量那样，以统一的方式加以解决,.,从数学上弄清,函数的定义，要涉及到广义函数的知识。为方便起见，我们可把,函数看作是弱收敛函数序列的弱极限,.,这表明,函数可以看成一个普通函数序列的弱极限,.,工程上常将,函数称为,单位脉冲函数,.,有时将,函数用一个长度等于,1,的有向线段表示，线段的长度表示,函数的积分值称为,函数的强度,.,由,函数的定义，可以推出,函数的一个重要结果，称为,函数的,筛选性质,:,1.,筛选性质,5.,根据,函数的定义，容易得出宗量为函数的,函数的性质,证明,:,根据,函数的定义,现将全部积分区间分成若干间隔，使每一间隔,含有一个 的单根，则对于任意的连续函数有,最后一步用了中值定理，其中,令,因,即,又由于,所以有,于是,根据,函数的筛选性质和,Fourier,变换的定义，容易求出,函数的,Fourier,变换,.,另外,比较上述二式，得,注意：这时的广义积分不是普通意义下的积分值，,函数的,Fourier,变换是一种广义的,Fourier,变换,.,一些常见函数的广义,Fourier,变换,:,解,5.2,泊松方程的边值问题,泊松方程的,基本解,第一边值问题,拉普拉斯方程的解,第二边值问题,第三边值问题,格林函数的,定义：,一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的场。,如,格林函数的定义,格林函数,线性定解问题的叠加原理,一般,“,源,”,产生,“,场,”,的方法,格林函数,点源函数,应用,第一格林公式,推导过程,第二格林公式,令函数,G,满足：,则,？,格林函数法,点源函数法,如定解问题,积分形式解,挖掉包含点,M,0,的区域,，,利用第二格林公式：,两式相减,有,考虑到,前式左端第一项为零,即,前式右端第一项中之,s,e,积分项,（并令,0,即有）,前式右端第二项中之,s,e,积分项,在式,故有,中,已有,泊松方程第一边值问题,可以证明,(p256),D-,氏积分公式,所以,得,代入上式，得,称基本积分公式,泊松方程第三边值问题,用,左乘,用,左乘,二式相减，得,代入基本积分公式,*泊松方程第二边值问题,得,代入基本积分公式,无界空间的格林函数,三维空间,二,维空间,5.3,格林函数的一般求法,有界,空间,的格林函数,球内,半空间,圆内,半平面,三维无界区域的格林函数（基本解）,问题：,方法,1,：利用,微分形式的,高斯定理，,M,0,位置的点电荷,0,产生的电势,(M,M,0,),无界区域的格林函数,或,令无穷远处电势为零，则,C,2,=0,方法,2,：利用,拉普拉斯方程在球坐标系下的解,先假设,r,0,=0,。,以,r,0,=0,为心，,为半径做球,，则,若电荷位于任意点,r,0,，则,无界区域的格林函数,此即三维,无界空间的格林函数。,二维无界区域的格林函数,r,0,位置,，均匀带电的无限长直导线，电荷线密度,0,，在空间产生的电势分布,(r,r,0,),方法,1,：,二维无界区域的格林函数,p,o,z,A,电场强度,电势,如果选择为,A,点电势零点，且令,那么有,先考虑带电直导线通过原点,O,。,如果带,电直导线通过任意点,那么,方法,2,：利用,拉普拉斯方程在极坐标系下的解,先考虑带电直导线通过原点,O,。,再考虑带,电直导线通过任意点,求,解过程,方,程变为,解之，得,对方,程两边作面积分，得,利用二维散度定理,所以,即,所以,下面主要介绍,电像法,(Method of images),有界区域的格林函数,有界区域的格林函数,令,且,而,电像法的基本问题,在点电荷附近有导体或介质存在时，空间的静电场是由点电荷和导体的感应电荷或介质的束缚电荷共同产生的。,在所求的场空间中，导体的感应电荷或介质的极化电荷对场点而言能否用场空间以外的区域（导体或介质内部）某个或几个假想的电荷来代替呢？,光学理论给我们的启发，看过哈哈镜的人会有这样的印象：平面镜内的像与物大小一样，凸面镜内的像比物小，凹面镜内的像比物大。,当我们把点电荷作为物，把导体或介质界面作为平面镜，那么导体的感应电荷或介质的极化电荷就可作为我们所说的像，然后把物和像在场点处的贡献迭加起来，就是我们讨论的结果。,电像法,(Method of images),5.4,用电像法求某些特殊区域的格林函数,电像法的注意事项,a),唯一性定理要求所求电势必须满足原有电荷分布所满足的,Poisson,s equation or,Laplace,s,equation,。因此，在所研究的场域内不可放置像电荷，也就是说，,像电荷必须放在研究的场域外,。,b),由于像电荷代替了真实的感应电荷或极化电荷的作用，因此放置像电荷后，就认为原来的真实的导体或介质界面不存在。也就是把,整个空间看成是无界的均匀空间,。并且其介电常数应是所研究场域的介电常数。,c),像电荷是虚构的,，它只在产生电场方面与真实的感应电荷或极化电荷有等效作用。而,其电量并不一定与真实的感应电荷或真实的极化电荷相等,，不过在某些问题中，它们却恰好相等。,d),镜像法所适应的范围是：,场区域的电荷是,点电荷，无限长带电直线,；,导体或介质的边界面必是简单的,规则的几何面,（球面、柱面、平面）。,电像法,(Method of images),电像法的具体应用,用电像法解题大致可按以下步骤进行：,a),正确写出电势应满足的微分方程及给定的边界条件；,b),根据,给定的边界条件计算像电荷的电量和所在位置；,c),由已知电荷及像电荷写出势的解析形式；,下面按界面形状的不同分类举例讨论,首先讨论界面为球面的情况。,电像法,(Method of images),例,1,求解球（域内）的,D-,氏问题,解：由基本公式,非奇次项,第一类边界条件,所以基本公式变为,其中,G,为,D-,氏格林函数，满足,F,自由电荷,产生的电势,g,是感应电荷产生的电势,g,的求解不从数学上直接求解上述方程，而是采用电像法。,G,函数物理意义：,M,0,处放置点电荷,0,的,接地,导体球内任意,M,处的电势，而静电场中,导体外任一点的电势是点电荷与感应电荷产生的电势之和,前述,且,故球域内的,D-,氏问题，,转化为求边界为球面的三维泊松方程的,D-,氏格林函数,用一个虚构的点电荷代替感应电荷整体的作用。,M,M,0,M,1,0,1,r,r,1,M,M,0,M,1,=,a,0,1,r,r,1,1,）像,电荷,的空间位置,2,）像电荷的大小,1,）像点的确定：,）域外；,）半径延长线,电像法的关键在于：,如图，记,使,则,M1,为,M0,关于球面 的像点,2,）像电荷的大小,当,M,点在球面上 时，有,所以，有,即,所以,由此可以确定，对于点电荷,0,，相应的负电荷是,它在球域内,M,点产生的电势为,满足,M,M,0,M,1,=,a,0,1,r,r,1,在一接地导体球,(R,=a),外点,M,0,(r,0,),处放置一电量为,0,的点电荷。求导体球,外,任一点的电势。,则有：,例,2,球外第一边值问题的格林函数,例,3,半空间第一边值问题的格林函数,在一,接地无限大导体板上方的,点,M,0,(r,0,),处放置一电量为,0,的点电荷。求,导体板上方,任一点的电势。,像电荷所带电量为,0,，,位置如图所示,故金属薄板上方任一点的电势为,例,4,在,半空间,z0,内,求解拉普拉斯方程的第一边值问题,解：,相应的第一边值问题的格林函数：,泊松方程第一边值问题的解：,代入,积分表达式中，即,可求出解。,例,5,圆外第一边值问题的格林函数,有一线电荷密度为,=,-,0,的无限长带电直线与半径为,a,的接地无限长导体圆柱壳轴线平行。直线与圆柱轴线的距离为,r,0,(,r,0,a,),，试求圆柱外的电势分布。,分析,空间任一点的电势是带电线和感应电荷分别产生的电势的迭加,垂直于柱轴的任何平面上的电势分布是完全相同的，因此可取一个垂直于柱轴的平面来讨论,y,r,0,x,-,0,a,r,o,r,1,r,0,x,R,R,P,(,x,y,),a,圆,柱外空间任一点的电势为,其中,即,故有,于是有,比较两边系数得,从而得,化简得,解此一元二次方程得到,其中,r,1,=,r,0,不符合物理要求。,故有：,因而圆柱外任一点的电势为,圆柱外任一点的电势为,r,o,r,1,r,0,x,R,R,P,(,x,y,),a,有一线电荷密度为,0,的无限长带电直线与半径为,a,的接地无限长导体圆柱壳轴线平行。直线与圆柱轴线的距离为,r,0,(,r,0,a,),，试求圆柱内的电势分布。,