2019届江苏专用高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.2导数的应用第一课时导数与函数的单调性讲义理苏教.ppt

,3.2,导数的应用,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.,函数的单调性,在某个区间,(,a,，,b,),内，如果,f,(,x,),0,，那么函数,y,f,(,x,),在这个区间内单调递增；如果,f,(,x,),0,，那么函数,y,f,(,x,),在这个区间内单调递减,.,2.,函数的极值,(1),求函数,y,f,(,x,),的极值的方法,一般地，当函数,f,(,x,),在点,x,0,处连续时，,如果在,x,0,附近的左侧,，右侧,，那么,f,(,x,0,),是极大值；,如果在,x,0,附近的左侧,，右侧,，那么,f,(,x,0,),是极小值,.,知识梳理,0,f,(,x,)0,f,(,x,)0,(2),求可导函数极值的步骤：,求,f,(,x,),；,求方程,的根；,考察,f,(,x,),在方程,的根附近的左右两侧导数值的符号,.,如果左正右负，那么,f,(,x,),在这个根处取得,；如果左负右正，那么,f,(,x,),在这个根处取得,.,f,(,x,),0,f,(,x,),0,极大值,极小值,3.,函数的最值,(1),在闭区间,a,，,b,上连续的函数,f,(,x,),在,a,，,b,上必有最大值与最小值,.,(2),若函数,f,(,x,),在,a,，,b,上单调递增，则,为函数的最小值，,为函数的最大值；若函数,f,(,x,),在,a,，,b,上单调递减，则,为函数的最大值，,为函数的最小值,.,(3),设函数,f,(,x,),在,a,，,b,上连续，在,(,a,，,b,),内可导，求,f,(,x,),在,a,，,b,上的最大值和最小值的步骤如下：,第一步求,f,(,x,),在区间,(,a,，,b,),上的极值；,第二步将第一步中求得的极值与,f,(,a,),，,f,(,b,),比较，得到,f,(,x,),在区间,a,，,b,上的最大值与最小值,.,f,(,a,),f,(,b,),f,(,a,),f,(,b,),知识拓展,1.,在某区间内,f,(,x,)0(,f,(,x,)0.(,),(2),如果函数,f,(,x,),在某个区间内恒有,f,(,x,),0,，则,f,(,x,),在此区间内没有单调性,.,(,),(3),函数的极大值不一定比极小值大,.(,),(4),对可导函数,f,(,x,),，,f,(,x,0,),0,是,x,0,点为极值点的充要条件,.(,),(5),函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值,.,(,),(6),三次函数在,R,上必有极大值和极小值,.(,),考点自测,1.(,教材改编,),f,(,x,),x,3,6,x,2,的单调递减区间为,_.,答案,解析,(0,，,4),f,(,x,),3,x,2,12,x,3,x,(,x,4),，,由,f,(,x,)0,，得,0,x,0,时，,e,x,1,，,a,e,x,1.,几何画板展示,第,1,课时导数与函数的单调性,题型分类深度剖析,题型一不含参数的函数的单调性,例,1,(1),函数,y,x,2,ln,x,的单调递减区间为,_.,答案,解析,(0,，,1),令,y,0,，得,0,x,0,，,确定函数单调区间的步骤,(1),确定函数,f,(,x,),的定义域；,(2),求,f,(,x,),；,(3),解不等式,f,(,x,)0,，解集在定义域内的部分为单调递增区间；,(4),解不等式,f,(,x,)0),，,解答,f,(,x,),6,x,2,3,tx,3,t,2,3(2,x,t,)(,x,t,).,t,0,，以下分两种情况进行讨论：,(1),研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论,.,(2),划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为,0,的点和函数的间断点,.,(3),个别导数为,0,的点不影响所在区间的单调性，如,f,(,x,),x,3,，,f,(,x,),3,x,2,0(,f,(,x,),0,在,x,0,时取到,),，,f,(,x,),在,R,上是增函数,.,思维升华,跟踪训练,2,讨论函数,f,(,x,),(,a,1),ln,x,ax,2,1,的单调性,.,解答,几何画板展示,f,(,x,),的定义域为,(0,，,),，,当,a,1,时，,f,(,x,)0,，故,f,(,x,),在,(0,，,),上单调递增；,当,a,0,时，,f,(,x,),1,，即,a,的取值范围为,(,1,，,).,(2),若函数,h,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),在,1,，,4,上单调递减，求,a,的取值范围,.,解答,由,h,(,x,),在,1,，,4,上单调递减得，,引申探究,1.,本题,(2),中，若函数,h,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),在,1,，,4,上单调递增，求,a,的取值范围,.,解答,由,h,(,x,),在,1,，,4,上单调递增得，,当,x,1,，,4,时，,h,(,x,),0,恒成立，,a,1,，即,a,的取值范围是,(,，,1.,2.,本题,(2),中，若,h,(,x,),在,1,，,4,上存在单调递减区间，求,a,的取值范围,.,解答,h,(,x,),在,1,，,4,上存在单调递减区间，,则,h,(,x,),1,，即,a,的取值范围是,(,1,，,).,根据函数单调性求参数的一般思路,(1),利用集合间的包含关系处理：,y,f,(,x,),在,(,a,，,b,),上单调，则区间,(,a,，,b,),是相应单调区间的子集,.,(2),f,(,x,),为增函数的充要条件是对任意的,x,(,a,，,b,),都有,f,(,x,),0,且在,(,a,，,b,),内的任一非空子区间上,f,(,x,),不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解,.,(3),函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题,.,思维升华,跟踪训练,3,已知函数,f,(,x,),e,x,ln,x,a,e,x,(,a,R,).,(1),若,f,(,x,),在点,(1,，,f,(1),处的切线与直线,y,x,1,垂直，求,a,的值；,解答,(2),若,f,(,x,),在,(0,，,),上是单调函数，求实数,a,的取值范围,.,解答,几何画板展示,若,f,(,x,),为单调递减函数，则,f,(,x,),0,在,x,0,时恒成立,.,由,g,(,x,)0,，得,x,1,；,故,g,(,x,),在,(0,，,1),上为单调递减函数，在,(1,，,),上为单调递增函数，,此时,g,(,x,),的最小值为,g,(1),1,，但,g,(,x,),无最大值,(,且无趋近值,).,故,f,(,x,),不可能是单调递减函数,.,若,f,(,x,),为单调递增函数，,由,g,(,x,)0,，得,0,x,0,，得,0,x,1,；,由,g,(,x,)1.,8,分,综上可得：当,a,0,时，函数,g,(,x,),在,(0,，,1),上单调递增，,在,(1,，,),上单调递减；,课时作业,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1.(2015,课标全国,改编,),设函数,f,(,x,),是奇函数,f,(,x,)(,x,R,),的导函数，,f,(,1),0,，当,x,0,时，,xf,(,x,),f,(,x,),0,，则使得,f,(,x,)0,成立的,x,的取值范围是,_.,答案,解析,(,，,1),(0,，,1),因为,f,(,x,)(,x,R,),为奇函数，,f,(,1),0,，,所以,f,(1),f,(,1),0.,则,g,(,x,),为偶函数，,g,(1),g,(,1),0.,故,g,(,x,),在,(0,，,),上为减函数，在,(,，,0),上为增函数,.,所以在,(0,，,),上，当,0,x,1,时，,g,(,x,),g,(1),0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,综上，知使得,f,(,x,),0,成立的,x,的取值范围是,(,，,1),(0,，,1).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.,已知函数,f,(,x,),x,3,ax,4,，则,“,a,0,”,是,“,f,(,x,),在,R,上单调递增,”,的,_,条件,.,答案,解析,充分不必要,故,“,a,0,”,是,“,f,(,x,),在,R,上单调递增,”,的充分不必要条件,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.,在区间,(,1,，,1),内不是增函数的函数是,_.,y,e,x,x,；,y,sin,x,；,y,x,3,6,x,2,9,x,2,；,y,x,2,x,1.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,y,e,x,x,，,y,e,x,10,，在区间,(,1,，,1),内是增函数；,y,sin,x,，,y,cos,x,，在区间,(,1,，,1),内是增函数；,y,x,3,6,x,2,9,x,2,，,y,3,x,2,12,x,9,3(,x,2),2,3,，在区间,(,1,，,1),内是增函数；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.,已知函数,y,f,(,x,),在定义域,4,，,6,内可导，其图象如图，记,y,f,(,x,),的导函数为,y,f,(,x,),，则不等式,f,(,x,),0,的解集为,_.,答案,解析,不等式,f,(,x,),0,的解集即函数,y,f,(,x,),的减区间，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.(2017,江苏扬州中学月考,),若函数,f,(,x,),mx,2,ln,x,2,x,在定义域内是增函数，,则实数,m,的取值范围是,_.,答案,解析,由题意知，,f,(,x,),0,在,(0,，,),上恒成立，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.,定义在,R,上的函数,f,(,x,),满足：,f,(,x,),f,(,x,),恒成立，若,x,1,0,，所以,g,(,x,),单调递增，,当,x,1,x,2,时，,g,(,x,1,),g,(,x,2,),，即,，,所以,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.(2016,苏州模拟,),若函数,f,(,x,),x,3,bx,2,cx,d,的单调减区间为,(,1,，,3),，则,b,c,_.,答案,解析,12,f,(,x,),3,x,2,2,bx,c,，,由题意知,1,x,3,是不等式,3,x,2,2,bx,c,f,(,c,),f,(,d,),f,(,b,),f,(,a,),f,(,e,),f,(,c,),f,(,b,),f,(,a,),f,(,c,),f,(,e,),f,(,d,),答案,解析,依题意得，当,x,(,，,c,),时，,f,(,x,)0,，,所以函数,f,(,x,),在,(,，,c,),上是增函数，,因为,a,b,f,(,b,),f,(,a,),，因此,正确,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,对,f,(,x,),求导，得,f,(,x,),x,2,x,2,a,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,10.(2016,全国,甲,卷改编,),若函数,f,(,x,),x,sin 2,x,a,sin,x,在,(,，,),单,调递增，则,a,的取值范围是,_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.(2016,江苏南京十三中月考,),函数,f,(,x,),ax,3,3,x,2,3,x,(,a,0).,(1),讨论,f,(,x,),的单调性；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,函数,f,(,x,),ax,3,3,x,2,3,x,(,a,0),，,f,(,x,),3,ax,2,6,x,3,，,令,f,(,x,),0,，即,3,ax,2,6,x,3,0,，则,36(1,a,).,当,a,1,时，,0,，,f,(,x,),0,，,f,(,x,),在,R,上是增函数；,当,a,0,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(,),当,0,a,0,，当,x,(,x,2,，,x,1,),时，,f,(,x,)0,，,故函数,f,(,x,),在,(,，,x,2,),，,(,x,1,，,),上是增函数，在,(,x,2,，,x,1,),上是减函数；,(,),当,a,0,时，易知当,x,(,，,x,1,),或,x,(,x,2,，,),时，,f,(,x,)0,，,故函数,f,(,x,),在,(,，,x,1,),，,(,x,2,，,),上是减函数，,在,(,x,1,，,x,2,),上是增函数,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2),若函数,f,(,x,),在区间,(1,，,2),上是增函数，求,a,的取值范围,.,解答,当,a,0,时，,f,(,x,),3,ax,2,6,x,30(,x,(1,，,2),，,故,a,0,时，,f,(,x,),在区间,(1,，,2),上是增函数，,当,a,0,时，当,x,(,，,0),时，,f,(,x,)0,；,当,x,(0,，,a,),时，,f,(,x,)0,，,f,(,x,),的增区间为,(,，,0),，,(,a,，,),，减区间为,(0,，,a,).,当,a,0,；,当,x,(,a,，,0),时，,f,(,x,)0,，,f,(,x,),的增区间为,(,，,a,),，,(0,，,),，减区间为,(,a,，,0).,f,(,x,),在,R,上单调递增,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2),设函数,g,(,x,),f,(,x,),2,x,，且,g,(,x,),在区间,(,2,，,1),上存在单调递减区间，求实数,a,的取值范围,.,解答,g,(,x,),x,2,ax,2,，依题意，存在,x,(,2,，,1),，,使不等式,g,(,x,),x,2,ax,20,成立，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,