电磁场与波矢量分析与场论.ppt

,电磁场与波,第1章 矢量分析和场论,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,电磁场与波矢量分析与场论,一、矢量和标量的定义,1.标量：,只有大小，没有方向的物理量。,矢量,表示为：,所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。,其中：为矢量的模，表示该矢量的大小。,为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。,2.矢量：,不仅有大小，而且有方向的物理量。,如:力 、速度 、电场 等,如：温度 T、长度 L 等,例：在直角坐标系中，,x,方向的大小为 6 的矢量如何表示？,图示法：,力的图示法：,二、矢量的运算法则,1.加法:,矢量加法是矢量的几何和,服从,平行四边形规则,。,a.满足交换律：,b.满足结合律：,三个方向的单位矢量用 表示。,根据矢量加法运算：,所以：,在直角坐标系下的矢量的表示:,其中：,矢量：,.,模的计算,：,.,单位矢量,：,.,方向角与方向余弦,：,在直角坐标系中三个矢量加法运算：,2.减法：,换成加法运算,逆矢量：,和 的模相等，方向相反，互为逆矢量。,在直角坐标系中两矢量的减法运算：,推论：,任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。,3.乘法：,（1）标量与矢量的乘积：,方向不变，大小为,|,k,|倍,方向相反，大小为,|,k,|倍,（2）矢量与矢量乘积分两种定义,a.标量积（点积）：,两矢量的点积,含义：,一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，其结果是一标量。,在直角坐标系中,，已知三个坐标轴是相互正交的，即,有两矢量点积：,结论:两矢量点积等于对应分量的乘积之和。,推论1：满足交换律,推论2：满足分配律,推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。,推论1：不服从交换律：,推论2：服从分配律：,推论3：不服从结合律：,推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。,b.矢量积（叉积）：,含义：,两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三者符合右手螺旋法则。,在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：,x,y,z,两矢量的叉积又可表示为：,（3）三重积：,三个矢量相乘有以下几种形式：,矢量，标量与矢量相乘。,标量，标量三重积。,矢量，矢量三重积。,a.标量三重积,法则：在矢量运算中,先算叉积,后算点积。,定义：,含义：标量三重积结果为三矢量构成的平行六面体的体积。,注意,：,先后轮换次序。,推论,：,三个非零矢量共面的条件。,在直角坐标系中：,b.矢量三重积：,例1：,求：,中的标量,a,b,c,。,解：,则：,设,例2：,已知,求：确定垂直于 、所在平面的单位矢量。,解：,已知,所的矢量垂直于 、所在平面。,三、矢量微分元：线元，面元，体元,例：,其中：和 称为微分元。,在直角坐标系中，坐标变量为(,x,y,z,),，如图，做一微分体元。,线元：,面元：,体元：,面元 是矢量，或写成,方向的规定：,闭合曲面外法线方向(自内向外)为正。,非闭合曲面的边界绕行方向与法向成右手螺旋法则,在圆柱坐标系中，坐标变量为 ，如图，做一微分体元。,线元：,面元：,体元：,在球坐标系中，坐标变量为 ，如图，做一微分体元。,线元：,面元：,体元：,a.在直角坐标系中，,x,y,z,均为长度量，其拉梅系数均为1，,即：,b.在柱坐标系中，坐标变量为 ,其中 为角度，其对应的线元 ，可见拉梅系数为：,在球坐标系中，坐标变量为 ，其中 均为,角度，其拉梅系数为：,注意：,每个坐标长度增量同各自坐标增量之比,称为度量系数或,在正交曲线坐标系中，其坐标变量 不一定都是长度，其线元必然有一个修正系数，这些修正系数称为拉梅系数，若已知其拉梅系数 ，就可正确写出其线元，面元和体元。,体元：,线元：,面元：,正交曲线坐标系：,四、标量场的梯度,等值面,可以看出：,标量场的函数是单值函数，各等值面是互不,相交的。,以温度场为例：,热源,等温面,甲：每米的温度变化为,乙：每米的温度变化为,丙：每米的温度变化为,同一温度场中，其等温面沿不同方向的变化率不同。,沿着l1、l2、l3 的方向性导数不同,a.方向导数：,空间变化率，称为方向导数。,为最大的方向导数。,标量场的场函数为,定义：,标量场中某点梯度的大小为该点最大的方向导数，,其方向为该点所在等值面的法线方向。,数学表达式：,计算：,在直角坐标系中：,所以：,梯度也可表示：,在柱坐标系中：,在球坐标系中：,在任意正交曲线坐标系中：,在不同的坐标系中，梯度的计算公式：,在直角坐标系中：,某二维标量场梯度,梯度的积分,梯度场的曲线积分与路径无关，只与起点,P,和终点,Q,有关。,若 ，有,五、矢量场的散度,1.矢线（场线）：,在矢量场中，若一条曲线上每一点的切线方向与场矢量在该点的方向重合，则该曲线成为矢线。,2.通量：,定义：,如果在该矢量场中取一曲面S，,通过该曲面的矢量线称为通量。,表达式：,若曲面为闭合曲面：,+,-,物理意义-流向曲面一侧的流量,若流体流过平面上面积为S的一个区域，,且流体在此区域上各点的流速为常量v，,设n为该平面的单位法向量,则单位时间内流过此区域的流体组成一底面积为S、斜高为|v|的斜柱体，这斜柱体的体积为,n,v,S,S,讨论：,a.,如果闭合曲面上的总通量,说明穿出闭合面的通量大于穿入曲面的通量，意味着闭合面内存在正的通量源。,b.,如果闭合曲面上的总通量,说明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢线在曲面内终止了，意味着闭合面内存在负源或称沟。,c.,如果闭合曲面上的总通量,说明穿入的通量等于穿出的通量。,3.散度：,a.定义：,矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。,b.表达式：,c.散度的计算：,在直角坐标系中，如图做一封闭曲面，该封闭曲面由六个平面组成。,矢量场 表示为：,在,x,方向上：,计算穿过 和 面的通量为,因为：,则：,在,x,方向上的总通量：,在,z,方向上,穿过 和 面的总通量：,整个封闭曲面的总通量：,同理：在,y,方向上,穿过 和 面的总通量：,该闭合曲面所包围的体积：,通常散度表示为：,4.散度定理：,物理含义：穿过一封闭曲面的总通量等于矢量散度的体积分。,柱坐标系中：,球坐标系中：,正交曲线坐标系中：,直角坐标系中：,常用坐标系中，散度的计算公式,六、矢量场的旋度,1.环量：,在矢量场中，任意取一闭合曲线，将矢量沿该曲线积分称之为环量。,可见：环量的大小与环面的方向有关。,以 为周界的曲面S，规定S的正法线方向 和 的绕行方向成右螺旋关系，当 缩小到某点附近，以下极限有一确定值，,称该极限值为矢量场在此点处沿 方向的环流密度。（该值与 的形状无关，但与所围面积的法线 有关）,2.环量面密度:,3.旋度:,定义：一矢量其大小等于某点最大环量密度,方向为该环面的法线方向,表达式：,旋度可用符号表示：,由旋度的定义可知，沿任意方向 的环流密度等于,旋度沿该方向的投影。（旋度在该方向的分量）,旋度计算：,以直角坐标系为例，一旋度矢量可表示为：,场矢量：,其中：为,x,方向的环量密度。,其中：,可得：,同理：,所以：,旋度公式：,为了便于记忆，将旋度的计算公式写成下列形式:,类似的，可以推导出在广义正交坐标系中旋度计算公式：,对于柱坐标，球坐标，已知其拉梅系数，代入公式即可写出旋度的计算公式。,3.斯托克斯定理：,物理含义：,一个矢量场旋度的面积分等于该矢量沿此曲面周界的曲线积分。,方向相反,大小相等,结果抵消,恒等式,即任何标量场的梯度的旋度恒等于零；,推论：如果一个矢量场F的旋度等于零，那么该矢量场,可由一个标量场的梯度来表示。,证明：,即任何标量场的旋度的散度恒等于零；,推论：如果一个矢量场F的散度等于零，那么该矢量场,可由另一个矢量场的旋度来表示。,证明：,亥姆霍兹定理的简化表述如下:若矢量场,F,在无限空间中处处单值,且其导数连续有界,而源分布在有限区域中,则矢量场由其散度、旋度和边界条件唯一确定。并且,它可表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和,即,七、亥姆霍兹定理,调和场，有源无旋场，无源有旋场，有源有旋场,根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类：,其方向为该点所在等值面的法线方向。,定义：一矢量其大小等于某点最大环量密度,整个封闭曲面的总通量：,掌握矢量在正交坐标系中的表示方法,方向相反，大小为|k|倍,若矢量场F在某区域V内，处处有：F=0和F=0 则在该区域V内，场F为调和场。,若流体流过平面上面积为S的一个区域，,（旋度在该方向的分量）,在圆柱坐标系中，坐标变量为 ，如图，做一微分体元。,沿着l1、l2、l3 的方向性导数不同,可由另一个矢量场的旋度来表示。,定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。,如果 ，则称矢量场F为无旋场。,矢量场的Laplace运算,其中：为x 方向的环量密度。,可由另一个矢量场的旋度来表示。,在矢量场中，任意取一闭合曲线，将矢量沿该曲线积分称之为环量。,矢量场的分类,若矢量场,F,在某区域V内，处处有：,F,=0,和,F,=0,则在该区域V内，场F为调和场。,注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。,如果 ，则称矢量场F为无旋场。无旋场F可以表示为另一个标量场的梯度。,如果 ，则称矢量场F为无源场。无源场F可以表示为另一个矢量场的旋度。,一般的情况下，如果在矢量场F的散度和旋度都不为零，即,在圆柱坐标系中：,在球坐标系中：,在广义正交曲线坐标系中：,拉普拉斯算子,在直角坐标系中：,标量Laplace算子,矢量场的Laplace运算,在直角坐标系中，,矢量拉普拉斯算子,重要的场论公式,两个零恒等式,任何标量场梯度的旋度恒为零。,任何矢量场的旋度的散度恒为零。,常用的矢量恒等式,可以看出：标量场的函数是单值函数，各等值面是互不,如果 ，则称矢量场F为无旋场。,根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类：,两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三者符合右手螺旋法则。,在直角坐标系中三个矢量加法运算：,且流体在此区域上各点的流速为常量v，,在圆柱坐标系中，坐标变量为 ，如图，做一微分体元。,在矢量场中，任意取一闭合曲线，将矢量沿该曲线积分称之为环量。,若矢量场F在某区域V内，处处有：F=0和F=0 则在该区域V内，场F为调和场。,在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即,整个封闭曲面的总通量：,掌握矢量在正交坐标系中的表示方法,基本要求,掌握矢量在正交坐标系中的表示方法,掌握矢量的代数运算及其在坐标系中的几何意义,掌握矢量积、标量积的计算,了解矢量场散度的定义，掌握其计算方法和物理意义；掌握散度定理的内容，并能熟练运用。,了解矢量场旋度的定义，掌握其计算方法和物理意义；掌握斯托克斯公式的内容，并能熟练应用。,了解标量场的梯度的定义，掌握其计算方法和物理意义,了解曲面坐标系中矢量的表示方法、三种坐标系的转换,了解曲面坐标系中散度、旋度的表示，线元、面积元、体积元的表示,正确理解亥姆霍兹定理的内容，并能正确应用。,作业,P1820,1.2 (2)(4),1.15 (1),1.16 (2),1.17 (2),谢谢观看,谢谢观看,