建模培训1课件.ppt

一,建立数学模型,1.1,从现实对象到数学模型,1.2,数学建模的重要意义,1.3,椅子放稳问题,1.4,全国大学生数学建模竞赛简介,玩具、照片、飞机、火箭模型,实物模型,水箱中的舰艇、风洞中的飞机,物理模型,地图、电路图、分子结构图,符号模型,模型,是为了一定目的，对客观事物的一部分,进行简缩、抽象、提炼出来的,原型,的替代物,.,模型,集中反映了,原型,中人们需要的那一部分特征,.,1.1,从现实对象到数学模型,我们常见的模型,你碰到过的数学模型,“,航行问题”,用,x,表示船速，,y,表示水速，列出方程：,答：船速为,20km/h,.,甲乙两地相距,750km,，船从甲到乙顺水航行需,30h,，,从乙到甲逆水航行需,50h,，问船的速度是多少,?,x,=,20,y,=,5,求解,航行问题,建立数学模型的基本步骤,作出简化假设（船速、水速为常数）,用符号表示有关量（,x,y,分别表示船速和水速）,用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以,时间）列出数学式子（二元一次方程）,求解得到数学解答（,x,=20,y,=5,）,回答原问题（船速,为,20km/h,）,数学模型,(Mathematical Model),和,数学建模（,Mathematical Modeling),对于一个,现实对象,，为了一个,特定目的,，,根据其,内在规律,，作出必要的,简化假设,，,运用适当的,数学工具,，得到的一个,数学表述,.,建立数学模型的全过程,（包括表述、求解、解释、检验等）,数学模型,数学建模,1.2,数学建模的重要意义,电子计算机的出现及飞速发展,.,数学以空前的广度和深度向一切领域渗透,.,数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，,越来越受到人们的重视,.,在一般工程技术领域,数学建模仍然大有用武之地,.,在高新技术领域,数学建模几乎是必不可少的工具,.,数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地,.,1.3,椅子能在不平的地面上放稳吗,问题分析,模型假设,通常,三只脚着地,放稳,四只脚着地,四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形,.,地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面,.,地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地,.,模型构成,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,.,椅子位置,利用正方形,(,椅脚连线,),的对称性,.,x,B,A,D,C,O,D,C,B,A,用,(,对角线与,x,轴的夹角,),表示椅子位置,.,四只脚着地,距离是,的函数,.,四个距离,(,四只脚,),A,C,两脚与地面距离之和,f,(,),B,D,两脚与地面距离之和,g,(,),两个距离,椅脚与地面距离为零,正方形,ABCD,绕,O,点旋转,正方形对称性,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,.,f,(,),g,(,),是,连续函数,对任意,f,(,),g,(,),至少一个为,0,数学问题,已知：,f,(,),g,(,),是,连续函数,;,对任意,，,f,(,),g,(,)=0;,且,g,(,0,)=0,，,f,(,0,)0.,证明：存在,0,，使,f,(,0,)=,g,(,0,)=0.,模型构成,地面为连续曲面,椅子在任意位置至少三只脚着地,模型求解,给出一种简单、粗糙的证明方法,3,）由,f,g,的连续性知,h,为连续函数,据连续函数的基本性质,必存在,0,(0,0,0,，知,f,(,/2,)=0,g,(,/2,)0.,2,）令,h,(,)=,f,(,),g,(,),则,h,(0)0,和,h,(,/2,)0),，总剂量,1100 mg,药物在,t,=0,瞬间进入胃肠道,.,2.,血液系统中药物的排除率与,y,(,t,),成正比，比例系数,(0),，,t,=0,时血液中无药物,.,3.,氨茶碱被吸收的半衰期为,5 h,，排除的半衰期为,6 h.,4.,孩子的血液总量为,2000 ml.,胃肠道中药量,x,(,t,),血液系统中药量,y,(,t,),，时间,t,以孩子误服药的时刻为起点（,t,=0,）,.,模型建立,x,(,t,),下降速度与,x,(,t,),成正比,(,比例系数,),总剂量,1100mg,药物在,t,=0,瞬间进入胃肠道,.,转移率正比于,x,排除率正比于,y,胃肠道,血液系统,口服药物,体外,药量,x,(,t,),药量,y,(,t,),y,(,t,),由吸收而增长的速度是,x,，由排除而减少的速度与,y,(,t,),成正比,(,比例系数,),t,=0,时血液中无药物,.,模型,求解,药物吸收的半衰期为,5 h,药物排除的半衰期为,6 h,只考虑血液对药物的排除,血液总量,2000ml,血药浓度,200,g/ml,结果及分析,胃肠道药量,血液系统药量,血药浓度,100,g/ml,y,(,t,)=200mg,严重中毒,y,(,t,)=400mg,致命,t,=1.62,t,=4.87,t,=7.89,y,=442,孩子到达医院前已严重中毒，如不及时施救，约,3h,后将致命！,y,(2)=236.5,施救方案,口服活性炭使药物排除率,增至原来的,2,倍,.,孩子到达医院,(,t,=2),就开始施救，血液中药量记作,z,(,t,),=0.1386(,不变,),，,=0.1155,2=0.2310,施救方案,t,=5.26,z,=318,施救后血液中药量,z,(,t,),显著低于,y,(,t,).,z,(,t,),最大值低于致命水平,.,要使,z,(,t,),在施救后立即下降，可算出,至少应为,0.4885.,若采用体外血液透析，,可增至,0.1155,6=0.693,，血液中药量下降更快；临床上是否需要采取这种办法，当由医生综合考虑并征求病人家属意见后确定,.,3.2,按年龄分组的人口模型,不同年龄组的繁殖率和死亡率不同,.,建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律,.,假设与建模,种群按年龄大小等分为,n,个年龄组，记,i=,1,2,n,时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记,k=,1,2,以雌性个体数量为对象,.,第,i,年龄组,1,雌性个体在,1,时段内的,繁殖率,为,b,i,第,i,年龄组在,1,时段内的死亡率为,d,i,存活率,为,s,i,=,1,-,d,i,假设,与,建模,x,i,(,k,),时段,k,第,i,年龄组的种群数量,按年龄组的分布向量,预测任意时段种群按年龄组的分布,Leslie,矩阵,(,L,矩阵,),(,设至少,1,个,b,i,0),稳定状态分析的数学知识,L,矩阵存在,正单特征根,1,，,若,L,矩阵存在,b,i,b,i,+1,0,则,P,的第1列是,x,*,特征向量,c,是由,b,i,s,i,x,(0),决定的常数,且,解释,L,对角化,稳态分析,k,充分大,种群按年龄组的分布,种群按年龄组的分布趋向稳定，,x,*,称,稳定分布,与初始分布无关,.,各年龄组种群数量按同一倍数增减，,称,固有增长率,与基本模型,比较,3,）,=1,时,各年龄组,种群,数量不变,1,个个体在整个存活期 内的繁殖数量为,1,稳态分析,存活率,s,i,是同一时段的,x,i+,1,与,x,i,之比,（与,s,i,的定义 比较）,3,）,=1,时,人口模型,连续型人口模型的离散形式,x,i,(,k,),k,年,i,岁,的,女性人数,(,模型只考虑女性人口,).,b,i,(,k,),k,年,i,岁女性生育率,(,每人平均生育女儿数,).,d,i,i,岁女性死亡率，,s,i,=,1,-d,i,存活率,i,1,i,2,生育区间,k,年育龄女性平均生育女儿数,总合生育率,(,生育胎次,),年龄分布向量,h,i,生育模式,人口模型,存活率矩阵,生育模式矩阵,x,(,k,),状态变量,(,k,),控制变量,双线性方程,(,对,x,(,k,),(,k,),线性,),原模型,