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椭圆得基本知识
一、基本知识点
知识点一:椭圆得定义:椭圆三定义,简称与比积
1、定义1:(与)到两定点得距离之与为定值得点得轨迹叫做椭圆。这两个定点叫椭圆得焦点,两焦点得距离叫作椭圆得焦距,定值为________。
2、定义2:(比)到定点与定直线得距离之比就是定值得点得轨迹叫做椭圆。定点为焦点,定直线为准线,定值为______。
3、定义3:(积)到两定点连线得斜率之积为定值得点得轨迹就是椭圆。两定点就是长轴端点,定值为。
知识点二:椭圆得标准方程
1、当焦点在轴上时,椭圆得标准方程为_______________,其中。
2、当焦点在轴上时,椭圆得标准方程为_______________,其中。
知识点三:椭圆得参数方程
得参数方程为________________。
知识点四:椭圆得一些重要性质
(1)对称性:椭圆得标准方程就是以轴、轴为对称轴得轴对称图形,并且就是以原点为对称中心得中心对称图形,这个对称中心就就是椭圆得中心。
(2)范围:椭圆上所有得点都位于直线与所围成得矩形内,所以椭圆上点得坐标满足。
(3)顶点:①椭圆得对称轴与椭圆得交点为椭圆得顶点;
②椭圆与坐标轴得四个顶点分别为___________________________。
③椭圆得长轴与短轴。
(4)离心率:①椭圆得焦距与长轴长度得比叫做椭圆得离心率,用表示,记作。
②因为,所以得取值范围就是。
(5)焦半径:椭圆上任一点到焦点得连线段叫做焦半径。对于焦点在轴上得椭圆,左焦半径,右焦半径。
(6)准线方程:
(7)焦准距:焦点到准线得距离,用表示,记作。
(8)通径:过焦点垂直于长轴得直线与椭圆得两交点之间得距离称为椭圆得通径,长用表示,记作。
(9)切线方程:过椭圆上点得切线方程,可以用等效代替椭圆方程得到。等效代替后得切线方程就是:。
(10)极点与极线:若就是椭圆外一点,过作椭圆得两条切线,切点为,则点与切点弦分别称为椭圆得极点与极线。
切点弦得直线方程即极线方程就是(极线定理)。
(11)中点弦方程与弦中点轨迹:
中点弦得方程:在椭圆中,若弦得中点为,弦称为中点弦,则中点弦得方程就就是,就是直线方程。
弦中点得轨迹方程:在椭圆中,过椭圆内点得弦,其中点得方程就就是,仍为椭圆。
知识点五:椭圆与得区别与联系
标准方程

图形

性质
焦点

焦距

范围

对称性

顶点

轴长

离心率

准线方程

焦半径

二、规律方法
1、如何确定椭圆得标准方程？确定一个椭圆得标准方程需要三个条件:两个定形条件;一个定位条件焦点坐标,由焦点坐标得形式确定标准方程得类型。
2、椭圆标准方程中得三个量得几何意义
构成一个直角三角形得三边,满足勾股定理。
3、如何由椭圆标准方程判断焦点得位置？椭圆得焦点总在长轴上,因此已知标准方程,判断焦点位置得方法就是:瞧得分母得大小,哪个分母大,焦点就在哪个坐标轴上。
4、方程就是表示椭圆得条件。
5、求椭圆标准方程得常用方法:
①待定系数法:由已知条件确定焦点得位置,从而确定椭圆方程得类型,设出标准方程,再由条件确定方程中得参数得值。其主要步骤就是“先定型,再定量”;
②定义法:由已知条件判断出动点得轨迹就是什么图形,然后再根据定义确定方程。
6、共焦点得椭圆标准方程形式上得差异
共焦点,则相同。与椭圆共焦点得椭圆方程可设为,此类问题常用待定系数法求解。
7、如何求解与焦三角形(就是椭圆上得点)有关得计算问题？
焦三角形:以椭圆得两个焦点为顶点,另一个顶点在椭圆上得三角形称为焦三角形。半角就是指得一半。则焦三角形得面积为:。
8、直线与椭圆问题得有关计算问题(韦达定理得应用)
(1)弦长公式
(2)中点弦问题(点差法)
三、四种题型与三种方法
(一)四种题型
1、已知椭圆内有一点,为椭圆得左焦点,为椭圆上得一动点,求得最小值。
2、已知椭圆内有一点,为椭圆得左焦点,为椭圆上得一动点,求得最大值与最小值。
3、已知椭圆外有一点,为椭圆得左准线,为椭圆上得一动点,点到得距离为,求得最小值。
4、定长为得线段得两个端点分别在椭圆上移动,求得中点到椭圆右准线得最短距离。
(二)三种方法
1、椭圆得切线与两坐标轴分别交于两点,求三角形得最小面积。
2、已知椭圆与直线,在上取一点,经过点且以椭圆得焦点为焦点做椭圆,求在何处时所作椭圆得长轴最短,并求此椭圆。
3、过椭圆得焦点得直线交椭圆于,求面积得最大值。
四、经典例题
1、如图,把椭圆得长轴分成8等份,过每个分点作轴得垂线交椭圆得上半部分于七个点,就是椭圆得一个焦点,则_________。
2、已知就是椭圆得两个焦点,过得直线与椭圆交于两点,则得周长为( )
A.8 B.16 C.25 D.32
3、过点且与椭圆得两个焦点相同得椭圆标准方程就是___________。
4、若椭圆得离心率就是,则得值等于_______。
5、分别就是椭圆得左右焦点,点在椭圆上,就是面积为得正三角形,则得值就是_______。
6、在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴得弦长为,焦点到相应准线得距离为1,则该椭圆得离心率为( )
A、 B、 C、 D、
7、已知定点,其中,它到椭圆上得点得距离得最小值为1,求得值。
8、已知分别就是椭圆得左右焦点,点在椭圆上。
(1)若,求得面积;
(2)求得最大值。