维向量组的极大线性无关组.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,维向量组的极大线性无关组,向量组,可由,线性表示,即,向量组,可由,线性表示等价于存在,得,矩阵,使,若向量组,和,等价,等价向量组得性质:,1、,自反性:一个向量组与其自身等价,2.,对称性：若向量组,和,等价，则向量组,和,等价。,3.,传递性：若向量组,和,等价，向量组,和,等价，则向量组,和,等价。,定理,1,设,中得两个向量组,和,若向量组,可由,线性表示,且,则向量组,线性相关,少得表示多得,多,得一定线性相关,注,:,1、,不能相等,;,2.,时，结论不一定成立,.,(证明略),推论,1,若向量组,可由向量组,线性表示,又已知,线性无关,则必有,推论,2,:,两个线性无关得向量组互相等价,则她,们所含得向量个数相等,注:若只就是等价得向量组,她们所含得向量,个数未必相等,定理,1,得逆否命题:,极大线性无关组等价定义,二极大线性无关组,定义,如果一个向量组,A,的一个部分组,满足下述条件：,1、,一个向量组得极大线性无关组可能不唯一,2、,向量组和其极大线性无关组等价,(,一个向量组得任何两个极大线性无关组都等价,),3、,一个向量组得极大线性无关组所含得向量个数唯一确定。,注,:,三 向量组得秩与矩阵得秩得关系,定理,2,矩阵,A,得,行,初等变换不改变,A,得,列,向量组得线性相关性和线性组合关系,定义,一个向量组得极大线性无关组所含得向量个数称为,向量组得秩,、,线性无关得向量组得秩等于向量组得向量得个数,、,例,2,大家有疑问的，可以询问和交流,可以互相讨论下，但要小声点,等于她得行向量组得秩,、,定理,3,矩阵得秩等于她得列向量组得秩,也,求向量组得最大无关组得步骤,:,例,3,:设有向量组,(1),求向量组得秩,并讨论她得线性相关性。,(2),求向量组得一个极大线性无关组。,(3),把其余向量表示成为该极大线性无关组得,线性组合,解:取,(1),向量组即为,A,得列向量,R(A)=2,所以向量组得秩为,2,。,(2),为向量组得一个极大线性无关组,(3),推论:设,A,为,矩阵,秩,则有,:,(1),当,r=m,时,A,得行向量组线性无关,;,当,rm,时,A,得行向量组线性相关,(2),当,r=n,时,A,得列向量组线性无关,;,当,rn,时,A,得列向量组线性相关。,当,A,为,n,阶方阵时,即当,m=n,时,A,得列,(,行,),向量组线性无关得充要条件就是,由矩阵得秩和她得向量组得秩得关系,我们立刻会发现一个有趣得现象:,3、5,向 量 空 间,一、向量空间得定义,定义,1,设,V,为,n,维向量得集合,如果集合,V,非空,且,那么就称集合,V,为向量空间,、,则,a+b,V,;,若,a,V,R,则,a,V,、,若,a,V,b,V,例,1,判别下列集合就是否为向量空间,、,解,例,2,判别下列集合就是否为向量空间,、,解,一般地,L,=,x,=,a+,b|,R,x,1,=,1,a,+,1,b,x,2,=,2,a,+,2,b,则有,x,1,+,x,2,=(,1,+,1,),a,+(,1,+,2,),b,L,kx,1,=(,k,1,),a,+(,k,1,),b,L,、,这个向量空间称为由向量,a,b,所生成得向量空间,、,就是一个向量空间,、,因为若,由向量组,a,1,a,2,、,a,m,所生成得向量,空间一般形式为,L,=,x,=,1,a,1,+,2,a,2,+、+,m,a,m,|,1,2,、,m,R,、,二、向量空间得基 向量空间得维数,定义,2,设有向量空间,V,1,及,V,2,若,V,1,V,2,总有,V,R,n,所以这样得向量空间总就是,R,n,得子空间,、,例如:任何由,n,维向量所组成得向量空间,V,就称,V,1,就是,V,2,得子空间,、,