3.1变化率与导数(公开课用).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,牛顿,莱布尼兹,两人同时创立了,微积分,导数及其应用,3.1.1,变化率问题,研究某个变量相对于另一个变量变化,导数研究的问题,的快慢程度,变化率问题,第一次,第二次,0.62,dm,0.16,dm,问题一,:,气球膨胀率,气球的平均,膨胀率,为,气球的平均,膨胀率,为,当气球的空气容量从,V,1,增加到,V,2,时，,气球的平均膨胀率是多少？,思考,在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度,h,(,单位,:m),与起跳后的时间,t,(,单位,:,s,),存在函数关系,如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运动状态,那么,:,在,0,t,0.5,这段时间里,在,1,t,2,这段时间里,问题二,:,高台跳水,计算运动员在 这段时间里的平均速度,并思考下面的问题,:,(1),运动员在这段时间里是静止的吗,?,(2),你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗,?,平均速度不能准确反映该段段时间里运动状态,.,探究,式子,平均变化率的定义,若设,x=x,2,-x,1,y=f(x,2,)-f(x,1,),则平均变化率为,这里,x,看作是相对于,x,1,的一个“增量”可用,x,1,+x,代替,x,2,同理,y=f(x,2,)-f(x,1,),y,x,=,f(x,2,)-f(x,1,),x,2,x,1,=,f(x,1,+,x)f(x,1,),x,称为函数,f,(,x,),从,x,1,到,x,2,的,平均变化率,.,思考,?,观察函数,f(x),的图象,平均变化率,表示什么,?,O,A,B,x,y,Y=f(x),x,1,x,2,f(x,1,),f(x,2,),x,2,-x,1,=x,f(x,2,)-f(x,1,)=y,直线,AB,的斜率,例,1,、已知函数 ，分别计算 在下列区间上 的平均变化率：,（,1,）,1,，,3,；,（,2,）,1,，,2,；,（,3,）,1,，,1.1,4,3,2.1,例题讲解,例,2.,求函数,y,=5,x,2,+6,在区间,2,，,2+,x,内的平均变化率。,解,y,=,5(2+,x,),2,+6,-,(5,2,2,+6),=20,x,+5,x,2,所以平均变化率为,例题讲解,1.,一质点运动的方程为,s,=1,2,t,2,，则在一段时间,1,，,2,内的平均速度为（）,A,4,B,8,C,6,D,6,C,课堂练习,2.,设函数,y,=,f,(,x,),，当自变量,x,由,x,0,改变到,x,0,+,x,时，函数的改变量为（）,A,f,(,x,0,+,x,),B,f,(,x,0,)+,x,C,f,(,x,0,),x,D,f,(,x,0,+,x,),f,(,x,0,),D,3.,已知,f(x)=2x,2,+1,(1),求,:,其从,x,1,到,x,2,的平均变化率；,(2),求,:,其从,x,0,到,x,0,+,x,的平均变化率，,并求,x,0,=1,x=,时的平均变化率。,（,1,）,2(x,1,+x,2,),（,2,）,4x,0,+2,x,5,课堂练习,小结：,1.,函数的平均变化率,2.,求函数的平均变化率的步骤,:,3.,函数的平均变化率的几何意义：,(1),求函数的改变量：,f,；,(2),计算平均变化率,表示函数图象上两点,A(x1,f(x1),B(x2,f(x2),连线（割线）的斜率。,在高台跳水中，函数关系,h=-4.9t,2,+6.5t+10,h,t,o,如何求,2,时的瞬时速度？,2,0,时,2,0,时,2,瞬时速度：,物体在某一时刻的速度,3.1.2,导数的概念,t0,时,在,2,2+t,这段时间内,当,t=,0.01,时,当,t=,0.01,时,当,t=,0.001,时,当,t=0.001,时,当,t=,0.0001,时,当,t=0.0001,时,t=,0.00001,t=0.00001,t=,0.000001,t=0.000001,当,t,趋近于,0,时,平均速度有什么变化趋势,?,瞬时速度,（在局部）先求平均速度，然后,取极限。,如何求瞬时速度？,lim,是什么意思？,在其下面的条件下求右面的极限值。,运动员在某一时刻,0,的瞬时速度如何表示,?,思考,、函数的平均变化率怎么表示？,思考,导数的定义,:,函数,y,=,f,(,x,),在,x,=,x,0,处的瞬时变化率是,称为函数,y,=,f,(,x,),在,x,=,x,0,处的,导数,记作,或,导数的作用：,在例,2,中，高度,h,关于时间,t,的导数是运动员的,瞬时速度；,在例,1,中，我们用的是平均膨胀率，那么半径,r,关于体积,v,的导数是气球的,瞬时膨胀率,导数可以描绘任何事物的瞬时变化率,求函数,y=f(x),在点,x,0,处的导数的基本步骤是,:,注意：,x,可正也可负,.,一差、二比、三极限,例,1.(1),求函数,y,=3,x,2,在,x,=1,处的导数,.,(2),求函数,f,(,x,)=-x,2,+x,在,x=-1,附近的平均变化率，并求出在该点处的导数,(3),质点运动规律为,s=t,2,+3,，求质点在,t=3,的瞬时速度,.,例题讲解,例,1.(1),求函数,y,=3,x,2,在,x,=1,处的导数,.,例题讲解,例,1.(2),求函数,f,(,x,)=-x,2,+x,在,x=-1,附近的平均变化率，并求出在该点处的导数,例题讲解,例,1.(3),质点运动规律为,s=t,2,+3,，求质点在,t=3,的瞬时速度,.,例题讲解,练习,计算第,3,（,h,）和第,5,（,h,）时，原油温度的瞬时,变化率，并说明它们的意义。,这说明,:,在第,3,小时附近，原油温度大约以,1,的速率下降，在第,5,小时附近，,原油温度大约以,3,的速率上升。,练习：,小结：,1,求物体运动的瞬时速度：,（,1,）求位移增量,s=s(t+t)-s(t),(2),求平均速度,（,3,）求极限,2,由导数的定义可得求导数的一般步骤：,（,1,）求函数的增量,y=f(x,0,+t)-f(x,0,),(2),求平均变化率,（,3,）求极限,一、复习,1,、导数的定义,其中：,其几何意义是,表示曲线上两点连线（就是曲线的,割线,）的斜率。,其几何意义是？,3.1.3,导数的几何意义,P,P,n,o,x,y,y=f(x),割线,切线,T,（曲线在某一点处）切线的定义,当点,P,n,沿着曲线无限接近点,P,即,x,0,时,割线,PP,n,趋近于确定的位置，这个确定位置的直线,PT,称为点,P,处的,切线,.,通过,逼近,的方法，将,割线趋于的确定位置的直线,定义为切线,（交点可能不惟一）,适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。,此处切线的定义与以,前的定义有何不同？,思考,x,o,y,y=f(x),P(x,0,y,0,),Q(x,1,y,1,),M,x,y,割线与切线的斜率有何关系呢？,即：当,x0,时，割线,PQ,的,斜率的极限,，就是曲线在点,P,处的,切线的斜率,，,探究,函数,y=f(x),在点,x,0,处的,导数的几何意义,，就是曲线,y=f(x),在点,P(x,0,f(x,0,),处的,切线的斜率,，即曲线,y=,f(x),在点,P(x,0,f(x,0,),处的切线的斜率是,.,故,曲线,y=f(x),在点,P(x,0,f(x,0,),处的切线方程是,:,结论,x,o,y,y=f(x),P,Q,1,Q,2,Q,3,Q,4,T,继续观察图像的运动过程，还有什么发现？,当点,Q,沿着曲线无限接近点,P,即,x,0,时,割线,PQ,有一个极限位置,PT.,则我们把直线,PT,称为曲线在点,P,处的,切线,.,设切线的倾斜角为,那么当,x0,时,割线,PQ,的斜率,称为曲线在点,P,处的,切线的斜率,.,即,:,这个概念,:,提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法,;,切线斜率的本质,函数平均变化率的极限,.,要注意,曲线在某点处的切线,:,1),与该点的位置有关,;,2),要根据割线是否有极限来判断与求解,.,如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的,;,如不存在,则在此点处无切线,;,3),曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个,.,例,1:,（,1,）求函数,y=3x,2,在点,(1,3),处的导数,.,（,2,）求曲线,y=f(x)=x,2,+1,在点,P(1,2),处的切线方程,.,例题讲解,例,2:,如图,已知曲线,求,:,(1),点,P,处的切线的斜率,;(2),点,P,处的切线方程,.,y,x,-2,-1,1,2,-2,-1,1,2,3,4,O,P,即,点,P,处的切线的斜率等于,4.,(2),在点,P,处的切线方程是,y-8/3=4(x-2),即,12x-3y-16=0.,h,t,o,函数的导函数,函数在点 处的导数 、导函数 、导数 之间的区别与联系。,1,）函数在一点 处的导数 ，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。,2,）函数的导数，是指某一区间内任意点,x,而言的，就是函数,f(x),的导函数,3,）函数在点 处的导数 就是导函数 在 处的函数值，这也是 求函数在点 处的导数的方法之一。,练：设,f(x),为可导函数,且满足条件,求曲线,y=f(x),在点,(1,f(1),处的切线的斜率,.,故所求的斜率为,-2.,巩固提高,课堂练习,:,如图（见课本,P,80,.A6,）已知函数的图像，试画出其导函数图像的大致形状。,P,80,.B2,：根据下面的文字叙述，画出相应的路程关于时间的函数图像的大致形状。,（,1,）汽车在笔直的公路上匀速行驶；,（,2,）汽车在笔直的公路上不断加速行驶；,（,3,）汽车在笔直的公路上不断减速行驶；,练习,:,思考：,物体作自由落体运动,运动方程为：其中位移单位是,m,时间单位是,s,g=10m/s,2,.,求：,(1),物体在时间区间,2,2.1,上的平均速度；,(2),物体在时间区间,2,2.01,上的平均速度；,(3),物体在,t,=2(s),时的瞬时速度,.,分析,:,解,:,(1),将,t=0.1,代入上式，得,:,(2),将,t=0.01,代入上式，得,:,小结：,1.,函数的平均变化率,2.,求函数的平均变化率的步骤,:,(1),求函数的增量：,f=y=f(x,2,)-f(x,1,),f,（,x,1,x,）,f(x,1,);,(2),计算平均变化率,3.,函数的平均变化率的几何意义：,表示函数图象上两点,A(x,1,f(x,1,),B(x,2,f(x,2,),连线（割线）的斜率。,4.,函数在,x=x,0,的瞬时变化率,