计算坐标与坐标方位角基本公式.doc

二 计算坐标与坐标方位角得基本公式
控制测量得主要目得就是通过测量与计算求出控制点得坐标，控制点得坐标就是根据边长及方位角计算出来得。下面介绍计算坐标与坐标方位角得基本公式，这些公式就是矿山测量工中最基本最常用得公式.
一、坐标正算与坐标反算公式
1.坐标正算
根据已知点得坐标与已知点到待定点得坐标方位角、边长计算待定点得坐标,这种计算在测量中称为坐标正算。
如图５-5所示，已知Ａ点得坐标为、，A到B得边长与坐标方位角分别为与,则待定点B得坐标为
　 　 　　 　 ｝ 　 　　 　 　 （5—1） 　　　 　 　　　 　 　　 　 　 　 　 　
式中　 　、——坐标增量。
由图5—5可知
　　 　 　 ｝　 　 　 　 　 （5—2)
式中 -—水平边长;
-—坐标方位角。
将式（5-2)代入式(5－1)，则有
　 　　　 　　 　 　　 　　｝ 　 　 　 　 （5—３)
当A点得坐标、与边长及其坐标方位角为已知时,就可以用上述公式计算出待定点B得坐标。式（5—２)就是计算坐标增量得基本公式，式（5-3)就是计算坐标得基本公式，称为坐标正算公式。
从图５-5可以瞧出就是边长在ｘ轴上得投影长度，就是边长在ｙ轴上得投影长度,边长就是有向线段,就是在实地由Ａ量到Ｂ得到得正值。而公式中得坐标方位角可以从0°到360°变化，根据三角函数定义,坐标方位角得正弦值与余弦值就有正负两种
情况，其正负符号取决于坐标方位角所在得象限,如图5—6所示。从式（5—２)知,由于三角函数值得正负决定了坐标增量得正负，其符号归纳成表５—3。

图５—5 坐标计算 　　　　　 　 　 图5-６ 　坐标增量符号
　 表５—3 　　 　 　 坐标增量符号表
坐标方位角
（°)
所在象限
坐标增量得正负号
⊿x
⊿y
０~9０
90～１8０
1８０～2７0
270~360
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
＋
　 -
　 －
+
+
＋
—
－
例1　已知A点坐标=１00．00m,=300．１0m；边长=1００m，方位角=330°.求B点得坐标、。
解：根据公式（5—3）有

2、坐标反算
由两个已知点得坐标计算出这两个点连线得坐标方位角与边长，这种计算称为坐标反算。
由式（５-1）有
　 　 　 　 ｝　 　　 　 　　 　 　 （5-4)
该式说明坐标增量就就是两点得坐标之差。在图5—5中 表示由A点到达Ｂ点得纵坐标之差称纵坐标增量； 表示由A点到B点得横坐标之差称横坐标增量。坐标增量也有正负两种情况,它们决定于起点与终点坐标值得大小。
在图5-５中如果Ａ点到B点得坐标已知，需要计算AB边得坐标方位角与边长时，
则有

　 　} 　 （5—5）
或 　 　　 　
公式（5—5)称为坐标反算公式。应当指出，使用公式（5-5)中第一式计算得角就是象限角Ｒ,应根据⊿x、⊿y得正负号,确定所在象限，再将象限角换算为方位角.因此公式（5—5)中得第一式还可表示为:

例２.已知=3００m， =500m，=5００m，=３0０m，求A、B二点连线得坐标方位角与边长.
解：由公式(5-５）有

因为为正 、为负,直线AB位于第四象限。所以
根据第四象限得坐标方位角与象限角得关系得：

AＢ边长为:

坐标正算公式与坐标反算公式都就是矿山测量中最基本得公式，应用十分广泛.
在测量计算时,由于公式中各元素得数字较多，测量规范对数字取位及计算成果作了规定。例如图根控制点要求边长计算取至毫米；角度计算取至秒；坐标计算取至厘米。
二、坐标方位角得推算公式
由公式（５—2）知,计算坐标增量需要边长与该边得坐标方位角两个要素，其中边长就是
在野外直接测量或通过三角学得公式计算得到得,坐标方位角则就是根据已知坐标方位角与水平角推算出来得。下面介绍坐标方位角得推算公式。
如图５-7所示，箭头所指得方向为“前进”方向,位于前进方向左侧得观测角称为左观测角，简称左角；位于前进方向右侧得角称为右观测角，简称右角。
1、观测左角时得坐标方位角计算公式
在图５—7与5—8中，已知AＢ边得方位角为,为左观测角，需要求得BＣ边得方位角.就是外业观测得到得水平角,从图上可以瞧出已知方位角与左观测角之与有两种情况:即大于1８0°或小于18０°.图5-7中为大于１80°得情况,图5—8中为小于18０°得情况.

　 图５—7坐标方位角推算 　图５—8坐标方位角推算
从图5-７可知，BC边得坐标方位角为

从图５—8可知,ＢC边得坐标方位角为

综上所述两式则有
　　 　 　　　 　　 　 　 　　 　 　　 (５—６）
式（5—6）就是按照边得前进方向,根据后一条边得已知方位角计算前一条边方位角得基本公式.公式说明:导线前一条边得坐标方位角等于后一条边得坐标方位角加上左观测角，其与大于18０°时应减去１80°，小于1８0°时应加上180°。
　 ２、观测右角时得坐标方位角计算公式
从图5－7 或图５—8可以瞧出

将该式代入式(5— ６），得

当方位角大于360°时，应减去360°，方向不变.所以上式变为
　 　 　 　　 　　　 　　 （5—7）
上式说明:导线中，前一条边得坐标方位角等于后一条边得坐标方位角减去右观测角，
其差大于180°时应减去１８０°，小于180°时应加上180°。
使用式（5－6）与（５－７）时,还应注意相应两条边得前进方向必须一致，计算结果大于36０°时,则应减去360°，方向不变。
例3 图5-9 为一条支导线，已知Ａ点得坐标方位角 =101°28´，导线A点得左观测角　＝１08°32´,M点得右观测角 =75°。试推算坐标方位角 、.

　　 　 　 　　 　图５—9 　支导线
解 　:由式(5-6）得

则有 　 　 　 　
由式（5-7)得

则有