五年级下册数学专项训练小学奥数第七讲不定方程的整数解_通用版(习题无答案）.doc

五年级下册数学专项训练小学奥数第七讲 不定方程的整数解_通用版(习题无答案）
第七讲　从不定方程１/n = １/ｘ ＋ 1／ｙ得整数解谈起　
求不定方程得整数解、这里n是取定得一个自然数、对于方程
显见x＝y=1２是一个整数解、还有没有别得解？如何求解?有人凭直觉能看出一些解来,但数学要求我们有一个成熟得方法去处理同一类问题。

式更简明，我们不妨把ｘ-6看成一个整体，即令t=x-6，那么x=t＋6、因此
必须是整数,这样我们推知：ｔ是62得因数(约数)。

个未知数x、ｙ得困难问题，转换成找简单得62得因子ｔ得问题了、
　 一个完全平方数得因子必然是奇数个，如６2有因子６、1和36,2和１8，3和12，４和9、６称为自补得因子、后面得２和18等都称为互补因子，这样，不妨记为：
t0=6,ｔ１＝1,ｔ1′=36；t2＝2，t2′＝１8；t３=３,t3′=12;t4=4，
　 这里ｔ和t′是62=36得互补因子（当t＝t′=6时自补因子也包括在内）,所以
　　成一种了。　
以上情况推广到一般情况：求不定方程
得整数解，只要找出ｎ２得全部成组互补因子t和ｔ′，则
　就可得到全部解。
例如，求不定方程：
　 (即n＝12）得整数解,首先分解１２２＝(22·3)2＝24·3２，它得因子根据分解式得结构特点可以排成一个表。
　　按照互补或自补因子配对有：（1,14４),(2，72）,(3,48），(４，36),（6，24)，（8,１8）,(16，9)，(1２，12)。
　“单位分数”(分子为1分母为整数）得和,那么我们相当于求:
　　得整数解，例如求解
　　在这些基本训练基础上，我们很容易把整数1分拆为若干个单位分数之和。
(１,4），（2,2)、可有
　　并且可断言只有这三种形式、为证明这一论断，先介绍“推广得抽屉原理”(称之为平均值原理更确切)：一个（正）数，分放于几个抽屉中，必有一个抽屉内存放得数大于或等于平均值、（注意，这里得数不局限于整数)
故推断正确.
　 在某些问题研究中，并不要求马上找出全部解，只要能将一个单位分数分拆为两个单位分数之和即可，这里我们介绍另一种技巧，先看
　 （我们这里是在讨论单位分数问题时用到(5）式、其实(5）式又可以改变形式写成:
　 它在计算中也有巧妙应用,为保持原问题讨论得连续性，它得具体应用请看习题）。
　 公式（5）在将整数1分裂成若干个单位分数和得求解中，用起来很方便、例如可将１分裂为３个分母不等得单位分数之和。
　　而且,只要不计较分母太大看起来不直观,我们可以把1分裂成任意多个单位分数之和,如
　 分解。
　　上述基本分解还有一种简便一些得算法，它不必分解n2得因子，而只要
　）得所有因子由小到大排列：１、2、３、4、６、12，６个因子任取2个配成一个组合,共有1５种:
　 （1,２)，(1,3)，（1，4），（1，６),(1,1２）
　（２,3），（２,４），（2，6)，（2，１２）
　　（３，4）,（３，6)，（3，12）
　 (４，6）,（4，12)
（6，1２）
　种情况即可、

子不是1得，例如
那么请问是否只有两种方式？答：是、理由呢?因为由推广得抽屉原理，
求整数解呢?
约分后分母为1５,所以[x,ｙ]为15，２×１5,3×15,…，以下分情况讨论。
ｙ=15)得情况应排除。

析,如y大于15，
　③y是ｘ与y可能得最小公倍数3０，45，6０，…中某一个数得约数； ﻫ≠单位分数，
∴排除y=9、同样，也可排除y=1１，12，１３,1４、只有y＝10一种可能。
　 从上例看出分数形式不定方程求整数解不是很容易得、一些国际一流得数学家也致力于这类问题得研究、如１950年,厄尔丢斯猜想:
科学家柯召、孙琦等证明了n＜４×105=４0０000时,猜想成立、1965年有人把n推进到n＜107，１978年又将n推进到了n＜１08.
另有谢平斯基（Sｉerpinｓki)猜想：
　ﻫ来证明、对于大多数小学生来讲,现在功力有限，只能在最简单得情况下一试身手。
　分情况讨论：
　　对于方程（7），再用推广得抽屉原理，有
又3＝x≤y,这样，ｙ＝３或y=4，代入(８）后知（8）无解、
ﻬ习题七　
1、 求不定方程得全部整数解。
　 2、 求不定方程得整数解中，使x+y为最小以及最大得两组解。
3、 应用公式(5），证明：
　　4、 证明:
　5、 求不定方程得整数解,您能求出全部整数解并证明再没有别得角吗？
　 6、　计算