空间几何体的表面积.doc

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1.3.2 空间几何体的体积
1．知识与技能：掌握柱、锥、台体和球体体积的计算方法．
2．过程与方法：通过祖暅原理推导柱、锥、台体和球体的体积计算公式．
3．情感、态度与价值观：了解祖暅原理，了解我国古代数学家在数学发展上作出的杰出贡献．激发学生热爱科学，培养科学精神和态度，提高学习数学的兴趣．
1．体积的基本概念
(1)我们把长、宽、高各为一个单位长的正方体叫做单位正方体，单位正方体的体积为一个体积单位，例如长、宽、高各为1 c,m的单位正方体的体积为1立方厘米，记作1．
(2) -个几何体中含有多少个单位正方体，它的体积就是多少．例如长、宽、高分别为7cm，Scm，4cm的长方体，一共有4层，每层有7 x5 =35个小正方体，因此它总共含有7x5×4= 140个小正方体，其体积为140，由此我们可得到长方体的体积公式为：

其中为长方体的长、宽、高．
2．祖暅原理
由祖暅原理推导柱、锥以及球的体积．其结构图如下：
体积概念

长方体的体积
祖暅原理

转 化
根 据

柱的体积

三棱 柱
锥为 分解为
代表 锥

球的体积
化为柱
锥之差

锥的体积

3. 多面体的体积公式
名称
棱柱
棱锥
棱台
体积V
S底·h
S底·h
h(S上底+S下底+)
表中S表示面积，h表高。
4.旋转体的面积和体积公式
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
体积V
πr2h(即πr2)
πr2h
πh(r21+r1r2+r22)
πR3
表中、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台 上、下底面半径，R表示半径
典型例题
题型一：计算简单组合体的体积
例1: 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).
2
2
侧(左)视图
2
2
2
正(主)视图
俯视图
A. B. C. D.
【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,
圆柱的底面半径为1,高为2,体积为,四棱锥的底面
边长为，高为，所以体积为
所以该几何体的体积为.
答案:C
【技巧总结】三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地
计算出几何体的体积.
【变式与拓展】用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图
如下图所示，则它的体积的最小值为 ，最大
俯视图
主视图
值为 . ，

题型二：利用体积求点到面的距离

D
A
C
O
B
E
例2: 如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

（Ⅰ）求证：平面BCD；
（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角余弦的大小；
（Ⅲ）求点E到平面ACD的距离．
解: ⑴．证明：连结OC

A
C
D
O
B
E
Ｍ
，．
在中，由已知可得
而，
即
∴平面．
⑵．解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为
BC的中点知，
∴　直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角，
在中，
是直角斜边AC上的中线，∴
∴，
∴异面直线AB与CD所成角余弦的大小为．
⑶．解：设点E到平面ACD的距离为． ，
在中，,
,而，．
∴， ∴点E到平面ACD的距离为
【技巧总结】 利用体积相等来求点到面的距离是求距离的重要方法.
【变式与拓展】下图是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图
A
B
C
D
P
E
4
主视图

4
俯视图
4
4
2
2
（1）若为的中点，求证：面；
（2）求A到面PEC的距离；

解：（Ⅰ）由几何体的三视图可知，底面是边长为的正方形，面，
∥，．为的中点，
又面
（Ⅱ）有已知可得
，
由，得；
解得，
题型三: 几何体的体积分割
例3: 从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥A—BCD，求它的体积是正方体体积的几分之几？
解：设正方体体积为Sh,则每个截去的三棱锥的体积
为 ·Sh＝Sh.
∵三棱锥A—BCD的体积为
Sh－4·Sh＝Sh.
∴正三棱锥A—BCD的体积是正方体体积的.
【技巧总结】 几何体的体积分割主要是分清分割后的几何体的组成部分

【变式与拓展】
【变式与拓展】如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC 的中点，平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1∶V2= ____ _。
解：设三棱柱的高为h，上下底的面积为S，体积为V，则V=V1+V2＝Sh。
∵E、F分别为AB、AC的中点，
∴S△AEF=S,
V1=h(S+S+)=Sh
V2=Sh-V1=Sh，
∴V1∶V2=7∶5。

配套习题
1.球的大圆面积扩大为原大圆面积的4倍，则球的表面积扩大成原球面积的（ B ）
A．2倍 B． 4倍 C． 8倍 D．16倍
2. 三个球的半径之比为1：2：3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（ C ）
A．1倍 B．2倍 C．1倍 D．1倍
3. 已知正方体的棱长为a，过有公共顶点的三条棱的中点的截面分别截去8个角，则剩余部分的体积是（ C ）
A．a3 B．a3 C．a3 D．a3
4. 正方形ABCD的边长为1，E、F分别为BC、CD的中点，沿AE，EF，AF折成一个三棱锥，使B，C，D三点重合，那么这个三棱锥的体积为（ B ）
A． B． C． D．
5.棱锥V-ABC的中截面是A1B1C1，则三棱锥V-A1B1C1与三棱锥A-A1BC的体积之比是（ B ）
A．1：2 B． 1：4 C．1：6 D．1：8
6. 如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且
均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为 ( )
A. B.
C. D.
7. 直三棱柱的体积是V，D、E分别在、上，线段DE经过矩形的中心，则四棱锥C-ABED的体积是________________．
8. 圆锥的底面半径为5cm, 高为12cm, 当它的内接圆柱的底面半径为何值时, 圆锥的内接圆柱的全面积有最大值?最大值是多少?
解:如图 ,SAB是圆锥的轴截面, 其中SO=12, OB=5.设圆锥内接圆柱底面半径为O1C=x , 由与相似, 则
OO1=SO-SO1=12-,则圆柱的全面积S=S侧+2S底=2则当时,S取到最大值．

9. 已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体， E、F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1-EBFD1的体积．
解：四棱锥A1-EBFD1的底面是菱形，连接EF，则，平面ABB1A1，
三棱锥F-EBA1的高是CC1到平面AB1的距离，即棱长a， S

10. 1．如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝，M为BC的中点
(Ⅰ)证明：AM⊥PM ；
(Ⅱ)求二面角P－AM－D的大小；
(Ⅲ)求点D到平面AMP的距离
解法1：(Ⅰ) 取CD的中点E，连结PE、EM、EA.
∵△PCD为正三角形，∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°=
∵平面PCD⊥平面ABCD， ∴PE⊥平面ABCD
∵四边形ABCD是矩形
E
Á
B
C
D
P
M
∴△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形
由勾股定理可求得：EM=，AM=，AE=3
∴
，又在平面ABCD上射影：
∴∠AME=90°， ∴AM⊥PM
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知EM⊥AM，PM⊥AM
∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角
∴tan ∠PME=
∴∠PME=45°
∴二面角P－AM－D为45°；
(Ⅲ)设D点到平面PAM的距离为，连结DM，则
， ∴
而
在中，由勾股定理可求得PM=
,所以：∴
即点D到平面PAM的距离为