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5.4 正态分布

一、背景介绍
在许多的实际问题中，考察指标往往都受到为数众多的相互独立的随机因素的影响，而且每一个别因素的影响都是微小的。
引例1 电灯泡在指定条件下的耐用时间受到原料、工艺、保管条件等等因素的影响，而每种因素在正常情形下都是相互独立的，且他们的影响都是均匀地微小的。
引例2 射击的误差也受着许多随机因素的综合影响，如空气的温湿度。风速、气压、射击仪器的随机抖动、瞄准者情绪的随机波动等等。在正常的情况，每一种因素都不应起着压倒一切的主导作用。
在概率论中，具有以上特点的随机变量，一般都可以认为近似地服从一种新的分布—正态分布。
二、正态分布的定义与性质
定义1 若连续型随机变量X的密度函数为

其中，为常数，且，则称X服从参数为，的正态分布（或高斯分布），记作。
正态分布的密度函数的图形如图2-7所示。

图2-7　　　　　　　　　　　　　　　　　　图2-8
容易验证，正态分布的密度函数除具有一般密度函数的两条性质外，还具有如下性质：
（1）在，内连续；
（2），即的图形关于直线对称；
（3）在点处达到最大值；
（4）的图形有两个拐点；
（5）x轴是曲线的水平渐近线；
（6）越大，曲线的峰顶越低，曲线越平坦，即分布越分散；越小，曲线的峰顶越高，曲线越陡峭，即分布越集中（见图2-8）。
正态分布的分布函数为

特别地，若正态分布中的参数，时，则相应的分布N（0，1）称为标准正态分布。其密度函数与分布函数分别用与表示。即

与的图形如图2-9所示。
此外注意到，标准正态密度函数为偶函数，所以对任意x

此公式亦可从图2-10中直观地看出。

三、正态分布的概率计算
1、标准正态分布的概率计算
由于标准正态分布的分布函数不是初等函数，计算它的值是困难的，但在计算概率时又需要用它的值，为此，人们编制了的函数值表，称为正态分布表，见附表2，对于此附表，有两点说明：
（1）表中x的取值范围为[0,5]，对于的情况可取。
（2）若，则可先查表求得的值，再利用公式，得到的值。
例1 设，求概率；；；。
解：

2、一般正态分布的概率计算
设，其分布函数与标准正态分布变量的分布函数之间的关系，讨论如下：
令，则

即       （2.4）
从而有         （2.5）
由（2.4）式可知，求一般正态分布变量的分布函数在点处的值，可转化为求标准正态分的分布函数在点处的值。而利用（2.5）式可求得随机变量X落在以a，b为左右端点的任意区间上的概率。
例2 设，求概率（1）；
解：（1）这里。由（2-5）式得

（2）由(2.4)式得

例3 某学校抽样调查结果表，考生的外语成绩（百分制）X服从正态分布，且96分以上的考生点考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60至84分之间的概率。
解：本题中分，未知，但可通过题中告知的条件求得。
因为 ，
从而
由的数值表，可得，因此，这样，故所求概率为

例4 设，求概率，}
解：

类似地，有

由此看出，X的取值大部分落在区间内，基本上落在区间内，几乎全部落在区间内，仅有0.3%左右落在区间外。
从理论上讲，服从正态分布的随机变量X的取值范围是，但实际上，X取区间外的数值的可能性微乎其微。因此，往往认为它的取值是个有限区间，即区间，这即实用中的三倍标准差规则，也叫3规则，在企业管理中，经常应用这个规则进行质量检查和工艺过程控制。