高考数学常见难题大盘点：立体几何.doc

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2013高考数学常见难题大盘点：立体几何
1.如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点， （I）求证：AC⊥BC1； （II）求证：AC 1//平面CDB1；
解析：（1）证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂直；（2）证明线面平行也有两类：一是通过线线平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行.
答案:解法一：（I）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，
∴ AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴ AC⊥BC1；
（II）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵ D是AB的中点，E是BC1的中点，
∴ DE//AC1，A
B
C
A1
B1
C1
E
x
y
z
∵ DE平面CDB1，AC1平面CDB1，
∴ AC1//平面CDB1；
解法二：∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC、BC、C1C两两垂直，如图，以C为坐标原点，直线CA、CB、C1C分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则C（0,0，0），A（3,0，0），C1（0,0，4），B（0,4，0），B1（0,4，4），D（，2,0）
（1）∵＝（－3,0，0），＝（0，－4,0），∴•＝0，∴AC⊥BC1.
（2）设CB1与C1B的交战为E，则E（0,2，2）.∵＝（－，0,2），＝（－3,0，4），∴，∴DE∥AC1.
点评：2．平行问题的转化：
转化
转化

面面平行线面平行线线平行；

主要依据是有关的定义及判定定理和性质定理．

2.如图所示，四棱锥P—ABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。
(1)求证：BM∥平面PAD；
(2)在侧面PAD内找一点N，使MN平面PBD；
(3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。
解析：本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，
二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.
答案：（1）是的中点，取PD的中点，则
，又
四边形为平行四边形
∥，

∥ （4分）
（2）以为原点，以、、 所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，
在平面内设，，， 由
由
是的中点，此时 （8分）
（3）设直线与平面所成的角为
，，设为

故直线与平面所成角的正弦为 （12分）
解法二：
（1）是的中点，取PD的中点，则
，又
四边形为平行四边形
∥，

∥ （4分）
（2）由（1）知为平行四边形
，又
同理，
为矩形 ∥，，又

作故
交于，在矩形内，，
， 为的中点
当点为的中点时， （8分）
（3）由（2）知为点到平面的距离，为直线与平面所成的角，设为，
直线与平面所成的角的正弦值为
点评：（1）证明线面平行只需证明直线与平面内一条直线平行即可；（2）求斜线与平面所成的角只需在斜线上找一点作已知平面的垂线，斜线和射影所成的角，即为所求角；（3）证明线面垂直只需证此直线与平面内两条相交直线垂直变可.这些从证法中都能十分明显地体现出来

3.如图，四棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面是的菱形，为的中点.
(Ⅰ)求与底面所成角的大小；
(Ⅱ)求证：平面；
(Ⅲ)求二面角的余弦值.
解析：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法 求二面角的大小也可应用面积射影法，比较好的方法是向量法
答案：(I)取DC的中点O，由ΔPDC是正三角形，有PO⊥DC．
又∵平面PDC⊥底面ABCD，∴PO⊥平面ABCD于O．
连结OA，则OA是PA在底面上的射影．∴∠PAO就是PA与底面所成角．
∵∠ADC=60°，由已知ΔPCD和ΔACD是全等的正三角形，从而求得OA=OP=．
∴∠PAO=45°．∴PA与底面ABCD可成角的大小为45°． ……6分
(II)由底面ABCD为菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，有OA⊥DC．
建立空间直角坐标系如图，则, ．
由M为PB中点，∴．
∴．
∴，
．
∴PA⊥DM，PA⊥DC． ∴PA⊥平面DMC． ……4分
(III)．令平面BMC的法向量，
则，从而x+z=0； ……①, ，从而． ……②
由①、②，取x=−1，则． ∴可取．
由(II)知平面CDM的法向量可取，
∴． ∴所求二面角的余弦值为－． ……6分
法二：（Ⅰ）方法同上
（Ⅱ）取的中点，连接，由（Ⅰ）知，在菱形中，由于，则，又，则，即，
又在中，中位线，，则，则四边形为，所以，在中，，则，故而，
则
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，则为二面角的平面角，在中，易得，，
故，所求二面角的余弦值为

点评：本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强 用平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角，是常用的方法.

4.如图所示：边长为2的正方形ABFC和高为2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且DE=，ED//AF且∠DAF=90°。

（1）求BD和面BEF所成的角的余弦；
（2）线段EF上是否存在点P使过P、A、C三点的平面和直线DB垂直，若存在，求EP与PF的比值；若不存在，说明理由。
1,3,5
解析：1.先假设存在，再去推理，下结论： 2.运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算。
答案：（1）因为AC、AD、AB两两垂直，建立如图坐标系，
则B（2，0，0），D（0，0，2），
E（1，1，2），F（2，2，0），
则

设平面BEF的法向量
，则可取，
∴向量所成角的余弦为
。
即BD和面BEF所成的角的余弦。
（2）假设线段EF上存在点P使过P、A、C三点的平面和直线DB垂直，不妨设EP与PF的比值为m，则P点坐标为
Ｖ
A
Ｃ
Ｄ
Ｂ
则向量，向量
所以。
点评：本题考查了线线关系，线面关系及其相关计算，本题采用探索式、开放式设问方式，对学生灵活运用知识解题提出了较高要求。

5.已知正方形 、分别是、的中点,将沿折起,如图所示,记二面角的大小为
(I) 证明平面;
(II)若为正三角形,试判断点在平面内的射影是否在直线上,证明你的结论,并求角的余弦值
分析:充分发挥空间想像能力，重点抓住不变的位置和数量关系，借助模型图形得出结论，并给出证明.
解: (I)证明:EF分别为正方形ABCD得边AB、CD的中点,
EB//FD,且EB=FD,
四边形EBFD为平行四边形
BF//ED.
,平面
(II)如右图,点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,过点A作AG垂直于平面BCDE,垂足为G,连结GC,GD
ACD为正三角形,AC=AD.
CG=GD.
G在CD的垂直平分线上, 点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,
过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则,所以为二面角A-DE-C的平面角 即.
设原正方体的边长为2a,连结AF,在折后图的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,即AEF为直角三角形, .
在RtADE中, .
,
点评：在平面图形翻折成空间图形的这类折叠问题中，一般来说，位于同一平面内的几何元素相对位置和数量关系不变：位于两个不同平面内的元素，位置和数量关系要发生变化，翻折问题常用的添辅助线的方法是作棱的垂线。关键要抓不变的量.

6.设棱锥M-ABCD的底面是正方形，且MA＝MD，MA⊥AB，如果ΔAMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.

分析：关键是找出球心所在的三角形，求出内切圆半径.
解： ∵AB⊥AD，AB⊥MA，
∴AB⊥平面MAD，
由此，面MAD⊥面AC.
记E是AD的中点，从而ME⊥AD.
∴ME⊥平面AC，ME⊥EF.
设球O是与平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球.
不妨设O∈平面MEF，于是O是ΔMEF的内心.
设球O的半径为r，则r＝
设AD＝EF＝a,∵SΔAMD＝1.
∴ME＝.MF＝,
r＝≤＝-1。
当且仅当a＝，即a＝时，等号成立.
∴当AD＝ME＝时，满足条件的球最大半径为-1.
点评：涉及球与棱柱、棱锥的切接问题时一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系。注意多边形内切圆半径与面积和周长间的关系；多面体内切球半径与体积和表面积间的关系。

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