六年级上册数学竞赛试题——复杂应用题串讲习题（含答案）.docx

复杂应用题串讲

这一讲学习的内容是与生活相关的形式多样的应用题．解题时，一定要注意结合实际情况进行分析．

例1． 有一篮鸡蛋分给若干人，第一人拿走1个鸡蛋和余下的，第二人拿走2个鸡蛋和余下的，第三人拿走3个鸡蛋和余下的，……，最后恰好分完，并且每人分到的鸡蛋数相同．那么共有多少个鸡蛋，有多少个人？
「分析」本题可以采用列方程的做法，另外前两个人所拿蛋数很容易表示出来，它们之间存在什么样的数量关系呢？

练习1、一批游客，甲、乙两种客车（一大、一小），用3辆甲种车和4辆乙种车（满载）共需跑5趟，如果用5辆甲种车和3辆乙种车（满载）共需跑4趟，那么甲乙两车的载客量之比是多少？

例2． 一个容器装了的水，现有大、中、小三种小球．第一次把1个中球沉入水中；第二次将中球取出，再把3个小球沉入水中；第三次取出所有的小球，再把1个大球沉入水中．最后将大球从水中取出，此时容器内剩下的水是最开始的．已知每次从容器中溢出的水量情况是：第一次是第三次的一半；第三次是第二次的一半．大、中、小三球的体积比是多少？
「分析」大家还记得“设数法”及比例计算吗？

练习2、A、B、C三人去看电影，如果用A带的钱去买3张票，还差55元，如果用B带的钱去买3张票，还差69元，如果用A、B、C三个人所有的钱去买3张票，则还富余30元．如果已知C带了37元，那么电影票一张要花多少元？

例3． 两个农妇共带100个鸡蛋到市场上去卖，第一个农妇带的鸡蛋比第二个农妇少，但两人所卖的总钱数相同．第一个农妇对第二个农妇说：“我要有你那么多鸡蛋，按我的价钱卖就能把它们卖180元．”第二个农妇回答说：“我要有你那么多的鸡蛋，按我的价钱卖只能把它们卖80元．”请问：两个农妇分别有多少个鸡蛋？
「分析」本题可以采用列方程的做法．
练习3、甲班有42名学生，乙班有48名学生.已知在某次数学考试中按百分制评卷，评卷结果各班的数学总成绩相同，各班的平均成绩都是整数，并且平均成绩都高于80分.那么甲班的平均成绩比乙班高多少分？

例4． 张先生向商店订购了每件定价100元的某种商品80件．张先生对商店经理说：“如果你肯减价，那么每减价1元，我就多订购4件．”经理算了一下，若减价1%，由于张先生多订购，获得的利润反而比原来多52元．那么按张先生的要求，商店最多可以获得多少元利润？
「分析」这道题目中每件商品的成本价是解决问题的关键．

练习4、箱子里有红白两色玻璃球，红球比白球的3倍多2只．每次从箱子里取出7只白球，15只红球，经过若干次之后剩下3只白球，53只红球，那么箱子里原有红球白球各多少只？
B
A

例5． 如图所示，A，B两点把一个周长为1米的圆周等分成两部分．蓝精灵从B点出发在这个圆周上沿逆时针方向作跳跃运动，它每跳一步的步长是米，如果它跳到A点，就会经过特别通道AB滑向B点，并从B点继续起跳，当它经过一次特别通道，圆的半径就扩大一倍．已知蓝精灵跳了1000次，那么跳完后圆周长等于多少米？
「分析」首先可以枚举出前几次周长变化的规律，然后总结规律即可解决本题．

例6． 有4位朋友的体重都是整千克数，他们两两合称体重，共称了5次，称得的千克数分别是99，113，125，130，144，其中有两人没有一起称过，那么这两个人中体重较重的人的体重是多少千克？
「分析」本题整体考虑，寻找解题突破口．

第一次数学危机
从某种意义上来讲，现代意义下的数学（也就是作为演绎系统的纯粹数学）来源于古希腊的毕达哥拉斯学派。这个学派兴旺的时期为公元前500年左右，它是一个唯心主义流派。他们重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文学、音乐称为“四艺”，在其中追求宇宙的和谐及规律性。他们认为“万物皆数”，认为数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界。数学的知识是由于纯粹的思维而获得，并不需要观察、直觉及日常经验。
毕达哥拉斯的数是指整数，他们在数学上的一项重大发现是证明了勾股定理。他们知道满足直角三角形三边长的一般公式，但由此也发现了一些直角三角形的三边比不能用整数来表达，也就是勾长或股长与弦长是不可通约的。这样一来，就否定了毕达哥拉斯学派的信条：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。
不可通约性的发现引起第一次数学危机。有人说，这种性质是希帕索斯约在公元前400年发现的，为此，他的同伴把他抛进大海。不过更有可能是毕达哥拉斯已经知道这种事实，而希帕索斯因泄密而被处死。不管怎样，这个发现对古希腊的数学观点有极大的冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之数却可以由几何量表示出来。整数的尊崇地位受到挑战，于是几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。
同时这也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。从此希腊人开始由“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系，这不能不说是数学思想上一次巨大革命，这也是第一次数学危机的自然产物。
回顾以前的各种数学，无非都是“算”，也就是提供算法。即使在古希腊，数学也是从实际出发，应用到实际问题中去的。比如泰勒斯预测日食，利用影子距离计算 金字塔高度，测量船只离岸距离等等，都是属于计算技术范围的。至于埃及、巴比伦、中国、印度等国的数学，并没有经历过这样的危机和革命，所以也就一直停留 在“算学”阶段。而希腊数学则走向了完全不同的道路，形成了欧几里得《几何原本》的公理体系与亚里士多德的逻辑体系。

课
堂
内
外

作业
1. 一位牧羊人赶着一群羊去放牧，跑出一只公羊后，他数了数羊的只数，发现剩下的羊中，公羊与母羊的只数比是9:7；过了一会跑走的公羊又回到羊群，却又跑走了一只母羊，牧羊人又数了数羊的只数，发现公羊与母羊的只数比是7:5．这群羊原来有多少只？

2. 下表是某班40名同学参加数学竞赛的分数表，如果全班平均成绩是2.5分，那么得3分和5分的各几人？
分数
0
1
2
3
4
5
人数
4
7
10
A
8
B

3. 植树开始时，老师给各组发树苗，第一组分到5棵再加上剩下树苗的，第二组分到10棵再加上剩下树苗的，第三组分到15棵再加上剩下树苗的……，最后，所有的树苗恰好分完，而且各组分到的树苗一样多．问：共有多少棵树苗？分给了多少个组？

4. 某市自来水收费标准如下：每户每月用水4吨以下，每吨水1.80元；当超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲乙两户共交水费26.40元，用水量之比为5:3且均超过4吨．那么甲户交水费多少元？乙户交水费多少元？

5. 某校开学时，七年级新生人数在500~1000范围内，男、女生的比例为8:7，到八年级时，由于收了40名转学过来的学生，男、女生的比例变为17:15，请问该年级入学时，男、女生各有多少人？

复杂应用题串讲答案
例题：
例题1. 答案：81；9
详解：设第一个人拿走一个鸡蛋后还剩x个，那么第一个人拿了()个，第二个人拿了个，所以，解得x=80，所以共有81个鸡蛋，且每个人分得了个．所以共有人．

例题2. 答案：15:6:4
详解：设容器容量为1份，第一次溢出的水量为x，那么，解得：．所以中球的体积为：．第二次放小球前还剩水量为，那么小球的体积是．第三次放球前还剩水量为，那么大球的体积是．所以大、中、小三球的体积比是．

例题3. 答案：40，60
详解：设两人所卖的总钱数为N元，第一个农妇有x个鸡蛋，第二个农妇有y个鸡蛋．由题意可知，方程组上下两式相除可得：，所以，两人一共有100个鸡蛋，因此分别有40、60个．

例题4. 答案：2916
详解：先求成本，设成本为元，则，解得：元．接下来是求最大利润，当降价元时，总利润为，这里与的总和是定值54，所以它们乘积的最大值是．总利润取得最大值时，，即．所以当定价为元时，有总利润的最大值是元．

例题5. 答案：128
详解：第一次跳到A点，跳过的路程应该是米的整数倍，也应该是半圈即米的奇数倍，而，恰好满足要求，所以第一次跳到A点时，已经跳了米，共跳了4次．然后，圆周长变为2．
第二次跳到A点，跳过的路程应该是米的整数倍，也应该是半圈即1米的奇数倍，而，恰好满足要求，所以第二次跳到A点时，在第一次到达A点之后又跳了3米，也就是又跳了8次．然后，圆周长变为4．
之后，每次跳到A点，所要走的路程都恰好是1.5个圆周，由于圆半径在翻倍，所以每次要走的路程也要翻倍，要跳的次数也要翻倍．第3、4、5、6、7、8、…次到达A点，分别又跳了16、32、64、128、256、512、…次，由于，，，所以蓝精灵跳1000次中，一共穿过通道7次，所以跳完后圆周长等于米．

例题6. 答案：66
详解：此时有两个人称了三次，另外两个人称了两次，所以除去称了三次的这两个人的体重之和后剩下的四个体重和的大小应该满足：最大的加最小的等于中间两数和，都等于四个人的体重和．尝试后发现应该去掉125，所以四个人的体重和为99+144=243千克，未称重的两人的体重和为243-125=118千克．这样所有可能出现的6个体重和都求出了．最大的两个数130与144的和减去中间体重的两个人的体重和等于最重那个人的体重的两倍，尝试118和125后发现，只有118符合要求，所以最重人的体重为78，且最轻人的体重为125-78=47千克，因此第二轻的人的体重为99-47=52千克，从而第二重的人的体重为118-52=66千克，所以未称体重的两人的体重分别为52、66．

练习：
1. 答案：8:5
简答：3辆甲车和4辆乙车跑五趟，相当于15甲+20乙，5辆甲车和3辆乙车跑4趟相当于20甲+12乙，于是5甲=8乙，甲乙载客量之比是8:5．
2. 答案：37元
简答：A的钱数是3张票减去55元，B带的钱是3张票减去69元，三人带的钱数之和是6张票减去87元，又由于三人所有钱数买三张票还余30元，画出线段图可得，三张票为117元，每张票37元．
3. 答案：12
简答：设甲、乙班平均分分别是x、y，列不定方程可得甲班平均分为96分，乙班为84分，甲班比乙班高12分．
4. 答案：52、158
简答：分析红球比白球的3倍多2只这个条件，每次取的红球数是白球数的3倍，则最后刚好白球拿完，红球剩两个，题目中7白对应15红，每次少拿6个红球，红球若剩下，则3只白球对应9+2个红球则，还有42个红球，说明拿了7次，则原有白球52只，红球158只．

作业：
1. 答案：49
简答：列方程或根据“剩余羊的只数和不变”用比例做．
2. 答案：3分7人，5分4人
简答：用方程或鸡兔同笼做．
3. 答案：80棵，4组
简答：设一共有x组树苗，根据第一组和第二组分的相等，可列方程如下：
得出x是80；每组20，所以有4组．
4. 答案：17.7，8.7
简答：设甲户用水量为5x，则乙户用水量为3x，那么：根据水费可列方程如下：

，解得x=1.5，于是甲户用水7.5吨，乙户用水4.5吨，均在4吨以上，满足条件；于是甲用户水费17.7元，乙用户水费8.7元．
5. 答案：男生320，女生280
简答：开始的总人数是在500到1000中的15的倍数，加上40名是32的倍数，有
，得出符合条件的x的值是20．