数学建模五步法案例.doc

数学建模五步法小论文
问题再现：
一个汽车制造商售出某品牌的汽车可获利1500美元,估计每100美元的折扣可以使销售额提高15%。
⑴ 多大的折扣可以使利润最高？利用五步方法及单变量最优化模型。
⑵ 对你所得的结果，求关于所做的15%假设的灵敏性。分别考虑折扣量和相应的收益。
⑶ 假设实际每100美元的折扣仅可以使销售额提高10%，对结果会有什么影响？如果每100美元的折扣的提高量为10%~15%之间的某个值, 结果以如何。
⑷ 什么情况下折扣会导致利润的降低？
问题一：
一、 问题的提出
1. 具体问题
（1）多大的折扣可以使利润最高？利用五步方法及单变量最优化模型。
（2）对你所得的结果，求关于所做的15%假设的灵敏性。分别考虑折扣量和相应的收益。
（3）假设实际每100美元的折扣仅可以使销售量提高10%，对结果会有什么影响？如果每100美元的折扣的提高量为10%~15%之间的某个值, 结果以如何.
（4）什么情况下折扣会导致利润的降低。
2. 符号的说明
（1）每辆汽车的成本；
（2）折扣前的销量；
（3）折扣后的销量；
（4）折扣前每辆车的价格；
（5）折扣后每辆车的价格；
（6）折扣前的销售额；
（7）折扣后的销售额；
（8）折扣前的利润；
（9）折扣后的利润；
由题意：
折扣前的利润,
设折扣为时，可使利润最高。此时假设活动一次性完成，即厂家一次性降低美元，销售额提高可使利润最高。
二、 选择建模方法
则由题中已知条件可得方程组

三、 推导模型公式
由各关系式可推出折扣后的利润函数为：

四、 求解模型
已知厂商折扣后的利润函数为：

为使厂商利润最大，令

解得：

五、 回答问题
一般情况下，无论值取多少，厂商为了使得利益最大，都会选择降价420美元左右。
问题二：灵敏性分析
题中估计每折扣100美元销售量提高15%，现在假设其实际值是不同的，对几个不同的值13%，14%，16%，17%，重复问题一中的求解过程,以此来分析销售量提高率的敏感程度。同理，还是对厂商利润函数求导，使之等于0解得不同提高率下的降价金额如表1所示：
表1不同提高率下的降价金额
销售量提高率
降价金额（美元）
13%
365.4
14%
392.9
15%
420
16%
437.5
17%
455.9
利用表2中数据在matlab中画图，输入命令：
x=[0.13 0.14 0.15 0.16 0.17];
y=[365.4 392.9 420 437.5 455.9];
plot(x,y,'*')
得图2：

图2
由图可以看到厂商需降价的金额对销量的提高率是很敏感的。
问题三：
若实际每100美元的折扣仅可以使销售额提高10%，同样我们可以通过对利润函数求导，并令导数等于0，求得相应的x值是2.5，即厂商欲获利最大，需将价格下降250美元；
假设销量提高率在10%到15%之间的某一个数，我们设为r，则，通过对利润函数求导使之等于0得到：
，
当时，每个r都对应着一个应降价的金额，利用matlab做其函数关系如图3
输入命令：
x=[0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15];
y=7.5-1./(2*x)
plot(x,y,'*')
得图3：

图3
问题四：
厂商降价幅度超过最优解后，接着降价则会导致厂商总利润降低。