第12章-第1讲-机械振动.doc

第1讲　机械振动

知识一　简谐运动
1．简谐运动的表达式
(1)动力学表达式：F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反．
(2)运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ)，其中A代表振幅，ω＝2πf表示简谐运动的快慢，(ωt＋φ)代表简谐运动的相位，φ叫做初相．
2．回复力
(1)定义：使物体返回到平衡位置的力．
(2)方向：时刻指向平衡位置．
(3)来源：振动物体所受的沿振动方向的合力．
3．描述简谐运动的图象
图象

横轴
表示振动时间
纵轴
表示某时刻质点的位移
物理意义
表示振动质点的位移随时间的变化规律

知识二　受迫振动和共振
1．受迫振动
(1)概念：振动系统在周期性驱动力作用下的振动．
(2)特点：受迫振动的频率等于驱动力的频率，跟系统的固有频率无关．
2．共振
(1)现象：当驱动力的频率等于系统的固有频率时，受迫振动的振幅最大．
(2)条件：驱动力的频率等于固有频率．
(3)特征：共振时振幅最大．
(4)共振曲线：如图12－1－1所示．

图12－1－1

考点一　简谐运动的规律和应用
一、变化规律
位移增大时
二、对称规律
1．做简谐运动的物体，在关于平衡位置对称的两点，回复力、位移、加速度具有等大反向的关系、另外速度的大小、动能具有对称性，速度的方向可能相同或相反．
2．振动质点来回通过相同的两点间的时间相等，如tBC＝tCB；质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段时时间相等，如tBC＝tB′C′，如图12－1－2 所示．

图12－1－2
——————[1个示范例]——————
　(2013·上海高考)做简谐运动的物体，当它每次经过同一位置时，可能不同的物理量是(　　)
A．位移
B．速度
C．加速度
D．回复力
【解析】　做简谐运动的物体，当它每次经过同一位置时，位移相同，回复力相同，加速度相同，可能不同的物理量是速度，选项B正确．
【答案】　B
——————[1个预测例]——————
　(多选)

图12－1－3
一个质点在平衡位置O点附近做机械振动．若从O点开始计时，经过3 s质点第一次经过M点(如图12－1－3所示)；再继续运动，又经过2 s它第二次经过M点；则该质点第三次经过M点还需要的时间是(　　)
A．8 s　　　　　　　　 B．4 s
C．14 s D. s
【解析】　设图中a、b两点为质点振动过程的最大位移处，若开始计时时刻，质点从O点向右运动，O→M过程历时3 s，M→b→M运动过程历时2 s，显然，＝4 s，T＝16 s．质点第三次经过M点还需要的时间Δt3＝T－2 s＝(16－2) s＝14 s，故选项C正确．
若开始计时时刻，质点从O点向左运动，O→a→O→M运动过程历时3 s，M→b→M运动过程历时2 s，显然，＋＝4 s，T＝ s．质点第三次经过M点还需要的时间Δt′3＝T－2 s＝(－2) s＝ s，故选项D正确．
综上所述，该题的正确答案是C、D.
【答案】　CD
考点二　简谐运动的图象和应用
一、对简谐运动图象的认识
1．简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线，如图12－1－4所示．

图12－1－4
2．图象反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图象不代表质点运动的轨迹．
3．任一时刻图线上过该点切线的斜率数值表示该时刻振子的速度大小．正负表示速度的方向，正时沿x正方向，负时沿x负方向．

二、图象信息
1．由图象可以得出质点做简谐运动的振幅、周期．
2．可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移．
3．可以根据图象确定某时刻质点回复力、加速度和速度的方向．
(1)回复力和加速度的方向：因回复力总是指向平衡位置，故回复力和加速度在图象上总是指向t轴．
(2)速度的方向：速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判断，下一时刻位移如增加，振动质点的速度方向就是远离t轴，下一时刻位移如减小，振动质点的速度方向就是指向t轴．
——————[1个示范例]——————

图12－1－5
(2012·重庆高考)装有砂粒的试管竖直静浮于水面，如图12－1－5所示，将试管竖直提起少许，然后由静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动．若取竖直向上为正方向，则以下描述试管振动的图象中可能正确的是(　　)

【解析】　试管在竖直方向上做简谐运动，平衡位置是在重力与浮力相等的位置，开始时向上提起的距离，就是其偏离平衡位置的位移，为正向最大位移，因此应选D.
【答案】　D
——————[1个预测例]——————

图12－1－6
　如图12－1－6所示为一弹簧振子的振动图象，试完成以下问题：
(1)写出该振子简谐运动的表达式．
(2)在第2 s末到第3 s末这段时间内，弹簧振子的加速度、速度、动能和弹性势能各是怎样变化的？
(3)该振子在前100 s的总位移是多少？路程是多少？
【解析】　(1)由振动图象可得：A＝5 cm，T＝4 s，φ＝0则ω＝＝ rad/s
故该振子简谐运动的表达式为：
x＝5 sin t (cm)．
(2)由图可知，在t＝2 s时，振子恰好通过平衡位置，此时加速度为零，随着时间的延续，位移值不断增大，加速度的值也变大，速度值不断变小，动能不断减小，弹性势能逐渐增大．当t＝3 s时，加速度的值达到最大，速度等于零，动能等于零，弹性势能达到最大值．
(3)振子经过一个周期位移为零，路程为5×4 cm＝20 cm，前100 s刚好经过了25个周期，所以前100 s振子位移x＝0，振子路程s＝20×25 cm＝500 cm＝5 m.
【答案】　(1)x＝5sin t (cm)　(2)见解析　(3)0　5 m
考点三　受迫振动和共振
自由振动、受迫振动和共振的比较
振动类型
比较项目
自由振动
受迫振动
共振
受力情况
仅受回复力
周期性驱动力作用
周期性驱动力作用
振动周期或频率
由系统本身性质决定，即固有周期或固有频率
由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱
T驱＝T固或f驱＝f固
振动能量
振动物体的机械能不变
由产生驱动力的物体提供
振动物体获得的能量最大
常见例子
弹簧振子或单摆(θ＜5°)
机械工作时底座发生的振动
共振筛、转速计等

　如图12－1－7所示，两个弹簧振子悬挂在同一支架上，已知甲弹簧振子的固有频率为8 Hz，乙弹簧振子的固有频率为72 Hz，当支架受到竖直方向且频率为9 Hz的驱动力作用做受迫振动时，两个弹簧振子的振动情况是(　　)

图12－1－7
A．甲的振幅较大，且振动频率为8 Hz
B．甲的振幅较大，且振动频率为9 Hz
C．乙的振幅较大，且振动频率为9 Hz
D．乙的振幅较大，且振动频率为72 Hz
【解析】　据受迫振动发生共振的条件可知甲的振幅较大，因为甲的固有频率接近驱动力的频率，做受迫振动物体的频率等于驱动力的频率，所以B选项正确．
【答案】　B
考点四　实验：探究单摆的运动、用单摆测定重力加速度
1．实验原理
单摆在偏角很小(小于5°)时的摆动，可看成简谐运动，其固有周期T＝2π ，可得g＝，通过实验方法测出摆长l和周期T，即可计算得到当地的重力加速度．
2．实验步骤
(1)组成单摆．实验器材有：带有铁夹的铁架台，中心有孔的小钢球，约1 m长的细线．在细线的一端打一个比小钢球的孔径稍大些的结，将细线穿过小钢球上的小孔，制成一个单摆；将单摆固定在带铁夹的铁架台上，使小钢球自由下垂．
(2)测摆长．实验器材有：毫米刻度尺和游标卡尺．让摆球处于自由下垂状态时，用刻度尺量出悬线长l线，用游标卡尺测出摆球的直径(2r)，则摆长为l＝l线＋r.
(3)测周期．实验仪器有：秒表．把摆球拉离平衡位置一个小角度(小于5°)，使单摆在竖直面内摆动，测量其完成全振动30次(或50次)所用的时间，求出完成一次全振动所用的平均时间，即为周期T.
(4)求重力加速度．将l和T代入g＝4π2l/T2，求g的值；变更摆长3次，重新测量每次的摆长和周期，再取重力加速度的平均值，即得本地的重力加速度．
3．数据处理
(1)平均值法：用g＝(g1＋g2＋g3＋g4＋g5＋g6)/6求出重力加速度．
(2)图象法

图12－1－8
由单摆的周期公式T＝2π 可得l＝T2，因此以摆长l为纵轴，以T2为横轴作出的l－T2图象是一条过原点的直线，如图12－1－8所示，求出斜率k，即可求出g值．g＝4π2k，k＝＝.

　(2011·福建高考)某实验小组在利用单摆测定当地重力加速度的实验中：
(1)用游标卡尺测定摆球的直径，测量结果如图12－1－9所示，则该摆球的直径为________cm.

图12－1－9
(2)小组成员在实验过程中有如下说法，其中正确的是(　　)
A．把单摆从平衡位置拉开30°的摆角，并在释放摆球的同时开始计时
B．测量摆球通过最低点100次的时间t，则单摆周期为
C．用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏大
D．选择密度较小的摆球，测得的重力加速度值误差较小
【解析】　(1)游标卡尺读数为0.9 cm＋7×0.1 mm＝0.97 cm.
(2)单摆符合简谐运动的条件是最大偏角不超过5°，并从平衡位置计时，故A错误；若第一次过平衡位置计为“0”则周期T＝，若第一次过平衡位置计为“1”则周期T＝，B错误；由T＝2π得g＝，其中L为摆长，即悬线长加摆球半径，若为悬线长加摆球直径，由公式知g偏大，故C正确；为了能将摆球视为质点和减少空气阻力引起的误差，应选密度较大体积较小的摆球，故D错误．
【答案】　(1)0.97(0.96、0.98均可)　(2)C

1.

图12－1－10
如图12－1－10所示，弹簧振子的频率为5 Hz，让它从B位置开始振动，并开始计时，则经过0.12 s时(　　)
A．小球位于BO之间，运动方向向右
B．小球位于BO之间，运动方向向左
C．小球位于CO之间，运动方向向右
D．小球位于CO之间，运动方向向左
【解析】　周期T＝＝0.2 s，则＝＝0.6，即t＝0.6T，T＜t＜T，所以小球位于CO之间，运动方向向右，C正确．
【答案】　C
2．有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动，第二次把弹簧压缩2x后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为(　　)
A．1∶1　1∶1　　　　　　　 B．1∶1　1∶2
C．1∶4　1∶4 D．1∶2　1∶2
【解析】　弹簧的压缩量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离，即振幅，故振幅之比为1∶2.而对同一振动系统，其周期由振动系统自身的性质决定，与振幅无关，故周期之比为1∶1.
【答案】　B
3．一质点做简谐运动的图象如图12－1－11所示，下列说法正确的是(　　)

图12－1－11
A．质点振动频率是4 Hz
B．在10 s内质点经过的路程是20 cm
C．第4 s末质点的速度是零
D．在t＝1 s和t＝3 s两时刻，质点位移大小相等、方向相同
【解析】　由振动图象可知，质点振动的周期是4 s，频率是0.25 Hz，故选项A错误．振幅为2 cm，一个周期内质点经过的路程为4A,10 s为2.5个周期，经过的路程为2.5×4A＝10A＝20 cm，选项B是正确的.4 s末质点在平衡位置，且速度最大，故选项C错误．在t＝1 s和t＝3 s两时刻，质点分别在正最大位移和负最大位移处，质点位移大小相等、方向相反，故选项D错误．
【答案】　B
4．(多选)图12－1－12表示一弹簧振子做受迫振动时的振幅与驱动力频率的关系，由图可知(　　)

图12－1－12
A．驱动力频率为f2时，振子处于共振状态
B．驱动力频率为f3时，振子振动频率为f3
C．假如让振子自由振动，它的频率为f2
D．振子做自由振动时，频率可以为f1、f2、f3
【解析】　理解共振曲线是关键，驱动力频率为f2时弹簧振子的振幅最大，f2也就等于弹簧振子的固有频率，故振子自由振动时，它的频率为固有频率f2，当驱动力频率为f1、f3时，弹簧振子只做受迫振动，其频率与振子固有频率无关．A、B、C正确．
【答案】　ABC
5.

图12－1－13
如图12－1－13所示，弹簧振子在振动过程中，振子从a到b历时0.2 s，振子经a、b两点时速度相同，若它从b再回到a的最短时间为0.4 s，则该振子的振动频率为(　　)
A．1 Hz B．1.25 Hz
C．2 Hz D．2.5 Hz
【解析】　由简谐运动的对称性可知，tob＝0.1 s，tbc＝0.1 s，故＝0.2 s，解得T＝0.8 s，f＝＝1.25 Hz，选项B正确．
【答案】　B
6．(多选)如图12－1－14所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图象，下列说法中正确的是(　　)

图12－1－14
A．甲、乙两单摆的摆长相等
B．甲摆的振幅比乙摆大
C．甲摆的机械能比乙摆大
D．在t＝0.5 s时有正向最大加速度的是乙摆
【解析】　可从题图上看出甲摆振幅大．且两摆周期相等，则摆长相等，因质量关系不明确，无法比较机械能．t＝0.5 s时乙摆球在负的最大位移处，故有正向最大加速度，所以正确答案为A、B、D.
【答案】　ABD
7．(多选)一质点做简谐运动的振动图象如图12－1－15所示，质点的速度与加速度方向相同的时间段有(　　)

图12－1－15
A．0～0.3 s　　　　　　　 B．0.3 s～0.6 s
C．0.6 s～0.9 s D．0.9 s～1.2 s
【解析】　质点做简谐运动时加速度方向与回复力方向相同，与位移方向相反，总是指向平衡位置；位移增加时速度与位移方向相同，位移减小时速度与位移方向相反，故位移减小时加速度与速度方向相同．故B、D正确．
【答案】　BD
8．(2012·北京高考)一个弹簧振子沿x轴做简谐运动，取平衡位置O为x轴坐标原点．从某时刻开始计时，经过四分之一周期，振子具有沿x轴正方向的最大加速度．能正确反映振子位移x与时间t关系的图象是(　　)

【解析】　根据F＝－kx及牛顿第二定律得a＝＝－x，当振子具有沿x轴正方向的最大加速度时，具有沿x轴负方向的最大位移，故选项A正确，选项B、C、D错误．
【答案】　A
9．(2013·江苏高考)如图12－1－16所示的装置，弹簧振子的固有频率是4 Hz.现匀速转动把手，给弹簧振子以周期性的驱动力，测得弹簧振子振动达到稳定时的频率为1 Hz，则把手转动的频率为(　　)

图12－1－16
A．1 Hz B．3 Hz
C．4 Hz D．5 Hz
【解析】　转动把手后，弹簧振子开始做受迫振动，受迫振动是按照外界驱动力的频率振动的，既然振子稳定后的振动频率为1 Hz，则把手转动的频率即为1 Hz.
【答案】　A
10．(2013·安徽高考)根据单摆周期公式T＝2π，可以通过实验测量当地的重力加速度．如图12－1－17所示，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一小钢球，就做成了单摆．

图12－1－17　　　　　　　　　　　图12－1－18　　
(1)用游标卡尺测量小钢球直径，示数如图12－1－18所示，读数为________mm.
(2)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有________．
a．摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能长一些
b．摆球尽量选择质量大些、体积小些的
c．为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相距平衡位置有较大的角度
d．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时间间隔Δt即为单摆周期T
e．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间Δt，则单摆周期T＝
【解析】　(1)按照游标卡尺的读数原则得小钢球直径为18 mm＋6×0.1 mm＝18.6 mm.
(2)单摆的构成条件：细线质量要小，弹性要小；球要选体积小，密度大的；偏角不超过5°.故a、b正确，c错误．为了减小测量误差，要从摆球摆过平衡位置时计时，且需测量多次全振动所用时间，然后计算出一次全振动所用的时间．故d错误，e正确．
【答案】　(1)18.6　(2)abe

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