山东省德州市陵城一中2024-2025学年数学高二下期末综合测试模拟试题含解析.doc

山东省德州市陵城一中2024-2025学年数学高二下期末综合测试模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A．2π＋2 B．4π＋2
C．2π＋ D．4π＋
2．设全集U＝R，集合， ，则集合( )
A． B．
C． D．
3．复数z满足，则复数的虚部是（ ）
A．1 B．－1 C． D．
4．如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（ ）

A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576
5．，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．函数（，e是自然对数的底数，）存在唯一的零点，则实数a的取值范围为( )
A． B． C． D．
7．在《九章算术）方田章圆田术（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至不能割，则与圆周合体而无所失矣．”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，这可以通过方程确定出来，类似地，可得的值为（　　）
A． B． C． D．
8．为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入万
8.3
8.6
9.9
11.1
12.1
支出万
5.9
7.8
8.1
8.4
9.8
根据上表可得回归直线方程，其中，元，据此估计，该社区一户收入为16万元家庭年支出为（ ）
A．12.68万元 B．13.88万元 C．12.78万元 D．14.28万元
9．设,，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数是上的奇函数，且的图象关于对称，当时，，则的值为　　
A． B． C．0 D．1
11．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
12．函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C．(1,4) D．(0,3)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若函数的单调递增区间是，则的值是__________．
14．某校共有教师200人，男学生1200人，女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本，已知从女学生中抽取的人数为50人，那么的值为______.
15．的展开式中含项的系数为_________．
16．假设每一架飞机的每一个引擎在飞行中出现故障概率均为，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎飞机正常运行，飞机就可成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行.要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则的取值范围是__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）将直线：（为参数）化为极坐标方程；
（2）设是（1）中的直线上的动点，定点，是曲线上的动点，求的最小值.
18．（12分）设曲线．
（Ⅰ）若曲线表示圆，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，若直线与曲线交于两点，且，求实数的值．
19．（12分）已知函数为常数，且)有极大值，求的值．
20．（12分）已知等比数列的各项均为正数，且，，数列的前项和为.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求数列的前项和．
21．（12分）已知椭圆左右焦点分别为，，
若椭圆上的点到，的距离之和为，求椭圆的方程和焦点的坐标；
若、是关于对称的两点，是上任意一点，直线，的斜率都存在，记为，，求证：与之积为定值．
22．（10分）设函数，.
（1）当时，解不等式；
（2）若，，求a的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
试题分析：由三视图知几何体是一个简单的组合体，上面是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个正方形，对角线长是，侧棱长，高是，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是，高是，所以组合体的体积是，故选C.
考点：几何体的三视图及体积的计算.
【方法点晴】
本题主要考查了几何体的三视图及其体积的计算，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中根据三视图得出上面一个四棱锥、下面是一个圆柱组成的组合体，得到几何体的数量关系是解答的关键，属于基础题.
2、A
【解析】
求出，然后求解即可.
【详解】
全集，集合，
则集合，
所以，
故选A.
该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.
3、C
【解析】
由已知条件计算出复数的表达式，得到虚部
【详解】
由题意可得
则
则复数的虚部是
故选C
本题考查了复数的概念及复数的四则运算，按照除法法则求出复数的表达式即可得到结果，较为简单
4、B
【解析】
A1、A2同时不能工作的概率为0.2×0.2＝0.04，所以A1、A2至少有一个正常工作的概率为1－0.04＝0.96，所以系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.故选B.
考点：相互独立事件的概率.
5、B
【解析】
利用同角三角函数的平方关系计算出的值，再利用诱导公式可得出的值.
【详解】
，，且，
由诱导公式得，故选B.
本题考查同角三角函数的平方关系，同时也考查了诱导公式的应用，在利用同角三角函数基本关系求值时，先要确定角的象限，确定所求三角函数值的符号，再结合相应的公式进行计算，考查运算求解能力，属于基础题.
6、A
【解析】
函数，是自然对数的底数，存在唯一的零点等价于函数 与函数只有唯一一个交点，由，，可得函数 与函数唯一交点为，的单调，根据单调性得到与的大致图象，从图形上可得要使函数 与函数只有唯一一个交点，则，即可解得实数的取值范围．
【详解】
解：函数，是自然对数的底数，存在唯一的零点等价于：
函数 与函数只有唯一一个交点，
，，
函数 与函数唯一交点为，
又，且，，
在上恒小于零，即在上为单调递减函数，
又 是最小正周期为2，最大值为的正弦函数，
可得函数 与函数的大致图象如图：
要使函数 与函数只有唯一一个交点，则，
， ，
，解得，
又，
实数的范围为．
故选：．

本题主要考查了零点问题，以及函数单调性，解题的关键是把唯一零点转化为两个函数的交点问题，通过图象进行分析研究，属于难题．
7、B
【解析】
设，可得，求解即可.
【详解】
设，则，即，解得，取.
故选B.
本题考查了类比推理，考查了计算能力，属于基础题.
8、A
【解析】
由已知求得，，进一步求得，得到线性回归方程，取求得值即可．
【详解】
，．
又，∴．
∴．
取，得万元，故选A．
本题主要考查线性回归方程的求法，考查了学生的计算能力，属于中档题．
9、D
【解析】
求对数函数的定义域求得集合，解一元二次不等式求得集合，求得集合的补集后与集合求交集，由此得出正确选项.
【详解】
对于集合，，对于集合，，解得或，故，所以，故选D.
本小题主要考查对数函数定义域、一元二次不等式的解法，集合补集、交集运算，属于基础题.
10、C
【解析】
先根据函数的图象关于对称且是上的奇函数，可求出函数的最小正周期，再由时，，即可求出结果.
【详解】
根据题意，函数的图象关于对称，则，又由函数是上的奇函数，则，则有，变形可得，即函数是周期为4的周期函数，则，又由函数是上的奇函数，则，故.
故选C
本题主要考查函数的基本性质，周期性、奇偶性、对称性等，熟记相关性质即可求解，属于常考题型.
11、D
【解析】
通过变形，通过“左加右减”即可得到答案.
【详解】
根据题意，故只需把函数的图象
上所有的点向右平移个单位长度可得到函数的图象，故答案为D.
本题主要考查三角函数的平移变换，难度不大.
12、B
【解析】
求出函数的导数，在解出不等式可得出所求函数的单调递增区间.
【详解】
，，解不等式，解得，
因此，函数的单调递增区间是，故选B.
本题考查函数单调区间的求解，一般是先求出导数，然后解出导数不等式，将解集与定义域取交集得出单调区间，但单调区间不能合并，考查计算能力，属于中等题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、1
【解析】
分析：求导函数，分类讨论，利用导数的正负，即可求的单调区间；
详解：
若 ，则 ，即在上单调递增，不符题意，舍；
若，令，可得或（舍去）
x
(0，

2−a
a

2−a
a

（

2−a
a

f′（x）
-
0
+
f（x）
减

增
)
，+∞）
∴在 上是减函数，在上是增函数；
根据题意若函数的单调递增区间是，则
即答案为1.
点睛：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．
14、120
【解析】
分析：根据分层抽样的原则先算出总体中女学生的比例，再根据抽取到女学生的人数计算样本容量n
详解：因为共有教师200人,男学生1200人,女学生1000人
所以女学生占的比例为
女学生中抽取的人数为50人
所以
所以n=120
点睛：分层抽样的实质为按比例抽，所以在计算时要算出各层所占比例再乘以样本容量即为该层所抽取的个数.
15、.
【解析】
计算出二项展开式通项，令的指数为，求出参数的值，再将参数的值代入二项展开式通项可得出项的系数.
【详解】
的展开式通项为，令，得，
因此，的展开式中含项的系数为，故答案为：.
本题考查二项式指定项的系数的计算，解题的关键就是利用二项展开式通项进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.
16、
【解析】
分析：由题意知各引擎是否有故障是独立的，4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，4引擎飞机可以正常工作的概C43p3（1﹣p）+p4，2引擎飞机可以正常工作的概率是p2，根据题意列出不等式，解出p的值．
详解：
每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为1﹣p，不出现故障的概率是p，
且各引擎是否有故障是独立的，
4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；
4引擎飞机可以正常工作的概率是C43p3（1﹣p）+p4，
2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机也可成功飞行，
2引擎飞机可以正常工作的概率是p2
要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，
依题意得到C43p3（1﹣p）+p4＞p2，
化简得3p2﹣4p+1＜0，
解得＜p＜1．
故选：B．
点睛：本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查互斥事件的概率，考查一元二次不等式的解法，是一个综合题，本题也是一个易错题，注意条件“4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行”的应用．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
（1）先将直线的参数方程化为普通方程，再由可将直线的普通方程化为极坐标方程；
（2）将点的极坐标化为直角坐标，点所在曲线的方程化为普通方程，可知该曲线为圆，利用当、、与圆心四点共线且点为圆心与点连线线段与圆的交点时，取得最小值，可得出答案。
【详解】
（1）消去参数得， 即，
∴直线的极坐标方程为．
（答案也可以化为）
（2）∵的直角坐标为，
曲线是圆：（为圆心）．
∴．
∴的最小值为（这时是直线与直线的交点）．
本题第（1）问考查的参数方程、极坐标方程与普通方程之间的互化，第（2）问考查圆的几何性质，考查折线段长度的最小值问题，做题时充分利用数形结合思想来求解，属于中等题。
18、 (1) 或.
(2).
【解析】
分析：（Ⅰ）根据圆的一般方程的条件列不等式求出的范围；
（Ⅱ）利用垂径定理得出圆的半径，从而得出的值．
详解：
(Ⅰ) 曲线C变形可得：，
由可得或
(Ⅱ) 因为a=3，所以C的方程为即，
所以圆心C（3,0），半径,
因为 所以C到直线AB 的距离,
解得..
点睛：本题考查了圆的标准方程，考查圆的弦长的求法，属于基础题．
19、
【解析】
求导，解出导数方程的两根，讨论导数在这两个点左右两边导数的符号，确定极大值点，再将极大值点代入函数解析式，可求出实数的值．
【详解】
，则，
令，得，，，，列表如下：

极大值

极小值

所以，函数在处取得极大值，即，解得．
本题考查利用导数求函数的极值，基本步骤如下：
（1）求函数的定义域；（2）求导；（3）求极值点并判断导数在极值点附近的符号，确定极值点的属性；（4）将极值点代入函数解析式可求出极值．
20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
（I）将已知条件转化为，由此求得的值，进而求得的通项公式.（II）利用求得的表达式，由此求得的表达式，利用分组求和法求的值.
【详解】
（Ⅰ）设等比数列的公比
即，
解得：或 ，
又的各项为正，，故

（Ⅱ）设，数列前n项和为.
由解得.

.,

.
本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查数列通项公式的求法，考查分组求和法，所以中档题.
21、，焦点，；证明见解析.
【解析】
先根据点到到，的距离之和求得，再把点代入椭圆方程求得，则可得，进而求得椭圆的方程和焦点坐标；
设点的坐标为，根据点的对称性求得的坐标，代入椭圆方程设出点的坐标，利用斜率公式分别表示出和的斜率，求得二者乘积的表达式，把式子代入结果为常数，原式得证.
【详解】
解：椭圆的焦点在轴上，由椭圆上点到到，的距离之和为，
得，即.
点在椭圆上，
，得，则.
椭圆的方程为，焦点为，.
设点，则点，其中.
设点，由，，
可得，
将和代入，
得.
故与之积为定值.
本题主要考查椭圆得标准方程与性质，直线的斜率求法，属于中档题.
22、（1）；（2）.
【解析】
（1）利用零点分段法去绝对值解不等式即可.
（2）利用绝对值意义求出的最小值，使，解绝对值不等式即可.
【详解】
（1）当时，，
当时，，
当时，，
综上所述：
（2）
，
本题考查了绝对值不等式的解法，考查了分类讨论的思想，属于基础题.