《导数的概念》主题单元设计.doc

《导数的概念》主题单元设计
主题单元标题
导数的概念
作者姓名
刘文明
所属单位
临邑一中
联系地址
山东临邑第一中学
联系电话
13969228211
电子邮箱
Lyz2266@
邮政编码
251500

学科领域 （在内打 √ 表示主属学科，打 + 表示相关学科）
思想品德
音乐
化学
信息技术
劳动与技术
语文
美术
生物
科学

数学
外语
历史
社区服务
体育
物理
地理
社会实践
其他（请列出）：
适用年级
高三
所需时间
5课时（每周 5 课时，共 5 课时）
主题单元概述 (简述单元在课程中的地位和作用、单元的组成情况，解释专题的划分和专题之间的关系，主要的学习方式和预期的学习成果，字数300-500)

　微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。而导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。在本单元中，学生将通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数概念，并通过图象直观理解导数的几何意义。理解并掌握导数的概念及其几何、物理意义，是利用导数解决实际问题的前提，是进一步学习微积分基础。因此说本单元是开启新天地的“闸门”一点也不为过。
为使学生切实接受并掌握导数的概念，我们设计了三个专题来组织学习活动。专题一： 平均变化率。为下一专题学习“瞬时速度，瞬时变化率”做准备或者叫铺垫。专题二：瞬时速度与导数。本节由平均速度借助极限、趋近思想给出瞬时速度。然后再顺理成章地给出瞬时变化率的概念，也既导数的概念。专题三：导数的几何意义。通过函数图象直观理解导数的几何意义，并在此过程中体会极限思想、以直代曲思想。这种专题划分体现了新课标由易到难，层层深入，化繁为简，形象直观推进概念教学的宗旨，突出了导数概念的本质。

主题学习目标 (描述该主题学习所要达到的主要目标)

知识与技能：
1．通过大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，
了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。
2．理解导数的概念及符号记法，体会导数的思想及其内涵。
3．通过函数图象，直观理解导数的几何意义。

过程与方法：
1、通过平均变化率、瞬时变化率、导数等由浅入深的探究过程，水到渠成的建立起的导数的概念。
2、借无限逼近以直代曲思想，由割线斜率求切线斜率，数形结合，对比导数定义，得出导数几何意义。
3、借助导数的几何意义探求瞬时速度，切线方程等初步了解导数在解决实际问题中的作用。

情感态度与价值观：
1、通过大量实例感受数学源于生活，高于生活的本质。
2、通过探究导数的几何意义，体会以直代曲、无限逼近等的数学思想方法。

对应课标
① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，
知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵（参见选修1-1案例中的例2、例3）。
② 通过函数图象直观地理解导数的几何意义。
③ 能根据导数定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=x3,y=1/x的导数。

主题单元问题设计
1、如何从数学角度刻画GDP “猛增”、房价“暴涨”、
气温“陡升”、股指“跳水”等现象？
2、如何计算质点在某一时间段内的平均速度？
如何由平均速度得出质点要某一点的瞬时速度？
3、如何由割线斜率得到函数在某一点的切线斜率？
在某一点的切线斜率的表达式与导数在该点处导数的表达式有什么关系？

专题划分
专题一： 平均变化率 （ 2 课时）
专题二： 瞬时速度与导数 （ 2课时）
专题三： 导数的几何意义 （ 1课时）
专题一
平均变化率。
所需课时
2课时
专题一概述 (介绍本专题在整个单元中的作用，以及本专题的主要学习内容、学习活动和学习成果)

本专题是《导数及其应用》的起始课，平均变化率又是本章的一个重要的基本概念，是后续瞬时变化率和导数学习的知识基础，同时对导数概念的形成起着奠基作用，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础．本专题通过提炼和我们生活息息相关相关的大量生活实例，让学生形成平均变化率的概念，认识到平均变化率是刻画变量变化快慢程度的一种数学模型；了解平均变化率的几何意义，并能计算函数在某个区间上的平均变化率。在教学活动中，通过生活中的鲜活实例创造性地提出有探究价值的问题，引导学生分析和归纳，让学生在已有认知结构的基础上建构新知识，从而达到概念的自然形成，并能进一步感受到数学来源于生活，高于生活的学科特点，提高学生学习数学的兴趣和用数学知识解决实际生活问题的意识。教学过程中，利用多媒体辅助教学，增加概念形成的形象、直观性，提高效率．

本专题学习目标 （描述本专题学习所要达到的主要目标）

1、通过GDP “猛增”、房价“暴涨”、气温“陡升”、股指“跳水”等丰富的实例，体验平均变化率
概念的形成过程，体会平均变化率是刻画因变量相对于自变量变化快慢程度的一种数学模型；
2、理解平均变化率的概念，了解平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率；
3、通过由浅入深的探究过程，培养分析、归纳、概括等思维能力。

本专题
问题设计
1、如何从数学角度刻画人均GDP “猛增”？气温“陡升”？股脂“跳水”等现象？
2、通过以上例子，你能总结出一般函数的变化快慢的“变化率”的概念吗？
3、函数的在某一区间上的变化率与两点间的斜率有什么关系？
4、你能总结出求一般函数的变化率的步骤吗？
所需教学材料和资源(在此列出学习过程中所需的各种支持资源)
信息化资源
笔记本，网络、主题资源网站。
常规资源
教材选修2-2，能反映教学过程的学案导学。
教学支撑环境
多媒体教室。
其 他
学生分组
学习活动设计（描述本专题的学习过程和学习活动）
第一课时
活动一：从数学角度寻找刻画人均GDP “猛增”的元凶。
1、提出问题：（通过多媒体展示）
这是我国的某年的人均收入：
时间 x(年)
2000
2002
2006
人均GDP y(美元)
856
1100
2010
探究1：如何从数学角度刻画2002年至2006年这4年我国人均GDP “猛增”？
探究2：上面x与y是否构成了函数关系？如何把2000年看做是第一年，你能画出函数的图象吗？
探究3：从图象上能看出：“猛增”的端倪吗？
2、 成果展示：
（1）小组讨论，推举发言人，代表小组阐述探究成果。
（2）不同小组提出不同见解。
（3）老师总结点评。

活动二： 从数学角度寻找感觉会不一样的原因。
1、提出问题
现有某市2004年3月和4月某天日最高气温记载如下列图表所示：（多媒体展示）

时间 t(d)
3月18日
4月18日
4月20日
日最高气温 T (℃)
3.5℃
18.6℃
33.4℃

2
0
2
10
20
30
34
20
30
w(℃)
C(34，33.4)
B(32，18.6)
A(1，3.5)
t(d)

思考与讨论：
在上面问题中，4月18日到4月20日短短两天时间，温差达到了14.8℃，人们就会感到气温变化太快！
而3月18日最高气温为3.5℃和4月18日的温差为15.1℃，超过了14.8℃，而人们却不会没有这样的感觉，
如何从数学角度刻画这一现象？
2．成果展示：
（1）选择一个小组阐述探究成果。其他小组补充。 （2）老师总结精要点评。

活动三： 从数学角度分析股指“跳水”原因。
1．提出问题：
2007年9月25日沪市A股走势图

（注：A处为上午10：00）
问题：如何从数学角度刻画股脂从A处到B处出现了大幅跳水？
2、 成果展示：
（1）小组讨论，推举发言人，代表小组阐述探究成果。 （2）老师总结点评。
（3）针对三个例子，总结出函数变化的“元凶”。

第二课时：
活动四：完成下面的问题：
1、回顾与引入：
（1）如何从数学角度刻画人均GDP “猛增”？气温“陡升”？股脂“跳水”等现象？
（2）分析三个例子中分别包含的函数关系？影响函数变化快慢的量是什么？
2、学习小组用一定时间合作探究下面的问题并开形成较为统一的认识，推举出发言人。
探究1、分别指出上面三个例子中谁是谁的函数。在不同区间上函数变化快慢取决于什么？
探究2、对一般的函数f(x)，你能给出函数y=f (x)在区间[x1，x2]上平均变化率的定义吗？
探究3、函数f (x)在区间[x1，x2]上平均变化率的几何解释。
探究4、如何求一个具体函数y=f (x)在给定区间上的变化率？给出一个求变化率的算法。
3、 成果展示：
（1）选择小组阐述探究成果。
（2）不同小组提出不同见解。
（2）老师及时点评，对平均变化率的概念，几何意义，及求解步骤给予足够强调，突出本节重点。

活动五、牛刀小试：（独立完成下面3个问题。并请3个同学板演）
（1）已知函数，求函数y=f (x)分别在区间[－3，－1]、[0，5]上的平均变化率。
（2）计算函数在区间[x0,x0+]上的平均变化率。
（3）求函数在区间 上的平均变化率。
教学评价
（列举本专题中要评价的学习要素和所使用的评价工具或方法）

可评价的学习要素：
1、小组合作水平：
评价方法： 现场评价
评价指标： 小组成员参与度是否高，气氛是否浓烈。
成员间关系是否容恰民主，民主的观点能否集中为结论性的东西。
小组探究成果与预期成果的距离。
2、对概念、知识的理解：
评价方法： 现场评价
评价指标： 能否把自己的理解、认识用数学语言表达出来。
能否通过一些例子归纳总结出一般性的数学结论。
3、对概念知识的迁移：
评价方法：标准答案及时反馈。
评价指标：能否按照步骤求一些简单函数的平均变化率。

评价说明： 对表现好的组给予及时的鼓励。多鼓励，多正面引导，尽量不给学生负面评价。

专题二

瞬时速度与导数
（注：本专题为研究性学习专题，属于模块四作业，下面对本专题进行很简要说明）
所需课时
2课时
专题二概述 (介绍本专题在整个单元中的作用，以及本专题的主要学习内容、学习活动和学习成果)

本专题通过探究平均速度与瞬时速度，然后类比于此给出瞬时变化率的概念，进一步指出瞬时变化率就是导数。这样层层深入，直观形象的给出导数的定义，相当于把复杂的问题做了简单化的处理，非常有利于学生的理解与接受。
本专题涉及学生认知的起点有两方面。在物理方面：学生大都能理解“瞬时速度就是在极小段的时间内，物体运动的平均速度”，在数学方面：学生能够用变化率的概念及符号表示来描述函数单调性，用变化率的方式理解直线的斜率。这些都为学生理解接受本专题知识做了有力铺垫。
通过本专题的学习，学生会首次理解导数的定义，知道导数的符号是导数概念的浓缩，并能掌握求函数导数的方法，且能明白函数在一点处的导数与函数的导函数的区别与联系。本专题是本单元的“深水区”，相信学生学完本专题后再学习本章其它知识的时候，就会轻松多了。

本专题学习目标 （描述本专题学习所要达到的主要目标）
1、知识与技能目标：
了解导数概念的实际背景；理解函数在某点处导数以及在某个区间的导函数的概念；会用定义求瞬时速度和
函数在某点处的导数。
2、过程与方法目标：
利用质点运动的平均速度公式，固定区间的某一端点，缩小区间长度，用无限逼近的思想求质点在端点
处的瞬时速度，类比于平均速度与瞬时速关系进一步归纳出函数的瞬时变化率定义，也就是导数的定义。理解导数的符号是导数概念的完美抽象。由定义的推导过程总结出求函数导数的步骤，并自然而然的由一点处的导数的定义过渡到任一点处的导函数的定义。
3、情感、态度与价值观目标：
通过瞬时速度的探求，体会无限逼近的数学思想；通过导数符号的简约创设，感受数学的符号美；
通过数学概念来源于生活反过来又应用用生活，体会数学源于生活，高于生活的学科本质。

本专题任务设计
1、 跳水运动中运动员高度随时间变化的函数为，
求运动员在区间[2，2+]上的平均速度，当从正负两个方向不断趋近于0时，
观察平均速度的变化情况，由此抽象出在t=2时的瞬时速度的表达式。

2、 类比瞬时速度表达式给出一般函数在某一点的瞬时变化率的定义，
进而给出函数在某一点的导数的定义，并能按照定义求一些简单函数的导数。

所需教学材料和资源(在此列出学习过程中所需的各种支持资源)
信息化资源
笔记本，网络，主题资源网站，能反映研究性过程的课件，有关牛顿，莱布尼茨的资料。
常规资源
教科书、计算器 ，明确的研究性学习方案。纸笔。
教学支撑环境
多媒体教室。
其 他
学生分组
学习活动设计（描述本专题的学习过程和学习活动）

第一课时：
活动1、分组： 学生每五人一组，分为若干组内异质，组间同质的小组，确定组长。

活动2、 分配任务，收集信息：
(1) 跳水运动中运动员高度随时间变化的函数为，求运动员
在区间[2，2+]上的平均速度的表达式，并计算当分别取 —0.1, —0.01, —0.01,—0.001,—0.0001......时, 平均速度对应的一系列值, 然后计算 分别取 0.1, 0.01, 0.01,0.001,0.0001......时, 平均速度对应的一系列值., 可由组长再把本组细分为两组，一组计算>0的的值,一组计算<0的的值.

(2) 根据(1)中的计算结果,组员共同完成下表:

△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ] 时间内
△t>0时, 在[2, 2 +△t ] 时间内
当△t = – 0.1时, =
当△t = 0.1时, =
当△t = – 0.01时, =
当△t = 0.01时, =
当△t = – 0.001时, =
当△t = 0.001时, =
当△t = – 0.0001时, =
当△t = 0.0001时, =

……

……

表格及表格中的数据要由学习小组通过计算得出。

活动3、各组成员在组长安排下从以下三个方面分析整理数据信息：
（1）观测分析上表中的数据规律。
（2）从物理的观点如何解读上述规律。
（3）思考在时的瞬时速度，如何用一个数学式子表示这一瞬时速度。

第二课时：
活动4、、不同组之间分享各之研究成果，最后形成较为一致的分析结论：
（1） 当趋近于0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，
平均速度都趋近于一个确定的值．
（2） 从物理的角度看，时间间隔无限变小时，平均速度就无限趋近于2时的瞬时速度，
因此，质点在时的瞬时速度是
（3） 用一个式子表示在时的瞬时速度：
活动5．升华研究成果，给出导数定义：
（1）由瞬时速度类比归纳出任一函数在某一点处的瞬时变化率的定义：
（2）给出新定义：瞬时变化率就是导数，记作：，
完成研究的升华。
（3）小组探究、总结归纳出求函数y＝f(x)在点x0处的导数．一般步骤是什么？
预期结论：
第一步： 求平均变化 率
第二步： 求平均变化率的极限：
第三步： 得结论，即：
活动6、迁移应用：
（1）、根据导数定义求函数y=c，y=x2，,y=1/x。 在点x0处的导数f'(x0)
（2）、把导数中的x0替换成x，给出导函数的概念。小组思考并讨论与的关系。

教学评价
（列举本专题中要评价的学习要素和所使用的评价工具或方法）

可评价的学习要素：

1、小组合作水平：
A、参与度：小组成员参与度是否高，气氛是否浓烈，分工是否明确。
B、集体观念、配合情况：
小组成员是否有一种不甘落后，为小组而战，恐本组落后的精神状态。
小组成员间配合是否默契，相互包容，紧张高效。

2、表达水平与探究水平：
A、小组各成员的理解认识能否集中为小组的研究成果，并能推举一位组员把本组的研究成果
清楚，明白，条理的表达出来。
B、小组探究成果与预期成果的距离。
C、从瞬时速度到瞬时变化率再到导数的类比推理、抽象概括能力。

3、对概念知识的迁移： A、能否按照步骤求一些简单函数在某一点处的导数。
B、能否理解与的关系。

专题三
导数的几何意义
所需课时
1课时
专题三概述 (介绍本专题在整个单元中的作用，以及本专题的主要学习内容、学习活动和学习成果)
导数的几何意义能够很好地帮助理解导数的定义，是导数概念的深化，同时也是数形结合的理论支撑。
在本专题中，学生通过探究导数的几何意义，掌握求函数切线的新方法，掌握求瞬时速度的新方法。
在探究过程中，将体会到以直代曲、无限逼近等的数学思想方法。同时，直观的曲线动画效果，严谨唯美的
数学结论，巨大的应用价值也一定会激发出学生学习数学，应用数学、探索数学的浓厚兴趣。
本专题学习目标 （描述本专题学习所要达到的主要目标）

知识与技能目标：
1、掌握函数在处的导数的几何意义就是函数的图像在处的
切线的斜率。（数形结合），即： ＝切线的斜率
2、会利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“以直代曲”的数学思想方法。

过程与方法：
1、利用几何画板进行探究，参与操作，研究割线斜率变化情况，分析整理成结论；
2、观察感知由割线逼近“变成”切线的过程，理解导数的几何意义；
3、通过求切线方程，求瞬时速度，体验导数的应用价值。

情感态度与价值观：
1、通过探究导数的几何意义，体会到以直代曲、无限逼近等的数学思想方法。
2、通过直观的曲线动画效果、严谨唯美的数学结论、巨大的应用价值激发出学习数学、
应用数学、探索数学的浓厚兴趣。

本专题问题设计
1．函数在某一点的导数的表达式是怎样的？
2．由割线斜率公式利用无限逼近思想得到切线斜率表达式。
比较导数的表达式与切线斜率表达式，你发现什么？
3．如何求函数在某一点的切线方程？如何求质点在某一点的瞬时速度？
所需教学材料和资源(在此列出学习过程中所需的各种支持资源)
信息化资源
笔记本，网络，主题资源网站。
常规资源
教材选修2-2，能反映教学过程的学案导学。
教学支撑环境
多媒体教室。
其 他
学生分组
学习活动设计（描述本专题的学习过程和学习活动）

活动一：情景引入

1、提出问题，学生思考讨论回答
问题一： 求函数y＝f(x)在点x0处的导数f'(x0)．步骤是什么？
问题二：你怎样理解曲线C在点P处的切线？相切意味着只有一个交点吗？

2、预期结论：
问题一： 第一步： 求平均变化 率
第二步： 当 趋近于0时，平均变化率
无限趋近于一个常数，求得的这个常数就是 y＝f(x)在点x0处的导数f'(x0)．
第三步： 得结论，即：
问题二： 相切不一定有一个交点，有一个交点也不一定是相切。相切是函数的一个局部概念。

活动2 ：割线斜率与切线斜率。

1、提出问题，小组合作探究后给出回答
问题一： 利用几何画板让学生观察割线的变化趋势，引导他们给出一般曲线的切线定义。 
问题二： 你能借助图像说说平均变化率　　 表示什么吗？
请在坐标系中通过图像画出来。
问题三： 观察割线向切线逼近过程中，割线斜率与切线斜率的关系。

2、预期成果：
问题一： 通过逼近方法，将割线趋于确定位置的直线定义为切线，
适用于各种曲线，这种定义才真正反映了切线的本质。
问题二：通过学生动手实践得到平均变化率 表示割线PQ的斜率。

问题三：通过直观感受得到y＝f(x)在点P（x0，f(x0)）处
切线斜率公式：K切 =

活动三： 概念升华，得出导数的几何意义。

1、提出问题，小组合作探究：
问题一：对比函数y＝f(x)在点P（x0，f(x0)）处切线斜率公式与导数公式，你能得出什么结论？
问题二：利用导数的几何意义，给出求函数y＝f(x)在点P（x0，f(x0)）处切线方程的算法

2、预期效果：
问题一：水到渠成地得出导数的几何意义。
问题二： 让学生总结出利用导数求切线方程的一般步骤。

3．迁移应用：
应用一：求曲线y＝x2在点M(2，4)处的切线方程．
应用二：质点关于时间t 的位移函数为，
求质点在t=3时的瞬时速度，并思考导数的物理意义。

成果反馈：小组成员独立完成上面两个问题后，小组内部再相互研讨统一结果，
最后老师通过投影展示标准答案，学生对照自查自纠。

教学评价
（列举本专题中要评价的学习要素和所使用的评价工具或方法）

可评价的学习要素：
1、小组合作水平：
评价方法： 现场评价
评价指标： 小组成员参与度是否高，气氛是否浓烈。
小组探究成果与预期成果的距离。
2、对概念、知识的理解与表达：
评价方法： 现场评价
评价指标： 能否把自己的理解、认识用数学语言表达出来。
能否通过对问题的思考探究得出预期的数学结论。
3、对概念知识的迁移：
评价方法：标准答案及时反馈。
评价指标：能否按照步骤求一些简单函数的切线方程，质点运动的瞬时速度。