三角函数及其最值.doc

三角函数及其最值
一、知识回顾
本节公式中，s=1/2(a+b+c),r为内切圆半径，R为外接圆半径，Δ为三角形面积.
（一).三角形中的各种关系
设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C．
1．角与角关系：A+B+C = π，
2．边与边关系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，
a－b < c，b－c < a，c－a > b．
3．边与角关系：
1）正弦定理
2）余弦定理 c2 = a2+b2－2bccosC，b2 = a2+c2－2accosB，a2 = b2+c2－2bccosA．
它们的变形形式有：a = 2R sinA，，．
3）射影定理： a＝b·cosC＋c·cosB，
b＝a·cosC＋c·cosA，
c＝a·cosB＋c·cosA．
面积公式：

三角形内角定理的变形
由A＋B＋C＝π，知A＝π－（B＋C）可得出：
sinA＝sin（B＋C），cosA＝－cos（B＋C）．
而．有：，．
（二）映射和函数的概念，函数的单调性
二．例题讲解
1．已知函数y＝sin2x＋acos2x的图像关于直线对称，则函数y＝asin2x-cos2x的图象关于下列各点中对称的是（　）
A．（，0）　　　　 B．（，0）　　C．（，0）　　　　 D．（，0）
分析
sin2x＋acos2x

这就是说将函数y＝sin2x＋acos2x的图像向右平移个单位就可以得到函数
y＝asin2x-cos2x的图象，再由已知得函数y＝asin2x-cos2x的图象关于直线对称，即关于直线对称，记f (x)= asin2x-cos2x,则有
，得，即，所以方程
的解就是函数y＝asin2x-cos2x的图象的对称点的横坐标，
由，容易检验，只有选项B适合.
评注 正弦曲线的对称轴一定通过曲线的最高点或最低点，其对称点就是函数的零点。
2. 函数y =的图像是（　）

分析 该函数的定义域为,淘汰选项C和D; 又由其图象知当x =0时，y=0，所以选A.
评注 检验法是解选择题，填空题常用的极为有效地方法.
练习 求周长为l的直角三角形内切圆半径的最大值．
3． 已知定义在实数R上的函数不恒为零，同时满足且当x>0时，，那么当时，一定有（ ）.
A、
B、
C、
D、
分析 令x = y =0,得f (0) = f(0)f(0), 又，所以f (0) =1; 再令y = - x , 得
f (0) = f (x)f(-x) =1, 又对一切恒成立，设x <0, 则 – x>0, 由已知得
f (- x) >1, 所以 0 < ,选 D
评注 对于抽象函数，通常采用赋值法，求出f (0), f (1)等
4． 设实数m、n、x、y满足，，其中a、b为正的常数，则的最大值是（　）
A．　　　B．　　　C． 　　　 D．
分析 作换元, , 则
，选B
评注 也可以直接利用柯西不等式 ，该不等式用平面向量的数量积易证.设，由立即得证.
练习 已知实数 x, y满足，试求的取值范围.
解 作换元 x = r cosΦ, y = rsinΦ,r>0,则
得 ，又，所以的取值范围是[2，6]
5． 函数的图象如图所示，其定义域为
[-4，4]，那么不等式的解集为
。
分析 函数y = sinx 在区间
或上取正值，在区间
或上取负值，
在数轴上分别标出函数f (x), sinx在区间[-4，4]上的零点，

容易看出在上述六个区间上的取值符号，并且注意f(x)的零点属于该不等式的解集，但要去掉sinx的零点，于是的解集为 .
6．非等边三角形ABC的外接圆半径为2，最长的边，求的取值范围.
解：由正弦定理 得
∵BC是最长边，且三角形为非等边三角形
∴

, 又 , ∴
∴
故 的取值范围为
7． 如图，已知在等边△ABC中，AB＝3，O为中心，过O的直线交AB于M，AC于N，设∠AOM＝(60°≤≤120°)，当分别为何值时，取得最大值和最小值．

解：由题意可知：∠OAM＝30°，
则∠AMO＝180°－（θ＋30°）
由正弦定理得：＝，
又OA=
∴
同理：
∴

∵60°≤θ≤120°，∴≤2sinθ≤2
故当θ＝60°或120°时，的最小值为；
当θ＝90°时，的最大值为2．
8．在锐角中，角A、B、C成等差数列，
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）试比较与的大小，并说明理由。
分析
（Ⅰ）证明
（Ⅱ）解 因为A、B、C成等差数列，所以B=
又=
=
< A-C <，，,
当A<C时，A=，C=，此时=>
所以>
当A>C时，A=，C= ， =>1 ，
所以>, 综合得 >
9．设、为常数，：把平面上任意一点
（，）映射为函数
（1）证明：不存在两个不同点对应于同一个函数；
（2）证明：当时，，这里t为常数；
（3）对于属于M的一个固定值，得，在映射F的作用下，M1作为象，求其原象，并说明它是什么图象？
证明(1)假设有两个不同的点（，），（，）对应同一函数，即与相同，
即 对一切实数x均成立。
特别令x=0，得a=c；令，得b=d这与（a，b），（c，d）是两个不同点矛盾，假设不成立.
故不存在两个不同点对应同函数。
（2）当时，可得常数a0，b0，使

。
由于为常数，设是常数.
从而。
（3）设，由此得
（，）
在映射F下，的原象是（m，n），则M1的原象是

消去t得，即在映射F下，M1的原象是以原点为圆心，为半径的圆．

三．课后练习
1．△ABC内角A,B,C所对的边分别为a,b,c ，满足，则△ABC的三内角中最大的角为（ ）
A．90° B．120° C．135° D．150°
分析 由已知得，所以角C最大，
，选C
2．函数的最小正周期是 （ ）
A． B． C． D．
选D
3．已知定义在[－1，1]上的函数的值域为[－2，0]，则函数的值域为 （ ）
A．[－1，1] B．[－3，1] C．[－2，0] D．不能确定
分析 ，选C
4．△ABC中，的大小为 （ ）
A． B． C．或 D．
分析 将上述两个式子平方后相加得 sin(A+B)=, 即 ，则C=或,
若C=，则0<A+B=, 所以0<A< , 得3cosA+4sinB>3cosA>,矛盾. 选A
使不等式sin2x＋acosx＋a2≥1＋cosx对一切xÎR恒成立的负数a的取值范围是________．(2002年联赛)
原不等式可化为：
（cosx-((a-1)/2)）2≤a2+(a-1)2/4.
∵-1≤cosx≤1,a<0,a-1/2<0,
∴当cosx=1时，函数y=(cosx-(a-1)/2)2有最大值(1-(a-1)/2)2，从而有(1-(a-1)/2)2≤a2+(a-1)2/4，整理得a2+a-2≥0,∴a≥1或a≤-2.又a＜0,∴a≤-2.
5．已知，且，则的值是____________________．

6．函数的最大值为____________________．
分析 设t = sinx+cosx , , 则，
当t=时，;当t=时，.
填
7．求函数y = 2sinx+sinxcosx的最大值
.
提示:设参数(),则
①
②

由①、②知,取等号条件为:

解得
∴,
即 .