基本不等式证明.doc

海门市麒麟中学2013级高一数学38
基本不等式(一)
编写：顾军 审核：季金斌 2014-5-9
学习目标：
1.了解基本不等式及证明方法及利用基本不等式证明一些不等式
2.理解最值定理的使用条件：一正二定三相等， 运用基本不等式求解函数最值问题
重点与难点：利用基本不等式证明一些不等式
教学过程：
一、 引入算术平均数及几何平均数
二、 探究算术平均数及几何平均数的关系
三、 证明基本不等式

题型一：利用基本不等式证明不等式
例1．，证明下列不等式：
（1） （2）

练习：1、 求证：
2、已知求证：

例2．已知且，求证：

练习1、已知且，求证：
2、已知为互不相等的正数，且求证：

题型二：利用基本不等式求最值
最值定理：若x、y都是正数，
(1)如果积xy是定值P , 那么当且仅当x=y时, 和x+y有最小值　　　　　．.
(2)如果和x+y是定值S , 那么当且仅当x=y时, 积xy有最大值　　　　　．
最值定理中隐含三个条件：　　　　　　　　　　　　　
例3．(1)已知函数y=x+(x>－2), 求此函数的最小值.
(2)已知x<, 求y=4x－1+的最大值;
(3)已知x>0 , y>0 , 且5x+7y=20 , 求xy的最大值;
(4)已知x , y∈R+ 且x+2y=1 , 求的最小值.

例4. 错在哪里?
（１）求y=(x∈R)的最小值.
解：∵y=
∴ y的最小值为2 .
（２）已知x , y∈R+ 且x+４y=1，求的最小值．
解：法一：由１＝得
所以．所以原式最小值为８．
法二：由（当且仅当x=y时等号成立）．于是有得x=y=0.2．
所以的最小值为5+5=10.

练习：1.求函数y=4x2+的最小值； 2.已知x<0 , 求y=的最大值；

3.已知x>-2 , 求y=的最大值； 4.求函数的最小值.

5.x , y∈R+, 且+=1 , 求x+y的最小值; 6.x>1 ,0<y<1 求logyx+logxy的取值范围；

7.若均为正数，且则求及的取值范围

课堂小结
1. 理解最值定理的使用条件：一正二定三相等．
2. 运用基本不等式求解函数最值问题．
课后作业： 姓名 学号
1.的最小值为
2.已知则的最小值
3.已知且求的最小值为
4.已知，则的取值范围
5.已知且则的最大值为
6.设满足且则的最大值是
7.已知正数满足则的最小值是
8.已知则的最小值是
9.的最大值为
10.的取值范围为
11.若实数满足则的最小值为
12.，则的最小值为 ，相应的的值为
13. 已知求证

14.已知且求证：

15.设求的最大值

16.若为常数，则的最大值

17.已知均为正数，且恒成立，求m的最大值。