我的矩阵分析总结.doc

矩阵分析期末复习
1. 判断一个集合是否为线性空间
只需要验证2条：加法封闭性； 乘法封闭性
例：
1）

2）

3)

2. 判断一组基是否为标准正交基
验证2条：各个向量的模是否为1； 两两向量内积是否为0
例：a1 = (0,1,0)， a2 = (12, 0, 12)，a3 = (12, 0, 12 )
构成R3的一个标准正交基，因为：
| a1 | = | a2 | = | a3 | = 1
< a1 , a2> = < a1 , a3 > = < a2 , a3 > = 0

3. 求一个线性变换的核T-1（0）、象集T(V)
例：
(1)证明T(x1, x2, … ,xn) = (0, x1, x2, …, xn-1)是线性空间Pn的线性变换且Tn = 0 (零变换).
(2)求T的核T-1（0）的维数、象集T(V)的维数
证明：
（1） 由线性变换的定义，易证T是线性变换，又因
T2(x1, x2, … ,xn)
= T(0, x1, x2, …, xn-1)
= (0, 0, x1, x2, …, xn-2)
…
= Tn(x1, x2, … ,xn) = (0, 0, …, 0)
即Tn = 0（零变换）
（2） 若T(x1, x2, … ,xn) = (0, x1, x2, …, xn-1) = (0, 0, …, 0)
则x1 = x2 = … = xn-1 = 0.
即T-1（0）为由一切形如(0, 0, …, xn)的向量构成的子空间，它是一维子空间，(0, 0, …, 1)是它的基。

4. 用最小二乘法解方程组
例：用最小二乘法解下列方程组
x1+x2 = 1
x1+x3 = 2
x1+x2+x3 = 0
x1 +2x2 – x3 = -1
解：
系数矩阵A = 11110101112-1，其转置AT = 11101112011-1，B = 120-1
利用公式ATAX = ATB，有
ATAX = 44461-11-13 x1x2x3 =2-13 = ATB
于是求得最小二乘解为：
x1 = 176, x2 = - 136, x3 = - 46

5. 求矩阵的史密斯标准型
初等行、列变换
例：求多项式矩阵A( λ ) = 0λλ（λ-1）00λ+10 0 -λ+2的史密斯标准形
答案：d1(λ) =1，d2(λ) =λ， d3(λ) =λ(λ-1)( λ-2)

6. 求矩阵的约当标准形
例：求矩阵A的约当标准形，其中
A = -1-2-1063-1-14
step1:先求矩阵A的史密斯标准形;
step2:再写出不变因子、初级因子，令初级因子等于0，求解;
step3:最后写出约当标准形.

7. 判断一个矩阵级数是否收敛
方法一：用矩阵的谱半径来判断
方法二：当谱半径失效时，用约当标准型来判断

8. 求带参数的矩阵函数

9. 向量的范数、矩阵的范数
向量的范数：
例：x = (1, -2, 3)T
║x║1 = |1| + |-2| + |3| = 1 + 2 + 3 = 6
║x║2 = (|1|2 + |-2|2 + |3|2)1/2 = (1 + 4 + 9) 1/2 = √14
║x║∞ = max(|1|, |-2|, |3|) = max(1, 2, 3) = 3

矩阵的范数：
例：A = 12-120-1011
║A║1 = max(|1|+|-1|+|0|,|2|+|2|+|1|,|0|+|-1|+|1|) = max(2, 5, 2)= 5 列和范数
║A║∞ = max(|1|+|2|+|0|,|-1|+|2|+|-1|,|0|+|1|+|1|) = max(3, 4, 2)= 4 行和范数
║A║2= max√λ (AHA) 谱范数

AHA = 1-122010-11 12-120-1011 = 20091-11-12
特征方程为：λE - AHA = λ-200λ-9-11-11λ-2 = 0
得 λ1 = 9.1428 ， λ2 = 2.9211, λ3 = 0.9361
所以║A║2 = √9.1428 = 3.0237

║A║F = (12+22+0+(-1)2+22+(-1)2+0+12+12) = 1 + 4 + 1 + 4 + 1 + 1 + 1 = 13

10. 利用盖尔圆盘定理求特征值的取值范围
例：估计矩阵A = 10.10.5310.30.20.30.10.2-10.50.2-0.3-0.1-4 的特征值范围.
解：圆盘定理所指的四个圆盘为：
|z-1|≤ 0.1 + 0.2 + 0.3 = 0.6
|z-3|≤ 0.5 + 0.1 + 0.2 = 0.8
|z+1|≤ 1 + 0.3 + 0.5 = 1.8
|z+4|≤ 0.2 + 0.3 + 0.1 = 0.6

11. 求广义逆A+(行满秩、列满秩)
例：求A = i10i01 的广义M-P逆矩阵。