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数学建模作业 奶制品的生产与销售模型 2 奶制品的生产与销售模型 摘 要 随着社会的发展，人们的生活水平逐渐提高，对奶制品的要求也不断提高，因此，企业生产越来越注重对人们需求的供给，合理分配资源，获取最大利润。根据本题的基本信息，提出奶制品的生产与销售模型，这个优化问题的目标时使每天的获利最大，要作的决策时生产计划，即每天用多少桶牛奶生产 A1，用多少桶牛奶生产 A2（也可以时每天生产多少公斤 A1，多少公斤 A2）,但存在着几个问题的制约，采用最小二乘的模型求解方法，按照题目所给，将决策变量、目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来，就可得到模型最优解，解决实际问题，使资源分配合理，并利用效益最大化。关键字：生产要求 最优解 最小二乘法 一 问题重述 问题一 一奶制品加工厂用牛奶生产 A1、A2两种奶制品，1 桶牛奶可以在设备甲上用 12 小时加工成 3 公斤 A1，或者在设备乙上用 8 小时加工成 4 公斤 A2。根据市场需求，生产的A1、A2能全部售出，且每公斤 A1获利 24 元，每公斤 A2获利16 元。现在加工厂每天能得到 50 桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为 480 小时，并且设备甲每天至多能加工100 公斤 A1，设备乙的加工能力没有限制。试为该厂制定一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下 3 个附加 3 问题：1）若用 35 元可以购买到 1 桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？3）由于市场需求变化，每公斤 A1的获利增加到 30 元，应否改变生产计划？问题二 为增加工厂的获利，开发了奶制品的深加工技术：用 2 小时和 3 元加工费，可将 1 公斤 A1 加工成 0.8 公斤高级奶制品 B1，也可将 1 公斤 A2 加工成 0.75 公斤高级奶制品 B2，每公斤 B1 能获利 44 元，每公斤 B2 能获利 32 元。试为该厂制订一个生产销售计划，是每天的净利润最大，并讨论以下问题：1）若投资 30 元可以增加供应 1 桶牛奶，投资 3 元可以增加 1 小时劳动时间，应否作这些投资？若每天投资 150 元，可赚回多少？2）每公斤高级奶制品 B1，B2 的获利经常有 10%的波动，对制订的生产销售计划有无影响？若每公斤 B1 的获利下降10%，计划应该变化吗？二 问题分析 问题一 这个优化问题的目标时使每天的获利最大，要作的决策时生产计划，即每天用多少桶牛奶生产 A1，用多少桶牛奶生 4 产 A2（也可以时每天生产多少公斤 A1，多少公斤 A2），决策受到 3 个条件的限制：原料（牛奶）供应、劳动时间、甲类设备的加工能力。按照题目所给，将决策变量、目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来，就可得到下面的模型。问题二 要求制订生产销售计划，决策变量可以像例 1 那样，取作每天用多少桶牛奶生产 A1、A2，再添上用多少公斤 A1 加工B1，用多少斤 A2 加工 B2，但是由于问题要分析 B1、B2 的获利对生产销售计划的影响，所以决策变量取作 A1，A2，B1，B2 每天的销售量更方便。目标函数是工厂每天的净利润A1、A2、B1、B2 的获利之和扣除深加工费用。约束条件基本不变，只是要添上 A1，A2 深加工时间的约束。再与例 1 类似的假定下用线性规划模型解决这个问题。三 基本假设 1.A1,A2 两种奶制品每公斤的获利是与他们各自产量无关的常数，每桶牛奶加工出 A1,A2 的数量和所需的时间是与它们各自的产量无关的常数；2.A1,A2 每公斤的获利是与它们相互间产量无关的常数，每桶牛奶加工出 A1,A2 的数量和所需的时间是与他们相互间产量无关的常数；3.加工 A1,A2 的牛奶的桶数可以是任意实数。四 模型的变量与符号说明 5 问题一 问题二 五 模型的建立与求解 5.1 模型的建立与求解 问题一 由上述问题分析可建立加工奶制品的生产计划的模型并进行求解：设每天用 x1 桶牛奶生产 A1，用 x2 桶牛奶生产 A2；每天获利为 z 元.x1 桶牛奶可生产 3x1 公斤 A1，获利 24*3x1，x2 桶牛奶可生产 4x2 公斤 A2，获利 16*4x2，z=72x1+64x2；符号 符号说明 X1 每天用来生产 A1 的牛奶桶数 X2 每天用来生产 A2 的牛奶桶数 z 每天的获利 符号 符号说明 X1 每天销售 A1 的公斤数 X2 每天销售 A2 的公斤数 X3 X4 X5 X6 z 每天销售 B1 的公斤数 每天销售 B2 的公斤数 每天用 A1 加工 B1 的 A1 公斤数 每天用 A2 加工 B2 的 A2 公斤数 每天的净利润 6 我们的目标是求出当 x1,x2 满足下列约束条件时 z 的最大值，及相应的 x1,x2 的取值。约束条件为：1.原料供应：生产 A1，A2 的总加工时间不得超过每天正式工人总的劳动时间，即 12x1+8x2=480 小时；2.劳动时间：生产 A1，A2 的原料（牛奶）总量不得超过每天的供应，即 x1+x2=50 桶；3.设备能力：A1 的产量不得超过甲类设备每天的加工能力，即3x=0，x2=0.由此得基本模型：Max z=72x1+64x2 Stx1+x2=50 12x1+8x2=480 3x1=0,x2=0.用 LINDO 软件求解，可得到如下输出：LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1)3360.000 7 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2)0.000000 48.000000 3)0.000000 2.000000 4)40.000000 0.000000 NO.ITERATIONS=2 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 72.000000 24.000000 8.000000 X2 64.000000 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 50.000000 10.000000 6.666667 3 480.000000 53.333332 80.000000 4 100.000000 INFINITY 40.000000 上面结果的第 3,5,6 行明确地告诉我们，这个现行规划的最优解为x1=20,x2=30,最优值为z=3360,即用20桶牛奶生产A1,30桶牛奶生产 A2，可获最大利润 3360 元。问题二 由上述问题分析可建立奶制品生产销售计划的模型并进行求解：设每天销售1x公斤1A，2x公斤2A，3x公斤1B，4x公斤2B，用5x公斤1A加工1B，6x公斤2A加工2B。设：6543213332441624xxxxxxz 8 其 中 z 表 示 的 是 每 天 净 利 润，我 们 的 目 标 是 求 出 当x1,x2,x3,x4,x5,x6 满足下列约束条件时 z 的最大值，及相应的x1,x2,x3,x4,x5,x6 的取值。约束条件为：1 原料供应：A1 每天生产 x1+x5 公斤，用牛奶（x1+x5）/3桶，A2 每天生产 x2+x6 公斤，用牛奶（x2+x6）/4 桶，二者 之 和 不 得 超 过 每 天 的 供 应 量50桶；即50436251xxxx 2 劳动时间：每天生产 A1，A2 的时间分别为 4（x1+x5）和 2（x2+x6），加工 B1，B2 的时间分别为 2x5 和 2x6，二者之和 不 得 超 过 总 的 劳 动 时 间480小 时；即48022)(2)(4656251xxxxxx 3 设备能力：A1 的产量 x1+x5 不得超过甲类设备每天的加工能力 100 公斤；即10051xx 4 非负约束：x1,x2,x6 均为非负.即0.,654321xxxxxx 5 附加约束：1 公斤 A1 加工成 0.8 公斤 B1，故 x3=0.8x5,类似地 x4=0.75x6.即645375.0,8.0 xxxx 由此得基本模型：Max 6543213332441624xxxxxxz s.t.50436251xxxx 9 48022)(2)(4656251xxxxxx 10051xx 645375.0,8.0 xxxx 0.,654321xxxxxx 用 LINDO 软件求解，可得到如下输出：LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1)3460.800 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 1.680000 X2 168.000000 0.000000 X3 19.200001 0.000000 X4 0.000000 0.000000 X5 24.000000 0.000000 X6 0.000000 1.520000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2)0.000000 3.160000 3)0.000000 3.260000 4)76.000000 0.000000 5)0.000000 44.000000 6)0.000000 32.000000 NO.ITERATIONS=2 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 24.000000 1.680000 INFINITY X2 16.000000 8.150000 2.100000 10 X3 44.000000 19.750002 3.166667 X4 32.000000 2.026667 INFINITY X5 -3.000000 15.800000 2.533334 X6 -3.000000 1.520000 INFINITY RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 600.000000 120.000000 280.000000 3 480.000000 253.333328 80.000000 4 100.000000 INFINITY 76.000000 5 0.000000 INFINITY 19.200001 6 0.000000 INFINITY 0.000000 最优解为 x1=0,x2=168,x3=19.2,x4=0,x5=24,x6=0，最优值为 z=3460.8.即每天生产销售 168 公斤 A2 和 19.2 公斤 B1（不出售 A1，B2），可获净利润 3460.8 元.为此，需用 8 桶牛奶加工成A1,42 桶加工成 A2，并将得到的 24 公斤 A1 全部加工成 B1.5.3 模型检验 根据多项式的曲线拟合原理，其本身就体现了最小二乘法，在拟合多项式最高次数的选择上，我们更是多次试验，择优而选择，使其更加逼近以前的数据，所以说，从最小二乘法原理方面检验，它的误差是在=0.05 之内的，模型可行。六 模型评价与推广 本模型的优点:1.本模型的优点:1.在进行奶制品的生产与销售模型中，采用最小二乘的方法在奶制品生产问题上，合理建立模型，保证了模型的准确性和正确性。2.在数据处理上，采用简单的数据处理，解决了实际的奶制品的生产与销售模型。3.在此题求解过程中，假设多个变量，考虑到多个因素的存在，运用了多种 11 可能的模型，使得问题的求解的合理性大为提高。不足点:本模型采用多项式进行曲线拟合,但并没有论证它的优越性,而且也有可能出现多种最优解，也没有考虑是否有更好的拟合函数 模型推广：企业内部的生产计划有各种不同的情况。从空间层次看，在工厂级要根据外部需求和内部设备、人力、原料等条件，以最大利润为目标制订产品的生产计划，在车间级则要根据产品生产计划、工艺流程、资源约束及费用参数等，以最小成本为目标制订生产作业计划。从时间层次看，若在短时间内认为外部需求和内部资源等不随时间变化，可制订单阶段生产计划，否则就要制订多阶段生产计划。这个模型可以推广到诸多经济领域。经济市场中，各种经济指数在短时间内多呈现出波动性，然而在整个宏观时间区域上，却可以认为这些经济指数是按照一定规律变化的。所以，我们可以采用同样的方法，对各种经济指数进行宏观的分析。首先将影响数据的因数进行分类，然后逐渐对各个因素进行分析，采用最小二乘法拟合找出其随时间变化的函数关系，接着，对所需要预测的问题进行综合的预测，进而求解经济市场中的该类问题。七 参考文献 1姜启源等，数学模型，第三版，高等教育出版社 2刘卫国等，Matlab 程序设计与应用（第二版），北京：高等教育出版社 附录一 用 LINDO 软件求解问题一：加工奶制品的生产计划的程序如下 max 72x1+64x2 12 st 2)x1+x250 3)12x1+8x2480 4)3x1100 End 附录二 用 LINDO 软件求解问题二：奶制品的生产销售计划的程序如下 max 24x1+16x2+44x3+32x4-3x5-3x6 st 4x1+3x2+4x5+3x6=600 4x1+2x2+6x5+4x6=480 x1+x5=100 x3-0.8x5=0 x4-0.75x6=0 end