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傅里叶变换的性质
傅里叶变换的性质本质就是信号的时域运算关系在傅里叶变换域中的体现，也是求解信号傅里叶变换的基本手段。
傅里叶变换具有唯一性。傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。讨论傅里叶变换的性质，目的在于：
1. 了解特性的内在联系
2. 用性质求
3. 了解在通信系统领域中的实用
这些性质在内容和形式上具有某种程度的对称性。
§3.7.1对称性质
1．性质

2．意义

例3-7-1

例3-7-2

例3-7-3

§3.7.2 线性
1．性质

2．说明
这个性质虽然简单，但实际上是应用最多的。
例3-7-4
§3.7.3 奇偶虚实性
奇偶虚实性实际上在§3.4的“傅里叶变换的特殊形式”中已经介绍过。
1.
证明：
由定义
可以得到

2.若，则
证明：
设f(t)是实函数（为虚函数或复函数情况相似，略）

显然

§3.7.4 尺度变换性质
1. 性质：

2. 证明：

综合上述两种情况

3．意义

(1)  0<a<1 时域扩展，频带压缩。

脉冲持续时间增加a倍，信号变化减缓，信号在频域的频带压缩a倍。因此高频分量减少，幅度上升a倍。
(2) a>1 时域压缩，频域扩展a倍。

持续时间短，变化加快。信号在频域高频分量增加，频带展宽，各分量的幅度下降a倍。
此例说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比，有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则要以展开频带为代价。

§3.7.5 时移特性
性质

幅度频谱无变化，只影响相位频谱，

例3-7-8
求下图所示函数的傅里叶变换。

解：

由对称关系求，
又因为
得
幅频、相频特性分别如下图所示。

幅度频谱无变化，只影响相位频谱

§3.7.6 时移+尺度变换
1.     性质：

2. 证明： (仿的证明过程)

当时，设，则

例3-7-9

方法一：先标度变换，再时延

方法二：先时延再标度变换

两种方法结果相同。
§3.7.7 频移特性
1．性质

2．证明

3．说明

4．应用
通信中调制与解调，频分复用
§3.7.8 频移特性
1．性质

2．证明

3．说明

4．应用
通信中调制与解调，频分复用
§3.7.9 时域微分性质
1．性质

2. 证明

即
3. 特别注意
如果f(t)中有确定的直流分量，应先取出直流分量单独求傅里变换，余下部分再用微分性质。

§3.7.10 频域微分性质

性质：
则

或

例3-7-6

解：

例3-7-7

解：

……

§3.7.11时域积分性质
1. 性质

2. 证明

其中：（1）变上限积分用带时移的单位阶跃的无限积分表示，成为
（2）交换积分顺序，即先求时移的单位阶跃的信号的傅里叶变换
（3）

（5）。
例题——时域积分性质
1. 求单位阶跃函数的傅里叶变换。
解：

则
2. 求门函数积分的频谱函数。

解：

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