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【专题关注】磁聚焦与磁扩散
【亮点】发散的带电粒子束在磁场的作用下聚集于一点的现象称为磁聚焦，反之称为磁扩散。
【结论】R磁场=R轨迹
【借鉴例题】（2012·临川一中4月模拟）有一种电荷聚焦装置的工作原理可简化为如下工作过程：如图(a)所示，平行金属板A和B间的距离为d，现在A、B板上加上如图（b）所示的方波形电压，t=0时A板比B板的电势高，电压的正向值为U0，反向值也为U0，现有由质量为m的带正电且电荷量为q的粒子组成的粒子束，从AB的中点O以平行于金属板方向OO＇的速度v0=不断射入，所有粒子在AB间的飞行时间均为T，不计重力影响。试求：
（1）粒子打出电场时位置离O＇点的距离范围
（2）粒子射出电场时的速度大小及方向
（3）在平行板的右侧某个区域设置一个有界匀强磁场，使得从电场中出来的粒子，经磁场偏转后，都能聚焦于某一个点，则此匀强磁场区域的最小面积是多大？

【寒假作业五套卷5-25】（2008·南通二模）如图4所示的直角坐标系中,在直线x= -2L0到y轴区域内存在着两个大小相等、方向相反的有界匀强电场,其中x轴上方的电场方向沿y轴负方向,x轴下方的电场方向沿y轴正方向.在电场左边界上A(-2L0,-L0)到C(-2L0,0)区域内,连续分布着电荷量为+q、质量为m的粒子.从某时刻起由A点到C点间的粒子,依次连续以相同的速度v0沿x轴正方向射入电场.若从A点射入的粒子恰好从y轴上的(0,L0)， 沿x轴正方向射出电场,其轨迹如图中虚线所示.不计粒子的重力及粒子间的相互作用.求：
(1)求匀强电场的电场强度E;
(2)求在AC间还有哪些位置的粒子,通过电场后也能沿x轴正方向运动?
A
C
x= -2L0
E

图4
v0
E
x=2L0
x
y
v0
O
(3)若以直线x=2L0上的某点为圆心的圆形区域内,分布着垂直于xoy平面向里的匀强磁场,使沿x轴正方向射出电场的粒子,经磁场偏转后,都能通过直线x=2L0与圆形磁场边界的一个交点处,而便于被收集,则磁场区域的最小半径是多大?相应的磁感应强度B是多大?

【寒假作业十套卷7-25】如图所示，半径为R,圆心在C点的圆内有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场，圆与x轴相切于A，A处有一粒子源，可以释放出质量为m、电荷量为q且速率相同的带正电粒子，粒子射入磁场时的速度方向与磁场垂直且被限定在以AC为中心左右各30°角的范围内。已知沿AC方向射入磁场的粒子，穿出磁场时的方向与y轴垂直。
（1） 求粒子射入磁场时的速率。
（2） 所有粒子穿出磁场后经过y轴时的最大及最小纵坐标值。
（3）在y轴右侧加一与y轴平行的匀强电场,所有粒子经过x轴时的区域长度与经过y轴时的区域长度相同，求所加电场的大小和方向。

y
x
O
O1
v
【补充练习1】如图所示，一半径为r的垂直纸面向外的圆形匀强磁场B，圆心O1，OO1=r，在纸面内从O点向x轴上方各个方向发射出速率为v、质量为m、电量为q的带正电粒子（不计重力），已知速率v满足v=qBr/m。问所有从磁场边界射出的粒子的速度有何特征？

O
O′
R
y
x
A ·
【补充练习2】（2009·浙江）如图所示，在xoy平面内有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆内还有与xoy平面垂直的匀强磁场，在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正向发射出一束具有相同质量m、电荷量q和速度v的正电微粒。微粒分布在0< y < 2R的区间内。已知重力加速度大小为g。
（1）从A点射出的粒子平行于x轴从C点进入有磁场区域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开，求电场强度E和磁感应强度B的大小和方向；
（2）请指出这束带电粒子与x轴相交的区域，并说明理由。

D
A
B
C
【补充练习3】（2009·海南）如图所示，ABCD是边长为a的正方形。质量m、电荷量为e的电子以大小为v的速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域。在正方形区域内适当区域中有匀强磁场。使电子从BC边上的任意点入射，都只
能从A点射出磁场。求：
（1）匀强磁场的磁感应强度大小和方向；
（2）此匀强磁场区域的最小面积。

O
x
y
v
【补充练习4】(2011年第28届全国中学生物理预赛第15题）图中坐标原点O（0，0）处有一粒子源，向y≥0一侧沿Oxy平面内的各个不同方向发射带正电粒子，粒子的速率都是v，质量均是m，电荷量均是q。有人设计了一方向垂直于Oxy平面，磁感应大小为B的匀强磁场区域，使上述所有带电粒子从该磁场区域的边界射出时，均能沿x轴正向运动。试求出此边界的方程，并画出此边界线的示意图。

【例1参考答案】解析：（1）用Q表示极板电荷量的大小，q表示碰后小球电荷量的大小.要使小球能不停地往返运动，小球所受的向上的电场力至少应大于重力，则q>mg　　　　①
其中 q=αQ　　　 ② 又有　Q=CE ③
由以上三式有 E> 　　　　　④
（2）当小球带正电时，小球所受电场力与重力方向相同，向下做加速运动.以a1表示其加速度，t1表示从A板到B板所用的时间，则有q+mg=ma1⑤ d=a1t12　　　　　⑥
当小球带负电时，小球所受电场力与重力方向相反，向上做加速运动，以a2表示其加速度，t2表示从B板到A板所用的时间，则有q－mg=ma2　　　⑦ d=a2t22　　　　　⑧
小球往返一次共用时间为（t1+t2），故小球在T时间内往返的次数n= ⑨
由以上关系式得:n= ⑩
小球往返一次通过的电量为2q，在T时间内通过电源的总电量Q′=2qn ⑾
由以上两式可得：Q′=
20．解析：据U-t图象可作出v-t图象如下图所示，由图象可知：
（1）当粒子由时刻进入电场，向下侧移最大，则

当粒子由时刻进入电场，向上侧移最大，则
在距离O/中点下方至上方范围内有粒子打出。
（2）打出粒子的速度都是相同的，在沿电场线方向速度大小为
所以打出速度大小为
设速度方向与v0的夹角为θ，则 即θ=45°

【练2参考答案】解：（1）带电粒子平行于x轴从C点进入磁场，说明带电微粒所受重力和电场力平衡。设电场强度大小为E，由 ，可得，方向沿y轴正方向
带电微粒进入磁场后，将做圆周运动，且r=R，如图甲所示，设磁感应强度大小为B。
由 ，得，方向垂直于纸面向外
（2）这束带电微粒都通过坐标原点
方法一：从任一点P水平进入磁场的带电微粒在磁场中
做半径为R的匀速圆周运动，其圆心位于其正下方的
Q点，如图乙所示，这束带电微粒进入磁场后的圆心轨
迹是如图乙的虚线半圆，此圆的圆心是坐标原点
方法二：从任一点P水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R的匀速圆周运动。如图乙所示，高P点与O′点的连线与y轴的夹角为θ，其圆心Q的坐标为（-Rsinθ，Rcosθ），圆周运动轨迹方程
为 得x=0，y=0或 x=-Rsinθ，y=R(1+cosθ)
（3）这束带电微粒与x轴相交的区域是x>0
带电微粒在磁场中经过一段半径为r′的圆弧运动后，将在y同的右方（x>0）的区域离开磁场并做匀速直线运动，如图丙所示。靠近M点发射出来的带电微粒在穿出磁场后会射向x轴正方向的无穷远处，靠近N点发射出来的带电微粒会在靠近原点之处穿出磁场
所以，这束带电微粒与x轴相交的区域范围是x>0

【练3参考答案】解：（1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为B。令圆弧是自C点垂直于BC入射的电子在磁场中的运行轨道。电子所受到的磁场的作用力①
应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外。圆弧的圆心在CB边或其延长线上。依题意，圆心在A、C连线的中垂线上，故B 点即为圆心，圆半径为a按照牛顿定律有 ②
联立①②式得 ③
（2）由（1）中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自C点垂直于BC入射电子在A点沿DA方向射出，且自BC边上其它点垂直于入射的电子的运动轨道只能在BAEC区域中。因而，圆弧是所求的最小磁场区域的一个边界。
为了决定该磁场区域的另一边界，我们来考察射中A点的电子的速度方
向与BA的延长线交角为θ（不妨设）的情形。该电子的运动
轨迹qpA如图所示图中，圆的圆心为O，pq垂直于BC边，由③式知，
圆弧的半径仍为a，在D为原点、DC为x轴，AD为y轴
的坐标系中，P点的坐标为
这意味着，在范围内，p点形成以D为圆心、a为半径的四分之一圆周，它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界
因此，所求的最小匀强磁场区域时分别以B和D为圆心、a为半径的两个四分之一圆周和所围成的，其面积为
【作业1参考答案】

【练4参考答案】15．参考解答：
先设磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直xy平面向里，且无边界．
考察从粒子源发出的速率为v、方向与x轴夹角为θ的粒子，在磁场
的洛仑兹力作用下粒子做圆周运动，圆轨道经过坐标原点O，且与
速度方向相切，若圆轨道的半径为R，有
（1）得 (2)
圆轨道的圆心O’在过坐标原点O与速度方向垂直的直线上，至原点的距离为R，如图1所示．通过圆心 O’作平行于y轴的直线与圆轨道交于P点，粒子运动到P点时其速度方向恰好是沿x轴正方向，故P点就在磁场区域的边界上．对于不同人射方向的粒子，对应的P点的位置不同，所有这些P点的连线就是所求磁场区域的边界线．P点的坐标为
x＝—Rsinθ (3 )
y＝一R + Rcosθ (4)
这就是磁场区域边界的参数方程，消去参数θ，得
x2 +(y+R)2=R2 (5)
由（2）、（5）式得
(6)
这是半径为R圆心 O’’的坐标为（0，一R ) 的圆，作为题所要求的磁场区域的边界线，应是如图 2 所示的半个圆周，故磁场区域的边界线的方程为
(7)
若磁场方向垂直于xy面向外，则磁场的边界线为如图3示的半圆，磁场区域的边界线的方程为
x2 +(y—R)2=R2 （8 )
或 （9）
证明同前