两角和与差的正弦余弦正切公式.doc

两角和与差的正弦余弦正切公式
教学目标
1．能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式，并灵活运用．(重点)
2．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．(难点)
3．掌握两角和与差的正切公式及变形应用．(难点、易错点)
[基础·初探]
教材整理1　两角和与差的余弦公式
阅读教材P128“思考”以下至“探究”以上内容，完成下列问题.
名称
简记符号
公式
使用条件
两角差的余弦公式
C(α－β)
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
α，β∈R
两角和的余弦公式
C(α＋β)
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
α，β∈R

cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°的值等于________．
【解析】　逆用两角和的余弦公式可得
cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°＝cos(75°＋15°)＝cos 90°＝0.
【答案】　0
教材整理2　两角和与差的正弦公式
阅读教材P128“探究”以下内容，完成下列问题．
1．公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正弦
S(α＋β)
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
α、β∈R
两角差的正弦
S(α－β)
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
α、β∈R
2.重要结论－辅助角公式
y＝asin x＋bcos x＝sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos θ＝，sin θ＝．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(　　)
(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．(　　)
(3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．(　　)
(4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.(　　)
解：(1)√.根据公式的推导过程可得．
(2)√.当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β.
(3)×.当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．
(4)√.因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°
＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝sin(54°－24°)＝sin 30°，故原式正确．
【答案】　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
教材整理3　两角和与差的正切公式
阅读教材P129“探究”以下至“例3”以上内容，完成下列问题．
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正切
T(α＋β)
tan(α＋β)＝
α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 且tan α·tan β≠1
两角差的正切
T(α－β)
tan(α－β)＝
α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z) 且tan α·tan β≠－1

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．(　　)
(2)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立．(　　)
(3)tan(α＋β)＝等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)．(　　)
解：(1)√.当α＝0，β＝时，tan(α＋β)＝tan＝tan 0＋tan ，但一般情况下不成立．
(2)×.两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)．
(3)√.当α≠kπ＋(k∈Z)，β≠kπ＋(k∈Z)，α＋β≠kπ＋(k∈Z)时，由前一个式子两边同乘以1－tan αtan β可得后一个式子．
【答案】　(1)√　(2)×　(3)√
[小组合作型]
灵活应用和、差角公式化简三角函数式
　(1)(2016·济宁高一检测)
＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
(2)化简求值：
①；
②sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)；
③(2016·遵义四中期末)tan 20°＋tan 40°＋tan 20°·tan 40°.

(1)化简求值应注意公式的逆用．
(2)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值．
解：(1)
＝
＝
＝＝sin 30°＝.
【答案】　C
(2)①原式＝
＝tan(45°＋75°)＝tan 120°＝－.
∴原式＝－.
②设α＝θ＋15°，
则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－cos α
＝＋－cos α＝0.
∴原式＝0.
③原式＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)＋tan 20°·tan 40°＝.
∴原式＝.

1．公式T(α＋β)，T(α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tan α·tan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))．三者知二可表示出或求出第三个．
2．化简过程中注意“1”与“tan ”、“”与“tan ”、“”与“cos ”等特殊数与特殊角的函数值之间的转化．
[再练一题]
1．化简求值：
(1)cos 61°cos 16°＋sin 61°sin 16°；
(2)sin 13°cos 17°＋cos 13°sin 17°；
(3).
解：(1)原式＝cos(61°－16°)＝cos 45°＝.
(2)原式＝sin(13°＋17°)＝sin 30°＝.
(3)原式＝＝－＝－.
给值求值
　(2016·普宁高一检测)已知<α<，0<β<，cos＝－，sin＝，求sin(α＋β)的值. 【导学号：00680069】
可先考虑拆角，π＋α＋β＝＋，然后再利用sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)求值．
解：因为<α<π，所以<＋α<π.
所以sin＝＝.
又因为0<β<，π<π＋β<π，
所以cos＝－＝－，
所以sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)
＝－sin＝
－
＝－
＝.
1．本题属于给值求值问题，求解时，关键是从已知角间的关系入手，分析出已知角和待求角的关系．如本题中巧用β＝(α＋β)－α这一关系．
2．常见角的变换为
(1)2α＋β＝(α＋β)＋α，2α－β＝(α－β)＋α；
(2)＝－，
＝－；
(3)＋＝＋(α＋β)；
(4)＋＝＋(α－β)．
[再练一题]
2．已知cos α＝－，α∈，tan β＝－，β∈，求cos(α＋β)．
解：因为α∈，
cos α＝－，所以sin α＝－.
因为β∈，tan β＝－，
所以cos β＝－，sin β＝.
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝－×－×＝.
给值求角
　已知sin α＝，sin β＝，且α，β为锐角，求α＋β的值．
→→→
→
解：∵sin α＝，α为锐角，
∴cos α＝＝.
又sin β＝，β为锐角，
∴cos β＝＝.
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝.
又α，β∈，
∴0<α＋β<π，
因此α＋β＝.
1．求解该类问题常犯的错误是对角的范围讨论程度过大(小)，导致求出的角不合题意或者漏解．
2．求角的大小，要解决两点：(1)确定所求角的范围，(2)求角的某一三角函数值，特别是要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值．
[再练一题]
3．若把本例题的条件改为“α∈，β∈，且cos(α－β)＝，sin β＝－”，试求角α的大小．
解：∵α∈，β∈，∴α－β∈(0，π)，
由cos(α－β)＝，知sin(α－β)＝.
由sin β＝－，知cos β＝.
∴sin α＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β
＝×＋×＝.
又α∈，∴α＝.
[探究共研型]
辅助角公式的应用
探究1　函数y＝sin x＋cos x(x∈Z)的最大值为2对吗？为什么？
【提示】　不对．因为sin x＋cos x
＝
＝
＝sin.
所以函数的最大值为.
探究2　函数y＝3sin x＋4cos x的最大值等于多少？
【提示】　因为y＝3sin x＋4cos x＝5，
令cos φ＝，sin φ＝，
则y＝5(sin xcos φ＋cos xsin φ)＝5sin(x＋φ)，
所以函数y的最大值为5.
探究3　如何推导asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)公式．
【提示】　asin x＋bcos x
＝，
令cos φ＝，sin φ＝，则
asin x＋bcos x＝(sin xcos φ＋cos xsin φ)
＝sin(x＋φ)(其中φ角所在象限由a、b的符号确定，φ角的值由tan φ＝确定，或由sin φ＝和cos φ＝共同确定)．
　当函数y＝sin x－cos x(0≤x<2π)取得最大值时，x＝________.
可先用公式Sα±β将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)形式再求最大值对应的x值．
解：函数为y＝sin x－cos x＝2
＝2
＝2sin，
当0≤x<2π时，－≤x－<，
所以当y取得最大值时，x－＝，所以x＝.
【答案】　
1．对于形如sin α±cos α，sin α±cos α的三角函数式均可利用特殊值与特殊角的关系，运用和差角正、余弦公式化简为含有一个三角函数的形式．
2．在解法上充分体现了角的变换和整体思想，在三角函数求值化简的变换过程中，一定要本着先整体后局部的基本原则．
[再练一题]
4．函数f(x)＝sin x－cos的值域为(　　)
A．[－2，2] B．
C．[－1，1] D．
解：f(x)＝sin x－cos
＝sin x－cos x＋sin x
＝sin x－cos x
＝sin，
所以函数f(x)的值域为[－，]．
故选B．
【答案】　B
[构建·体系]

1．(2016·清远期末)化简：sin 21°cos 81°－cos 21°·sin 81°等于(　　)
A． B．－
C． D．－
解：原式＝sin(21°－81°)＝－sin 60°＝－.故选D．
【答案】　D
2．已知α是锐角，sin α＝，则cos等于(　　)

A．－ B．
C．－ D．
解：因为α是锐角，sin α＝，
所以cos α＝，
所以cos＝×－×＝.故选B．
【答案】　B
3．函数y＝sin x－cos x的最小正周期是(　　)
A． B．π
C．2π D．4π
解：y＝sin x－cos x＝sin，所以T＝2π.
【答案】　C
4．计算＝________．
解：＝
＝tan 45°＝1.
【答案】　1
5．已知α，β均为锐角，sin α＝，cos β＝，求α－β.
解：∵α，β均为锐角，sin α＝，cos β＝，
∴sin β＝，cos α＝.
∵sin α<sin β，∴α<β，∴－<α－β<0，
∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
＝×－×＝－，∴α－β＝－.
学业分层测评
[学业达标]
一、选择题
1．若α＋β＝，则(1＋tan α)(1＋tan β)等于(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解：(1＋tan α)(1＋tan β)
＝1＋(tan α＋tan β)＋tan αtan β
＝1＋tan(α＋β)(1－tan αtan β)＋tan αtan β
＝1＋tan ·(1－tan αtan β)＋tan αtan β＝2.
【答案】　C
2．cos α－sin α化简的结果可以是(　　)
A．cos B．2cos
C．cos D．2cos
解：cos α－sin α＝2
＝2＝2cos.
【答案】　B
3．(2016·北京高一检测)在△ABC中，A＝，cos B＝，则sin C等于(　　)
A． B．－
C． D．－
解：因为cos B＝且0<B<π，
所以sin B＝又A＝，
所以sin C＝sin(A＋B)＝sincos B＋cossin B
＝×＋×＝.
【答案】　A
4．若sin α＝，α∈，则cos＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解：因为sin α＝，α∈，所以cos α＝，故cos＝cos αcos －sin αsin ＝×－×＝－.
【答案】　A
5．若sin α＝，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值为(　　)
A． B．－
C．7 D．
解：由sin α＝，且α是第二象限角，可得cos α＝－，则tan α＝－，所以tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝7.
【答案】　C
二、填空题
6．计算＝________.
解：原式＝
＝tan(45°－15°)＝.
【答案】　
7．若sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则＝________.
解：由题意得sin αcos β＋cos αsin β＝，①
sin αcos β－cos αsin β＝，②
①＋②得sin αcos β＝，③
①－②得cos αsin β＝－，④
③÷④得＝－2.
【答案】　－2
三、解答题
8．设方程 12x2－πx－12π＝0的两根分别为α，β，求cos αcos β－sin αcos β－cos αsin β－sin αsin β的值．
解：由题意知α＋β＝，
故原式＝cos(α＋β)－sin(α＋β)
＝2sin
＝2sin ＝2sin
＝2
＝2
＝.
9.如图3－1－1，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为、.

图3－1－1
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
解：由条件得cos α＝，cos β＝.
∵α，β为锐角，
∴sin α＝＝，
sin β＝＝.
因此tan α＝7，tan β＝.
(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2)∵tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]
＝＝＝－1，
又∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜，
∴α＋2β＝.
[能力提升]
1．已知f(x)＝sin－cos，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)的值为(　　)
A．2 B．
C．1 D．0
解：f(x)＝sin－cos＝2sin＝2sin x，因为周期为6，且f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0 ，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝0.
【答案】　D
2．已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin 2α的值．
解：因为<β<α<，
所以π<α＋β<，0<α－β<.
所以sin(α－β)＝
＝＝.
所以cos(α＋β)＝－
＝－＝－.
则sin 2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]
＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)
＝×＋×
＝－.

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