江苏省徐州市2012-2013学年度高三第一次.doc

江苏省徐州市2012－2013学年度高三第一次质量检测
数学Ⅰ

注 意 事 项
考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求
1. 本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。本试卷满分160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2. 答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题纸上的规定位置。
3. 作答试题，必须用0.5毫米的黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。
4. 如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

参考公式：
球的表面积为，其中表示球的半径。
一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题纸相应位置上.
1.已知全集集合则 ▲ .
2.已知是虚数单位，实数满足则 ▲ .
开始
输入

（第4题图
结束

输出
3.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在（元）内应抽出 ▲ 人.
（第3题图）
1000
1500
2000
2500
3000
4000
3500
月收入（元）
频率/组距
0.0001
0.0002
0.0004
0.0005
0.0003

4.如图是一个算法的流程图，若输入的值是10，则输出的值是 ▲ .
5.若一个长方体的长、宽、高分别为、、1，则它的外接球的表面积是 ▲ .
6.从0，1，2，3这四个数字中一次随机取两个数字，若用这两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是 ▲ .
7.已知等比数列的前项和为，若，则的值是 ▲ .
8.已知双曲线的右焦点为若以为圆心的圆与此双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为 ▲ .
9.由命题“”是假命题，求得实数的取值范围是，则实数的值是 ▲ .
10.已知实数满足约束条件（为常数），若目标函数的最大值是，则实数的值是 ▲ .
11.已知函数，当时，，则实数的取值范围是 ▲ .
12.已知角的终边经过点，点是函数图象上的任意两点，若时，的最小值为，则的值是 ▲ .
13.若对满足条件的任意，恒成立，则实数的取值范围是 ▲ .

第14题图
14.如图，在等腰三角形中，已知分别是边上的点，且其中若的中点分别为且则的最小值是 ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定的区域内作答，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分14分）
在△，已知
（1） 求角值；
（2） 求的最大值.
16.（本小题满分14分）
如图，在四棱柱中，已知平面平面且,
.
（1） 求证：
（2） 若为棱的中点，求证：平面.

第16题图

17.（本小题满分14分）
如图，两座建筑物的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9和15，从建筑物的顶部看建筑物的视角.
(1) 求的长度；

第17题图
(2) 在线段上取一点点与点不重合），从点看这两座建筑物的视角分别为问点在何处时，最小？

18.（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，且过点.
（1） 求椭圆的方程；
（2） 若点，分别是椭圆的左、右顶点，直线经过点且垂直于轴，点是椭圆上异于，的任意一点，直线交于点
（ⅰ）设直线的斜率为直线的斜率为，求证：为定值；

（ⅱ）设过点垂直于的直线为.
求证：直线过定点，并求出定点的坐标.

19. （本小题满分16分）
已知函数
（1） 求函数在点处的切线方程；
（2） 求函数单调区间；
（3） 若存在，使得是自然对数的底数），求实数的取值范围.

20. （本小题满分16分）
已知且令且对任意正整数，当时，当时，
（1） 求数列的通项公式；
（2） 若对任意的正整数，恒成立，问是否存在使得为等比数列？若存在，求出满足的条件；若不存在，说明理由；
（3） 若对任意的正整数且求数列的通项公式.

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数学Ⅱ（附加题）
21.【选做题】本题包括、、、四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A[选修4—1 ：几何证明选讲]（本小题满分10分）

第21—A题图
如图，是⊙的一条切线，切点为直线,都是⊙的割线，已知求证：

B. [选修4—2 ：矩阵与变换]（本小题满分10分）
若圆在矩阵对应的变换下变成椭圆求矩阵的逆矩阵.

C. [选修4—4 ：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，圆的参数方程为为参数,,以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为若圆上的点到直线的最大距离为，求的值.
D. [选修4—5 ：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知实数满足求的最小值.

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)
如图,已知抛物线的焦点为过的直线与抛物线交于两点,为抛物线的准线与轴的交点.
(1) 若求直线的斜率；
(2) 求的最大值.

第22题图

23.（本小题满分10分）
已知数列满足且
（1） 计算的值，由此猜想数列的通项公式，并给出证明；
（2） 求证：当时，

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数学Ⅰ试题参考答案与评分标准
一、填空题
1． 2． 3． 4． 5． 6． 7．
8． 9． 10． 11． 12． 13． 14．
二、解答题
15．⑴因为，
由正弦定理，得，…………………………………………2分
所以，所以，………………………………4分
因为，所以．…………………………………………………………6分
⑵ 由，得，所以
，……………………………………10分
因为，所以，……………………………………………12分
当，即时，的最大值为． ……………………14分
16．⑴在四边形中，因为，，所以，……………2分
又平面平面，且平面平面，
平面，所以平面，………………………………………4分
又因为平面，所以．………………………………………7分
⑵在三角形中，因为，且为中点，所以，………9分
又因为在四边形中，，，
所以，，所以，所以，…………12分
因为平面，平面，所以平面．…14分
17．⑴作，垂足为，则，，设，
则…………………2分
，化简得，解之得，或（舍）
答：的长度为．………………………………………………………………6分
⑵设，则，
．………………………8分
设，，令，因为，得，当时，，是减函数；当　　　　　　时，，是增函数，
所以，当时，取得最小值，即取得最小值，………12分
因为恒成立，所以，所以，，
因为在上是增函数，所以当时，取得最小值．
答：当为时，取得最小值． ……………………………14分
18．⑴由题意得 ，所以，又，…………………………………2分
消去可得，，解得或（舍去），则，
所以椭圆的方程为．……………………………………………………4分
⑵（ⅰ）设，，则，，
因为三点共线，所以， 所以，，8分
因为在椭圆上，所以，故为定值．10分
（ⅱ）直线的斜率为，直线的斜率为,
则直线的方程为，…………………………………………12分

==，
所以直线过定点． ………………………………………………………16分
19．⑴因为函数，
所以，，…………………………………………2分
又因为，所以函数在点处的切线方程为． …………4分
⑵由⑴，．
因为当时，总有在上是增函数， ………………………………8分
又，所以不等式的解集为，
故函数的单调增区间为．………………………………………………10分
⑶因为存在，使得成立，
而当时，，
所以只要即可．……………………………………………12分
又因为，，的变化情况如下表所示：

减函数
极小值
增函数
所以在上是减函数，在上是增函数，所以当时，的最小值，的最大值为和中的最大值．
因为，
令，因为，
所以在上是增函数．
而，故当时，，即；
当时，，即．………………………………………14分
所以，当时，，即，函数在上是增函数，解得；当时，，即，函数在上是减函数，解得．
综上可知，所求的取值范围为．………………………………16分
20．⑴当时， 且，
所以，……………………………………2分
又当时，且，
，…………………………………………4分
因此，数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，．………………………………………………………5分
⑵因为，所以，所以，
，…………………………………8分
假设存在，，使得能构成等比数列，则，，，
故，化简得，与题中矛盾，
故不存在，使得为等比数列． ……………………………………………10分
⑶因为且，所以
所以
所以，……………………………………………12分
由⑴知，，所以

　，…………………………………13分
，………………………………………………14分
所以，…………………………………16分

徐州市2012—2013学年度高三第一次质量检测
数学Ⅱ试题参考答案与评分标准
21．A．因为为切线，为割线，所以，
又因为，所以．……………………………………………4分
所以，又因为，所以∽，
所以，又因为，所以，
所以．………………………………………………………………………10分
B．设点为圆C：上任意一点，经过矩阵A变换后对应点为，
则，所以…………………………………………2分
因为点在椭圆：上，所以，………………4分
又圆方程为，故，即，又，，所以，．
所以，……………………………………………………………………6分
所以．…………………………………………………………………10分
C．因为圆的参数方程为（为参数，），消去参数得，
，所以圆心，半径为，……3分
因为直线的极坐标方程为，化为普通方程为，………6分
圆心到直线的距离为，……………………8分
又因为圆上的点到直线的最大距离为3，即，所以．…10分
D．由柯西不等式，，……5分
因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为．…………………………………………………10分
22．⑴因为抛物线焦点为，．
当轴时，，，此时，与矛盾，……………2分
所以设直线的方程为，代入，得，
则，， ①所以，所以，②…4分
因为，所以，将①②代入并整理得，，
所以.………………………………………………………………………………6分
⑵因为，所以，当且仅当，即时，取等，所以，所以的最大值为.……………………10分
23．⑴，，，猜想：．……………………………2分
①当时，，结论成立；
②假设当时，结论成立，即，
则当时，，
即当时，结论也成立，由①②得，数列的通项公式为．5分
⑵原不等式等价于．
证明：显然，当时，等号成立；
当时，
，
综上所述，当时，．…………………………………………………10分

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