高中立体几何公式.doc

高中立体几何公式
长方形的周长=（长+宽）×2 正方形的周长=边长×4
长方形的面积=长×宽 正方形的面积=边长×边长
三角形的面积=底×高÷2 平行四边形的面积=底×高
梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2
圆的周长=圆周率×直径= 圆周率×半径×2 圆的面积=圆周率×半径×半径
长方体的表面积= （长×宽+长×高＋宽×高）×2 长方体的体积 =长×宽×高
正方体的表面积=棱长×棱长×6 正方体的体积=棱长×棱长×棱长
圆柱的侧面积=底面圆的周长×高 圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积
圆柱的体积=底面积×高 圆锥的体积=底面积×高÷3
长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高

平面图形 名称 符号 周长C和面积S
正方形 a—边长
C＝4a S＝a2
长方形 a和b－边长
C＝2(a+b) S＝ab
三角形 a,b,c－三边长 、h－a边上的高 、s－周长的一半 、A,B,C－内角
其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2
＝ab/2·sinC
＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2
＝a2sinBsinC/(2sinA)
四边形 d,D－对角线长 α－对角线夹角 S＝dD/2·sinα
平行四边形 a,b－边长 、h－a边的高 、α－两边夹角
S＝ah ＝absinα
菱形 a－边长 、α－夹角 、D－长对角线长 、d－短对角线长
S＝Dd/2 ＝a2sinα
梯形 a和b－上、下底长 、h－高 、m－中位线长
S＝(a+b)h/2 ＝mh
圆 r－半径、d－直径 C＝πd＝2πr
S＝πr2 ＝πd2/4
扇形 r—扇形半径 、a—圆心角度数
C＝2r＋2πr×(a/360)
S＝πr2×(a/360)
弓形 l－弧长 、b－弦长 、h－矢高 、r－半径 、α－圆心角的度数
S＝r2/2·(πα/180-sinα)
＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2
＝παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2
＝r(l-b)/2 + bh/2
≈2bh/3
圆环 R－外圆半径、r－内圆半径 、D－外圆直径 、d－内圆直径
S＝π(R2-r2)
＝π(D2-d2)/4
椭圆 D－长轴 、d－短轴
S＝πDd/4

立方图形 名称 符号 面积S和体积V
正方体 a－边长
S＝6a2
V＝a3
长方体 a－长 、b－宽 、c－高
S＝2(ab+ac+bc)
V＝abc
棱柱 S－底面积 、h－高
V＝Sh

棱锥 S－底面积 、h－高
V＝Sh/3
棱台 S1和S2－上、下底面积 h－高
V＝h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3
拟柱体 S1－上底面积 S2－下底面积 S0－中截面积 h－高
V＝h(S1+S2+4S0)/6
圆柱 r－底半径 、h－高 、C—底面周长 、S底—底面积 、S侧—侧面积 、S表—表面积
C＝2πr
S底＝πr2
S侧＝Ch
S表＝Ch+2S底
V＝S底h ＝πr2h
空心圆柱 R－外圆半径 、r－内圆半径 、h－高
V＝πh(R2-r2)
直圆锥 r－底半径 、h－高
V＝πr2h/3
圆台 r－上底半径 、R－下底半径 、h－高
V＝πh(R2＋Rr＋r2)/3
球 r－半径 、d－直径
V＝4/3πr3＝πd2/6
球缺 h－球缺高 、r－球半径 、a－球缺底半径
V＝πh(3a2+h2)/6
＝πh2(3r-h)/3
a2＝h(2r-h)
球台 r1和r2－球台上、下底半径 、h－高
V＝πh[3(r12＋r22)+h2]/6

圆环体 R－环体半径 、D－环体直径 、r－环体截面半径 、d－环体截面直径
V＝2π2Rr2
＝π2Dd2/4
桶状体 D－桶腹直径 、d－桶底直径 、h－桶高
V＝πh(2D2＋d2)/12
(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)
V＝πh(2D2＋Dd＋3d2/4)/15
(母线是抛物线形)

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。
（1）判定直线在平面内的依据
（2）判定点在平面内的方法

公理2：如果两个平面有一个公共点，那它还有其它公共点，这些公共点的集合是一条直线 。
（1）判定两个平面相交的依据
（2）判定若干个点在两个相交平面的交线上

公理3：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
（1） 确定一个平面的依据
（2）判定若干个点共面的依据

推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面。
（1）判定若干条直线共面的依据
（2）判断若干个平面重合的依据
（3）判断几何图形是平面图形的依据

推论2：经过两条相交直线，有且仅有一个平面。
推论3：经过两条平行线，有且仅有一个平面。

立体几何 直线与平面
空 间 二 直 线 平行直线
公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。

异面直线
空 间 直 线 和 平 面 位 置 关 系
（1）直线在平面内——有无数个公共点
（2）直线和平面相交——有且只有一个公共点
（3）直线和平面平行——没有公共点

立体几何 直线与平面
直线与平面所成的角
（1）平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线与平面所成的角（2）一条直线垂直于平面，定义这直线与平面所成的角是直角
（3）一条直线和平面平行，或在平面内，定义它和平面所成的角是00的角

三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直

三垂线逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直

空间两个平面 两个平面平行 判定
性质
（1）如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行
（2）垂直于同一直线的两个平面平行

（1）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面
（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
（3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面

相交的两平面 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的线，这两个半平面叫二面角的面

二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个面内分另作垂直棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角

平面角是直角的二面角叫做直二面角

两平面垂直 判定
性质
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直
（1）若二平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面
（2）如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内

立体几何 多面体、棱柱、棱锥
多面体
定义 由若干个多边形所围成的几何体叫做多面体。
棱柱 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱。
直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱。
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。
棱锥 正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。
球
到一定点距离等于定长或小于定长的点的集合。
欧拉定理
简单多面体的顶点数V，棱数E及面数F间有关系：V+F-E=2