大学物理第三章-三大守恒定律.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,力的时间和空间积累,微分形式的牛顿第二定律是关于力与加速度的瞬时关系，考虑中间的每个过程。,力,的,累积,效应,对 积累,对 积累,第三章 三大守恒定律,一,理解,动量、冲量概念,掌握动量定理和动量守恒定律。掌握角动量和角动量守恒定律。,二,掌握,功的概念,能计算变力的功,理解保守力作功的特点及势能的概念,会计算万有引力、重力和弹性力的势能,.,三,掌握,动能定理、功能原理和机械能守恒定律,掌握运用守恒定律分析问题的思想和方法,.,四,了解,完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞的特点,.,基本要求,第三章 三大守恒定律,3-1,冲量 质点和质点系的动量定理,1.,冲量 质点的动量定理,牛顿第二定律的微分形式,经历时间从,t,1,-,t,2,，两端积分,左侧积分表示力对时间的累积量，叫做,冲量,。,冲量,动量,动量定理,动量定理,动量定理：,在,一段时间,内，物体在运动过程中所受到的合外力的冲量，等于该物体动量的增量。,动量定理的几点说明：,(1),冲量的方向：,冲量 的方向一般不是某一瞬时力,的方向，而是所有元冲量 的合矢量 的方向,。,(2),在直角坐标系中矢量方程的分量形式,(3),动量定理在打击或碰撞问题中用来求平均力。,打击或碰撞，力 的方向保持不变，相互作用力很大且变化迅速但作用时间很短的力称为,冲力,。,力,F,曲线与,t,轴所包围的面积就是,t,1,到,t,2,这段时间内力,F,的,冲量,的大小。,动量定理,根据,动量定理：,(4),动量定理是牛顿第二定律的积分形式，因此其适用范围是,惯性系,。,根据,改变动量的等效性,定义平均力。,例题,3-1,质量,M,=3t,的重锤，从高度,h,=1.5m,处自由落到受锻压的工件上，工件发生形变。如果作用的时间,(1),=0.1s,，,(2),=0.01s,。试求锤对工件的平均冲力。,h,解：,以重锤为研究对象，分析受力，作受力图：,解法一：,锤对工件的冲力变化很大，采用平均冲力计算，其反作用力用平均支持力代替。,在竖直方向利用动量定理，取竖直向上为正。,动量定理,末状态动量为,0,初状态动量为,得到,解得,代入,M,、,h,、,的值，求得：,(1),h,(2),动量定理,解法二：,考虑从锤自由下落到静止的整个过程，动量变化为零。,重力作用时间为,支持力的作用时间为,根据动量定理，整个过程合外力的冲量为零，即,得到解法一相同的结果,h,动量定理,例题,3-2,一绳跨过一定滑轮，两端分别拴有质量为,m,及的,M,物体,A,和,B,，,M,大于,m,。,B,静止在地面上，当,A,自由下落距离,h,后，绳子才被拉紧。求绳子刚被拉紧时两物体的速度，以及能上升的最大高度。,M,m,B,A,h,解：,以物体,A,和,B,为系统作为研究对象，采用隔离法分析受力，作出绳拉紧时的受力图：,A,B,绳子刚好拉紧前的瞬间，物体,A,的速度为：,取竖直向上为正方向。,动量定理,绳子拉紧后，经过短暂时间的作用，两物体速率相等，对两个物体分别应用动量定理，得到：,忽略重力,，考虑到绳不可伸长，有：,解得：,M,m,B,A,h,A,B,动量定理,当物体,B,上升速度为零时，达到最大高度,M,m,B,A,h,A,B,定义：,n,个质点的组成,系统（物体系，质点系）,内力：,系统内质点间的相,互作用力。,外力：,系统外其他物体对,系统内质点的作用力。,2.,质点系的动量定理,质点系,由两个质点组成的简单系统,相加,动量定理,推广到,N,个质点的更一般情况,下一页,上一页,质点系,：为系统内所有质点所受外力的矢量和。,：为系统内所有质点动量的矢量和。,两边积分,系统所受的合外力的冲量等于系统总动量的增量。,下一页,上一页,两边积分,各质点所受外力的冲量的矢量和。,：为质点系动量的增量，为各质点动量,：为合外力的冲量，,增量的矢量和。,微分形式,积分形式,1.,动量守恒定律,=,常矢量,如果系统所受的外力之和为零（即 ），则系统的总动量保持不变。这个结论叫做动量守恒定律。,条件,定律,3-2,动量守恒定律,直角坐标系下的分量形式,=,常量,=,常量,=,常量,1,）,系统的,动量守恒,是指系统的,总动量不变，系统内任一物体的动量是可变的,各物体的动量必,相 对于,同一惯性参考系。,2,）守恒条件,合外力为零,当,时，可 略去外力的作用,近似地认为系统动量守恒,.,例如在碰撞,打击,爆炸等问题中,.,3,）,动量守恒定律只在,惯性参考系,中成立,是自然界最普遍，最基本的定律之一。,说明：,例题,3-3,如图所示,设炮车以仰角,发射一炮弹，炮车和炮弹的质量分别为,M,和,m,，炮弹的出口速度为,v,，求炮车的反冲速度,V,。炮车与地面间的摩擦力不计。,解：把炮车和炮弹看成一个系统。发炮前系统在竖直方向上的外力有重力 和地面支持力 ，而且 ，在发射过程中 并不成立（想一想为什么？），,v,m,M,动量守恒定律,系统所受的外力矢量和不为零，所以这,一系统的总动量不守恒。,它的水平分量为,根据动量守恒定理有,对地面参考系，炮弹相对地面的速度,由此得炮车的反冲速度为,动量守恒定律,v,m,M,解：物体的动量原等于零，炸裂时爆炸力是物体内力，它远大于重力，故在爆炸中，可认为,动量守恒,。由此可知，物体分裂成三块后，这三块碎片的动量之和仍等于零，即,例题,3-4,一个静止物体炸成三块，其中两块质量相等，且以相同速度,30m/s,沿相互垂直的方向飞开，第三块的质量恰好等于这两块质量的总和。试求第三块的速度（大小和方向）。,所以，,这三个动量必处于同一平面内,，且第三块的动量必和第一、第二块的合动量大小相等方向相反，如图所示。因为,v,1,和,v,2,相互垂直所以,m,3,v,3,m,2,v,2,m,1,v,1,动量守恒定律,由于 和 所成角,由下式决定：,因,所以,即 和 及 都成 且三者都在同一平面内,由于,所以 的大小为,动量守恒定律,m,3,v,3,m,2,v,2,m,1,v,1,3-4,功 动能和动能定理,1.,功,功是表示力对空间累积效应的物理量。,(1),恒定外力对直线运动物体作功,为力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积,.,（,功是标量，过程量）,(2),变力的功,b,a,物体在变力的作用下从,a,运动到,b,。,怎样计算这个力的功呢？,采用微元分割法,第,i,段近似功：,总功近似：,第,2,段近似功：,第,1,段近似功：,b,a,动能定理,当 时,可用 表示,称为元位移,;,用 表示,称为元功。,3-4,功 动能和动能定理,元功的定义：,物体在力 的作用下发生一无限小的位移,(,元位移,),时,此力对它做的功定义为,:,力在力的位移上的投影和此元位移大小的乘积。,其中,为力与位移的夹角。,当,0,0,，力对物体做正功,。,当,=/2,时，,d,A,=0,，力对物体不做功,。,当,/2,时，,d,A,L,，试计算物体的初速度,v,0,。,由于物体是匀质的，在物体完全滑上台面之前，它对台面的正压力与滑上台面的质量成正比，所以，它所受台面的摩擦力,f,r,是变化的。,动能定理,L,v,0,O,x,L,s,解：,我们把变化的摩擦力表示为,当物体前端在,s,处停止时，摩擦力做的功为,动能定理,L,v,0,O,x,L,s,再由动能定理得,即得,4.,两体碰撞,碰撞,两物体互相接触时间极短而互作用力较大,的相互作用,.,完全弹性碰撞,两物体碰撞之后，它们的动能之,和不变,.,即,非对心碰撞,对心碰撞,如果两球在碰撞前的速度在两球的中心连线上，那么，碰撞后的速度也都在这一连线上，这种碰撞称为,对心碰撞（,或称,正碰撞）。,设 和 分别表示两球在碰撞前的速度，和 分别表示两球在碰撞后的速度，和 分别为两球的质量。应用动量守恒定律得,碰撞后,碰撞前,碰撞时,（,1,）,.,完全弹性碰撞,（,1,）,.,完全弹性碰撞,完全弹性碰撞,（,1,）设 得 ，两球经过碰撞将交换彼此的速度。,讨论：,同样大小的球相碰,（,2,）设 ，质量为 的物体在碰撞前静此不动，即,如果,如果,质量极大并且静止的物体，经碰撞后，几乎仍静止不动，而质量极小的物体在碰撞前后的速度方向相反，大小几乎不变。,完全弹性碰撞,大球碰撞小球,小球碰撞大球,（,2,）完全非弹性碰撞,:,两物体碰撞后,以同一速度运动,.,牛顿的,碰撞定律,：碰撞后两球的分离速度 ，与碰撞前两球的接近速度 成正比，比值由两球的材料性质决定。,恢复系数,-,完全非弹性碰撞,。,-,非弹性碰撞,。,-,完全弹性碰撞,。,3-5,势能 功能原理 机械能守恒定律,1.,作用力与反作用力的功,设有两个质点,1,和,2,，质量分别为 和 ，为质点,1,受到质点,2,的作用力，为质点,2,受到质点,1,的作用力，它们是一对作用力和反作用力。,计算两个粒子发生微小位移 和,的元过程中，作用力和反作用力所做的功。,成对力的功,由此可见，成对作用力与反作用力所作的总功只与作用力 及相对位移 有关，而与每个质点各自的运动无关。,第,2,个粒子,相对于,第,1,个粒子的位置由,a,点变到,b,点。,表明,：任何一对作用力和反作用力所作的总功具有与参考系选择无关的性质。,3-5,势能 功能原理 机械能守恒定律,2.,保守力和非保守力,设质量为,m,的物体在重力的作用下从,a,点任一曲线,ac,b,运动到,b,点。,（,1,）重力作功,在元位移 中，重力 所做的元功是,由此可见，重力作功仅仅与物体的始末位置有关，而与运动物体所经历的路径无关。,重力作功,设物体沿任一闭合路径 运动一周，重力所作的功为：,表明：在重力场中物体沿任一闭合路径运动一周时重力所作的功为零。,（,2,）万有引力的功,两个物体的质量分别为,M,和,m,，它们之间有万有引力作用。,以,M,为原点,O,建立坐标系，研究,m,相对,M,的运动。,万有引力的功,由此可见，万有引力作功也仅仅与质点的始末位置有关，与具体路径无关。,（,3,）弹性力的功,弹簧劲度系数为,k,，一端固定于墙壁，另一端系一质量为,m,的物体，置于光滑水平地面。以弹簧无变形时小球所在位置为坐标原点，建立,X,轴。,X,O,X,O,x,x,b,x,a,由此可见，弹性力作功也仅仅与质点的始末位置有关，与具体路径无关。,（,4,）摩擦力做功,摩擦力做的元功,沿着路径 运动，摩擦力所做的总功为,沿着路径 运动，摩擦力所做的总功为,摩擦力做功和具体路径无关。,功的大小只与物体的始末位置有关，而与所经历的路径无关，这类力叫做,保守力。,不具备这种性质的力叫做,非保守力。,保守力的功,（,4,）保守力和非保守力,或,3.,势能,定义 为,势能：,质点在保守力场中与位置相关的能量。它是一种潜在的能量，不同于动能。,保守力做功等于势能增量的负值。,3.,势能,保守力做功等于势能增量的负值。,a,点的势能,规定,b,点的势能为,0,物体在空间中任意,a,点的,势能,等于物体由,a,点沿任意路径移到势能零点的过程中保守力所做的功。,几种常见的势能：,重力作功,重力势能,h,=0,处为势能零点,万有引力的功,弹性力的功,几种常见的势能：,万有引力势能,处为势能零点,弹性势能,弹簧自由伸长状态为坐标原点和势能零点,势能具有,相对,性，势能,大小,与势能,零点,的选取,有关。,势能是,状态,函数,讨论,势能计算,势能是属于,系统,的。属于保守内力相互作用的系统，势能是一种相互作用能。,势能差有绝对意义，而势能只有相对意义。势能零点可根据问题的需要来选择。,弹性,势能曲线,重力,势能曲线,引力,势能曲线,势能曲线,表明：保守力沿某方向的分量等于势能对此方向的导数的负值。也就是高等数学中的,梯度,。,3.,由势能函数求保守力,质点在保守力 的作用下移动了无限小的位移 ，所做的元功为,势能曲线,表明：保守力沿某方向的分量等于势能对此方向的导数的负值。,在直角坐标系中,例题,3-7,一质量为,m,=1,kg,的物体，在保守力,F,（,x,）的作用下，沿,x,轴正向运动（,x,0,）。与该保守力相应的势能是,式中,x,以,m,为单位，势能以,J,为单位，,a,=1,Jm,2,b,=2,J m,。,（,a,）,画出物体的势能曲线；,（,b,）,设物体的总能量,E,=-0.50,J,保持不变，这表明物体的运动被引力束缚在一定范围之内。试分别用作图和计算的方法求物体的运动范围。,解 （,a,）根据,取下列数据来 画出势能曲线,保守力 势能,x/m,E,p,(x)/J,0.2,0.5,1.5,0,1,-1.0,-0.75,-0.55,-0.44,2,3,4,求物体的平衡位置,令,F,=0,解得,x,=1m,，这就是物体的平衡位置，在该点，势能有极小值，如图所示。,-,1,0,1,2,1,2,3,4,x,/m,E,P,/J,保守力 势能,（,b,）当物体的总能量,E,=-0.50,J,保持不变时，令,E,p,(x)=,E,就可求得物体的,E,k,=,E,-,E,p,为,0,的位置，因此，令,由此解得,保守力 势能,-,1,0,1,2,1,2,3,4,x,/m,E,P,/J,设系统由两个质点,1,和,2,组成，它们的质量分别为,m,1,和,m,2,。,5.,功能原理,m,1,m,2,质点系动能定理：,所有,外力,与所有,内力,对质点系做功之和等于质点系总动能的增量。,外力和系统非保守内力做功的总和等于质点系的机械能的增量。,机械能,功能原理,例题,3-8,一汽车的速度,v,0,=36km/h,驶至一斜率为,0.010,的斜坡时，关闭油门。设车与路面间的摩擦阻力为车重,G,的,0.05,倍，问汽车能冲上斜坡多远？,解 解法一：取汽车为研究对象。,N,s,系统的功能原理,受力分析,:,重力,方向竖直向下；斜坡对物体的,支持力,；沿斜坡方向向下的,摩擦力,。,设汽车能冲上斜坡的距离为,s,，此时汽车的末速度为,0,。根据,动能定理,（,1,）,f,r,G,按题意，,tg=0.010,，表示斜坡与水平面的夹角很小，所以,sintg,，,cos,1,并因,G=mg,上式可化成,（,2,）,系统的功能原理,s,G,N,f,r,解法二：,取汽车和地球这一系统为研究对象,，则系统内只有汽车受到 和 两个非保守外力的作用，运用系统的,功能原理,，以水平面为势能零点有,系统的功能原理,s,G,N,f,r,化简后得相同结果。,解 在物体从,A,到,B,的下滑过程中，受到的力：重力,G,，摩擦力,F,（变力），,正压力,N,（变力）。,它们的差值就是摩擦力所作的功，,例题,3-9,在图中，一个质量,m=2kg,的物体从静止开始，沿四分之一的圆周从,A,滑到,B,，已知圆的半径,R=4m,，设物体在,B,处的速度,v=6m/s,，求在下滑过程中，摩擦力所作的功。,O,R,A,B,N,G,f,r,v,系统的功能原理,采用,功能原理,进行计算，把物体和地球作为系统，,物体在,A,点时系统的能量,E,A,是,系统的势能,mgR,，,在,B,点时系统的能量,E,B,则是动能,mv,2,/2,，,负号表示摩擦力对物体作负功，即物体反抗摩擦力作功,42.4J,系统的功能原理,例题,3-9,在图中，一个质量,m=2kg,的物体从静止开始，沿四分之一的圆周从,A,滑到,B,，已知圆的半径,R=4m,，设物体在,B,处的速度,v=6m/s,，求在下滑过程中，摩擦力所作的功。,O,R,A,B,N,G,f,r,v,机械能守恒定律：,如果一个系统非保守内力与外力的总功为零，则系统机械能的总值保持不变。,6.,机械能守恒定律,条件,定律,功能原理,7.,能量转化与守恒定律,一个孤立系统经历任何变化时，该系统的所有能量的总和是不变的，能量只能从一种形式转化为另外一种形式，或从系统内一个物体传递给另一个物体。这就是普遍的能量转化与守恒定律,。,能量守恒定律,到十九世纪，能量概念才逐步由力的概念中分离出来。实际上，只有在能量的转换和守恒定律发现以后，人们才认识功、动能和势能的真实含义。二十世纪初，爱因斯坦建立了狭义相对论，得到了,“,质能关系,”,，进一步揭示能量和质量的相当性，对于能量的认识才更深入了一步。,与机械运动直接相关的能量是机械能。,例题,3-10,起重机用钢丝绳吊运一质量为,m,的物体，以速度,v,0,作匀速下降。当起重机突然刹车时，物体因惯性进行下降，问使钢丝绳再有多少微小的伸长？,(,设钢丝绳的劲度系数为,k,，钢丝绳的重力忽略不计,),。这样突然刹车后，钢丝绳所受的最大拉力将有多大？,G,T,v,0,守恒定律,解：,由物体、地球和钢丝绳组成的系统。,重力和钢丝绳中的弹性力是保守力，系统的机械能守恒。,守恒定律,解：,x,0,h,v,0,起重机突然停止的那个瞬时位置,，物体的动能为,这时钢丝绳的伸长量为,x,0,，系统的弹性势能为,如果物体因惯性继续下降的微小距离为,h,，以这最低位置作为重力势能的零位置，那么系统这时的重力势能为,系统在这位置的总机械能为,守恒定律,x,0,h,v,0,系统的弹性势能应为,物体下降到最低位置时,物体的动能,E,k2,=0,，,重力势能,系统最低位置的总机械能为,系统在初位置的总机械能为,按机械能守恒定律，应有,E,1,E,2,，,按机械能守恒定律，应有,E,1,E,2,，于是,由于物体作匀速运动时，钢丝绳的伸长,x,0,量满足,x,0,=,G/k,=,mg,/,k,，代入上式后得,守恒定律,x,0,h,v,0,钢丝绳所受的最大拉力,由此式可见，如果,v,0,较大，,T,m,也较大。所以对于一定的钢丝绳来说，应规定吊运速度,v,0,不得超过某一限值。,守恒定律,x,0,h,v,0,0,v,k,m,h,=,例题,3-11,用一弹簧将质量分别为,m,1,和,m,2,的上下两水平木板连接如图所示，下板放在地面上。（,1,）如以上板在弹簧上的平衡静止位置为重力势能和弹性势能的零点，试写出上板、弹簧以及地球这个系统的总势能。（,2,）对上板加多大的向下压力,F,，才能因突然撤去它，使上板向上跳而把下板拉起来？,x,0,x,O,x,F,x,1,x,2,守恒定律,解,（,1,）取上板的平衡位置为,x,轴的原点，并设弹簧为原长时上板处在,x,0,位置。系统的弹性势能,x,0,x,O,x,系统的重力势能,守恒定律,所以总势能为,上板在弹簧上的平衡条件得,kx,0,=,m,1,g,，代入上式得,总势能为,可见，如选上板在弹簧上静止的平衡位置为原点和势能零点，则系统的总势能将以弹性势能的单一形式出现。,末态,初态,（,2,）以加力,F,时为初态，撤去力,F,而弹簧伸长最大时为末态，则,守恒定律,根据能量守恒定律,而,kx,0,=,m,1,g,x,0,O,x,F,x,1,x,2,m,2,m,1,因恰好提起,m,2,时，,k,(,x,2,-,x,0,)=,m,2,g,另,kx,1,=,F,代入解得,这就是说,F,（,m,1,+,m,2,),g,时，下板就能被拉起。,定义,：,质点对点的角动量为,角动量大小 （面积）,角动量方向,3-6,角动量定理 角动量守恒定律,1.,质点的角动量,单位：,质点做圆周运动对圆心的角动量,角 动 量,角 动 量,行星在公转轨道上的角动量,（,1,）质点对点的角动量，不但与质点运动有关，且与参考点位置有关。,讨 论,（,2,）方向的确定,角 动 量,2.,质点的角动量定理,对,t,求导,定义：,作用于质点的合外力相对于 点力矩为,质点所受到合力的力矩决定它的角动量的时间变化率。,质点的角动量定理：,力矩：,大小,合力矩等于各力的力矩的矢量和,质点所受到合力的力矩决定它的角动量的时间变化率。,质点的角动量定理：,3.,角动量守恒定律,若 ，,则,即,相对于,某一选定的固定参考点,，如果作用于质点的合外力矩为零，则质点对该点的角动量保持不变。,表明小球对圆心的角动量保持不变,实验中发现,角动量守恒定律,行星绕太阳的运动,表明行星在运动过程中，对太阳的角动量保持不变。,角动量守恒定律,4.,质点系的角动量定理,m,1,m,2,o,对,m,1,运用质点角动量定理：,对,m,2,运用质点角动量定理：,作为系统考虑时，得到：,m,1,m,2,o,即,若 ，,则,即,如果作用于质点系的合外力矩为零，则总角动量保持不变。,