高考数学试题分类汇编——函数.doc

（2010湖南文数）21.（本小题满分13分）已知函数, 其中且
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）设函数 （e是自然对数的底数），是否存在a，使g(x)在[a,-a]上是减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由.
21. （Ⅰ）的定义域为，
（1）若-1<a<0,则当0<x<-a时，；当-a <x<1时，；当x>1时，.故分别在上单调递增，在上单调递减.
（2）若a<-1,仿（1）可得分别在上单调递增，在上单调递减.
（Ⅱ）存在a，使g(x)在[a,-a]上是减函数.
事实上，设，则
，再设，则当g(x)在[a,-a]上单调递减时，h(x)必在[a,0]上单调递,所以，由于，因此，而，所以，此时，显然有g(x)在[a,-a]上为减函数，当且仅当在[1,-a]上为减函数，h(x)在[a,1上为减函数,且，由（Ⅰ）知，当a<-2时，在上为减函数 ①
又 ②
不难知道，
因，令，则x=a或x=-2,而
于是 （1）当a<-2时，若a <x<-2,则，若-2 <x<1,则,因而分别在上单调递增，在上单调递减；
（2）当a＝-2时， ,在上单调递减.
综合（1）（2）知，当时，在上的最大值为，所以， ③
又对，只有当a=-2时在x=-2取得，亦即只有当a=-2时在x=-2取得.
因此，当时，h(x)在[a,1上为减函数，从而由①，②，③知
综上所述，存在a，使g(x)在[a,-a]上是减函数，且a的取值范围为.
（2010辽宁理数）（21）（本小题满分12分）
已知函数
（I）讨论函数的单调性；
（II）设.如果对任意，，求的取值范围。

（2010全国卷2文数）（21）（本小题满分12分）
已知函数f（x）=x-3ax+3x+1。
（Ⅰ）设a=2，求f（x）的单调期间；
（Ⅱ）设f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的取值范围。

（2010浙江文数）（21）（本题满分15分）已知函数（a-b）<b)。
（I）当a=1，b=2时，求曲线在点（2，）处的切线方程。
（II）设是的两个极值点，是的一个零点，且，
证明：存在实数，使得 按某种顺序排列后的等差数列，并求
(21)本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、切线方程、导线应用、等差数列等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力和创新意识。满分15分。
(Ⅰ)解：当a=1,b=2时，
因为f′(x)=(x-1)(3x-5).
故f′(2)=1.
又f（2）＝0，
所以f（x）在点（2，0）处的切线方程为y＝x－2.
（Ⅱ）证明：因为f′（x）＝3（x－a）（x－），
由于a<b.
故a<.
所以f（x）的两个极值点为x＝a，x＝.
不妨设x1＝a，x2＝，
因为x3≠x1，x3≠x2，且x3是f（x）的零点，
故x3＝b.
又因为－a＝2（b－），
x4＝（a＋）＝，
所以a，，，b依次成等差数列，
所以存在实数x4满足题意，且x4＝.
（2010重庆数理）（18）（本小题满分13分，（I）小问5分，（II）小问8分）
已知函数其中实数。
（I） 若a=-2，求曲线在点处的切线方程；
（II） 若在x=1处取得极值，试讨论的单调性。
（18）（本题13分）
解：（Ⅰ）.
当时，，而，因此曲线在点处的切线方程为即.
（Ⅱ），由（Ⅰ）知，
即，解得.
此时，其定义域为，且
，由得.当
或时，；当且时，.
由以上讨论知，在区间上是增函数，在区间上是减函数.
（2010湖北文数）21.（本小题满分14分）
设函数，其中a＞0，曲线在点P（0，）处的切线方程为y=1
（Ⅰ）确定b、c的值
（Ⅱ）设曲线在点（）及（）处的切线都过点（0,2）证明：当时，
（Ⅲ）若过点（0,2）可作曲线的三条不同切线，求a的取值范围。
解：（Ⅰ）由f（x）=得：f（0）=c，f’（x）=，f’（0）=b。
又由曲线y=f（x）在点p（0，f（0））处的切线方程为y=1，得到f（0）=1，f’（0）=0。
故b=0，c=1。
（Ⅱ）f（x）=，f’（x）=。由于点（t，f（t））处的切线方程为
y-f（t）=f’（t）（x-t），而点（0,2）在切线上，所以2-f（t）= f’（t）（-t），化简得
，即t满足的方程为。
下面用反证法证明。
假设f’（）=，由于曲线y=f（x）在点及处的切线都过点（0,2），则下列等式成立。