数学高考复习棱锥棱柱外接球内接球问题.doc

数学
一.关于求外接球内接球问题：
1.下列各正立体的边长均为a 高均为h,内切球半径均为r,外接球半径均为R
正方体 r=a/2 R=(a根3)/2
正四面体 r=(a根6)/12 R=(a根6)/4 h=(a根6)/3
正八面体 r=(a根6)/6 R=(a根2)/2
2.求边长为L，高为H的棱柱的外接球体积
①.求棱柱顶面(或底面)形心到任一角的距离d
三棱柱：d3=L/2/sin(360/3/2)=L/根号3
四棱柱：d4=L/2/sin(360/4/2)=L/根号2
n棱柱：dn=L/2/sin(360/n/2)=L/[2sin(180/n)]
②. 求球半径R，得球体积V
由于球心与棱柱心重合，所以有R^2=d^2+(H/2)^2 即R=√[d^2+(H/2)^2]
由 V=4/3*π*R^3 得：
三棱柱外接球体积：V3=4/3*π*[√(L^2/3+(H/2)^2)]^3
四棱柱外接球体积：V4=4/3*π*[√(L^2/2+(H/2)^2)]^3
n棱柱外接球体积：Vn=4/3*π*[√(L^2/(2sin(180/n))^2+(H/2)^2)]^3
③. 求边长为L，高为H的棱锥的外接球体积
求球心位置：
棱锥底面形心到任一角的距离为d，求法同棱柱
球心一定在棱锥高上，且球心到锥体顶点的距离和球心到底面任意一角的距离相等
R^2=d^2+(H-R)^2 整理得：R=(d^2+H^2)/(2H)
由 V=4/3*π*R^3 得：
三棱锥外接球体积：V3=4/3*π*[(L^2/3+H^2)/(2H)]^3
四棱锥外接球体积：V4=4/3*π*[(L^2/2+H^2)/(2H)]^3
n棱锥外接球体积：Vn=4/3*π*[(L^2/(2sin(180/n))^2+H^2)/(2H)]^3

练习：
(1).若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是多少？
(2). 在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60 E为AB的在中点，将三角形ABC和三角形BEC分别沿ED，EC向上折起，使A，B点重合于点P，则三棱锥P-DCE的外接球的体积为?
(3). 已知球的内接三棱锥S-ABC的底面是以AB为为斜边的等腰直角三角形，且SB=SC=SA=2,则球的表面积为?
(4). 在正三棱锥S-ABC中，侧棱SC垂直于侧面SAB，底面边长AC等于二倍的根号下六，则此三棱锥的外接球的表面积为?
(5). 已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面为?( 4π)

(6).正四棱锥P-ABCD的底面边长为2,侧棱长为√6且它的五个顶点都在同一球面上,则此球的体积为?
(7). 正四棱锥中,底面边长为根号6,侧棱长为2倍根号3,求外接球&内接球的表面积?
(8). 正三棱锥p-abc的三条侧棱两两垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比是多少？