类型形如的积分其中Rcosxsinx为cosx与sinx的有理函数市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,类型1.,形如 积分,其中,R,(cosx,sinx)为cosx与sinx,有理函数,.令,z,=e,ix,则d,z,=,i,e,ix,dx=izdx,4.2 留数在定积分计算上应用,第1页,第2页,第3页,类型四实轴上有,单极点,函数定积分：,第4页,第五章 傅里叶(Fourier)变换,掌握,Fourier级数展开方法,掌握,Fourier积分与Fourier变换方法,了解函数基本性质,第5页,第五章 傅里叶(Fourier)变换,5.1傅里叶级数,一.周期函数傅里叶展开,第6页,傅立叶,傅立叶(公元1768年1830年),法国数学家、,物理学家。1768年3月21日生于欧塞尔，1830年5月16日卒于巴黎。9岁父母双亡，被当地教堂收养。12岁由一主教送入地方军事学校读书。17岁回乡教数学，1794到巴黎，成为高等师范学校首批学员，第二年到巴黎综合工科学校执教。1798年随拿破仑远征埃及时任军汉字书和埃及研究院秘书，18回国后任伊泽尔省地方长官。18当选为科学院院士，1822年任该院终生秘书，后又任法兰西学院终生秘书和理工科大学校务委员会主席。,第7页,在1759年拉格朗日(J.L.Lagrange)表示不可能用三角级数来表示一个含有间断点函数,所以三角级数应用非常有限。正是在这种多少有些敌对和怀疑处境下,傅里叶约于半个世纪后提出了他自己想法。傅里叶很早就开始并一生坚持不渝地从事热学研究，18他在向法国科学院呈交一篇关于热传导问题论文中宣告了任一函数都能够展成三角函数无穷级数。这篇论文经 J.-L.拉格朗日,P.-S.拉普拉斯,A.-M.勒让德等著名数学家审查，因为文中初始温度展开为三角级数提法与拉格朗日关于三角级数观点相矛盾，而遭拒绝。因为拉格朗日强烈反对,傅里叶论文从未公开露面过。为了使他研究结果能让法兰西研究院接收并发表,在经过了几次其它尝试以后,傅里叶才把他结果以另一个方式出现在热分析理论这本书中。这本书出版于1822年,也即比他首次在法兰西研究院宣读他研究结果时晚十五年。这本书已成为数学史上一部经典性文件，其中基本上包含了他数学思想和数学成 就。,第8页,书中处理了各种边界条件下热传导问题，以系统地利用三角级数和三角积分而著称，他学生以后把它们称为傅里叶级数和傅里叶积分，这个名称一直沿用至今。傅里叶在书中止言：“任意”函数（实际上要满足 一定条件,比如分段单调）都能够展开成三角级数,他列举大量函数并利用图形来说明函数这种级数表示普遍性，不过没有给出明确条件和完整证实。,傅里叶创造性工作为偏微分方程边值问题提供了基本求解方法-傅里叶级数法,从而极大地推进了微分方程理论发展，尤其是数学物理等应用数学发展；其次，傅里叶级数拓广了函数概念，从而极大地推进了函数论研究，其影响还扩及纯粹数学其它领域。,傅里叶深信数学是处理实际问题最卓越工具，而且认为“对自然界深刻研究是数学最丰饶源泉。”这一看法已成为数学史上强调经过实际应用发展数学一个代表性观点。,第9页,傅立叶两个最主要贡献,“,周期信号,都可表示为谐波关系正弦信号加权和”傅里叶第一个主要论点,“,非周期信号,都可用正弦信号加权积分表示”傅里叶第二个主要论点,第10页,在工程计算中,不论是电学还是力学,经常要和随时间而变周期函数,f,T,(,t,)打交道.比如:,含有性质,f,T,(,t,+,T,)=,f,T,(,t,),其中,T,称作周期,而1/,T,代表单位时间振动次数,单位时间通常取秒,即每秒重复多少次,单位是赫兹(Herz,或Hz).,t,第11页,最惯用一个周期函数是三角函数,f,T,(,t,)=,A,sin(,w,t,+,j,)其中,w,=2,p,/,T,而,A,sin(,w,t,+,j,)又能够看作是两个周期函数,sin,w,t,和cos,w,t,线性组合,A,sin(,w,t,+,j,)=,a,sin,w,t,+,b,cos,w,t,t,第12页,人们发觉,全部工程中使用周期函数都能够用一系列三角函数线性组合来迫近.,方波,4个正弦波迫近,100个正弦波迫近,第13页,若函数f(x)以2l为周期，即 f(x+2l)=f(x),则可取三角函数族,作为基本函数族，将f(x)展为傅里叶级数,1 傅里叶级数,第14页,三角函数族是两两正交,第15页,利用上述正交性，能够求得级数展开各系数：,称为傅里叶系数,第16页,.并非理论上全部周期函数都能够用傅里叶级数迫近,而是要满足狄里希利(Dirichlet)条件,即在区间-,l,l,上,(1),连续或只有有限个第一类间断点,(2),只有有限个极值点,则级数是收敛，且,级数和=,2 傅里叶级数收敛性,第17页,第一类间断点和第二类间断点区分:,第二类间断点,第一类间断点,左极限及右极限都存在,第18页,不满足狄氏条件例:,而在工程上所应用函数,尤其是物理量改变函数,全部满足狄氏条件.实际上不连续函数都是严格上讲不存在,但经惯用不连续函数来近似一些函数,使得思维简单一些.,第19页,二 奇函数和偶函数傅里叶展开,若f(x)是奇函数，则a,k,为0,叫做傅里叶,正弦,级数,，f(0)=f(,l,)=0,第20页,若f(x)是偶函数，则b,k,为0，展开式为,叫做,傅里叶余弦级数,f,(0)=f,(,l,)=0,第21页,三 定义在有限区间上函数傅里叶展开,f(x)定义在（,0,l,),能够采取延拓方法，使其成为某种周期函数g(x),而在(,0,l,)上，g(x),f(x).然后对g(x)作傅立叶级数展开，该级数和在（,0,l,)上代表f(x).,延拓方式有没有数种，因而展开式也有没有数种，但他们在(,0,l),上均代表f(x)。,有时，对函数f(x)边界限制就决定了延拓方式。如要求,f(0)=f(,l,)=0,，则应延拓成,奇,周期函数，,如要求,f,(0)=f,(,l,)=0,，则应延拓成,偶,周期函数。,第22页,利用三角函数指数形式,四 复数形式傅立叶级数,可将级数表示为:,第23页,第24页,实数形式,复数形式,第25页,例 定义方波函数为,如图所表示:,1,-,1,o,t,f,(,t,),1,第26页,现以,f,(,t,)为基础结构一周期为,T,周期函数,f,T,(,t,),令,T,=4,则,1,-,1,3,T,=4,f,4,(,t,),t,求傅立叶级数展开,第27页,则由,得,1,-,1,3,T,=4,f,4,(,t,),t,第28页,sinc函数介绍,第29页,sinc函数图形:,sinc(,x,),x,2,第30页,前面计算出,w,第31页,现在将周期扩大一倍,令,T,=8,以,f,(,t,)为基础结构一周期为,8,周期函数,f,8,(,t,),1,-,1,7,T,=8,f,8,(,t,),t,第32页,则,第33页,则在,T,=8时,w,第34页,假如再将周期增加一倍,令,T,=16,可计算出,w,第35页,普通地,对于周期,T,第36页,当周期,T,越来越大时,各个频率正弦波频率间隔越来越小,而它们强度在各个频率轮廓则总是sinc函数形状,所以,假如将方波函数,f,(,t,)看作是周期无穷大周期函数,则它也能够看作是由无穷多个无穷小正弦波组成,将那个频率上轮廓即sinc函数形状看作是,f,(,t,)各个频率成份上分布,称作,f,(,t,)傅里叶变换.,第37页,5.2 傅立叶积分与傅立叶变换,（一）实数形式傅立叶积分,对任何一个,非周期函数,f,(x),都能够看成是由某个,周期函数,g,(,x,)当T=,2l,时转化而来.作周期为,T,函数,g,(,x,),使其在-,l,l,之内等于,f,(,x,),在-,l,l,之外按周期,2l,延拓到整个数轴上,则,l,越大,g,(,x,),与,f,(,x,),相等范围也越大,这就说明当,T=,2l,时,周期函数,g,(,x,),便可转化为,f,(,x,),即有,第38页,g(x)傅立叶展开式在,T,时极限形式就是所要寻找非周期函数f(x)傅立叶展开。,第39页,引入变量,则,第40页,对g(x)展开式三部分分别讨论：,有限,第41页,第42页,于是：,第43页,周期函数傅里叶级数展开,k,=k,=,k,/,l,(k=0,1,2,)是分离值,第44页,若,f,(x)在(,-,+)上满足条件:1,f,(,x,),在任一有限区间上满足狄氏条件;2,f,(,x,),在无限区间,(,-,+)上绝对可积,则f(x)可表成傅立叶积分，且积分值=f(x+0)+f(x-0)/2。,傅氏积分定理,第45页,讨论：,第46页,第47页,例 矩形函数为,-1,t,f,(,t,),1,o,h,第48页,1/2,o,h,第49页,例 矩形函数为,-,T,t,f,(,t,),T,o,h,第50页,o,A(,),2hT/,/T,2,/T,3,/T,4,/T,频谱图是连续谱，含有一切频率。,T,o,h,第51页,（二）复数形式傅立叶积分,实数形式傅立叶积分能够过渡到复数形式傅立叶积分,第52页,得：,-,傅里叶积分式,第53页,傅里叶变换式,第54页,能够记为,F,(,w,)=,F,f,(x),和,f,(,x,)=,F,-1,F,(,w,),F,(,w,)称作,f,(,t,),象函数,f,(,x,)称作,F,(,w,),原函数,.能够说象函数,F,(,w,)和原函数,f,(,x,)组成了一个傅氏变换对.,傅立叶变换,傅立叶逆变换,(傅里叶积分式),第55页,傅立叶变换在光学中应用,第56页,图像信息能够用其透过率函数表示：t=t（x），能够展成傅立叶积分形式,这么把衍射屏空间频率,信息以透过率函数形式加到了入射光,U,1,上，变为出射光,U,2,，分析,U,2,傅立叶变换函数,u,2,（,），就能得到衍射屏空间频率信息，即光学图像样貌。,数学上能够将一个复杂,非周期函数,做,傅里叶积分变换,，对应在物理上，一个复杂,结构光学图像,能够被分解成,一系列连续单频信息积分,-傅立叶光学,若用一束复振幅为U,1,平行光照射这个光学图像（衍射屏）,第57页,t,f,(,t,),第58页,解：,这就是指数衰减函数傅氏变换.,第59页,O,t,f,(,t,),第60页,所以有,假如令,b,=1/2,就有,可见钟形函数傅氏变换也是钟形函数,第61页,周期函数傅里叶级数展开,k,=k,=,k,/,l,(k=0,1,2,)是分离值,review,第62页,review,第63页,review,第64页,能够记为,F,(,w,)=,F,f,(x),和,f,(,x,)=,F,-1,F,(,w,),F,(,w,)称作,f,(,t,),象函数,f,(,x,)称作,F,(,w,),原函数,.能够说象函数,F,(,w,)和原函数,f,(,x,)组成了一个傅氏变换对.,傅立叶变换,傅立叶逆变换,(傅里叶积分式),review,复数形式傅立叶积分及其系数表示式,傅立叶变换对,第65页,三 傅立叶变换基本性质,1 导数定理,F,f,(x)=i,w,F,(,),0,证 由傅氏变换定义,并利用分部积分可得,第66页,推论,F,f,(,n,),(,x,)=(i,w,),n,F,f,(,x,).,一样,我们还能得到象函数导数公式,设,F,f,(,x,)=,F,(,w,),则,第67页,2.积分定理,第68页,3 相同性定理,证：,第69页,4.延迟定理,证 由傅氏变换定义,可知,令x-x,0,=u,第70页,5 位移定理,证：,第71页,6 卷积定理 若,F,1,(,w,)=,F,f,1,(x),F,2,(,w,)=,F,f,2,(,x,),则,证,按傅氏变换定义,有,第72页,第73页,利用傅氏变换微分性质以及积分性质,能够把线性常系数微分方程转化为代数方程,经过解代数方程与求傅氏逆变换,就能够得到此微分方程解.另外,傅氏变换还是求解数学物理方程方法之一.,1 导数定理,F,f,(,n,),(,x,)=(i,w,),n,F,f,(,x,).,2.积分定理,第74页,例 求微分积分方程,解:依据傅氏变换微分性质和积分性质,F,x,(,t,)=,X,(,w,),F,h,(,t,)=,H,(,w,).,在方程两边取傅氏变换,可得,解,其中,t,+,a,b,c,均为常数.,第75页,x,(,t,)=,F,-1,X,(,w,),第76页,在物理和工程技术中,经常会碰到单位脉冲函数.因为有许多物理现象含有脉冲性质,如在电学中,要研究线性电路受含有脉冲性质电势作用后产生电流;在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后运动情况等.研究这类问题就会产生我们要介绍单位脉冲函数.,5.3,函数,第77页,在原来电流为零电路中,某一瞬时(设为,t,=0)进入一单位电量脉冲,现在要确定电路上电流,i,(,t,).以,q,(,t,)表示上述电路中电荷函数,则,因为电流强度是电荷函数对时间改变率,即,所以,当,t,0时,i,(,t,)=0,因为,q,(,t,)是不连续,从而在普通导数意义下,q,(,t,)在这一点是不能求导数.,第78页,假如我们形式地计算这个导数,则得,这表明在通常意义下函数类中找不到一个函数能够表示这么电流强度.为了确定这么电流强度,引进一称为狄拉克(Dirac)函数,简单记成,d,-函数.有了这种函数,对于许多集中于一点或一瞬时量,比如点电荷,点热源,集中于一点质量及脉冲技术中非常窄脉冲等,就能够象处理连续分布量那样,以统一方式加以处理.,第79页,二,d,-函数定义与性质,（1）定义,第80页,奇偶性,（,-x)=(x),（,-x),=-,(x),（2）性质,第81页,三,d,-函数傅立叶变换,d,-函数傅氏积分为:,第82页,例 求正弦函数,f,(,t,)=sin,w,0,t,傅氏变换,第83页,如图所表示:,t,sin,t,1/2,1/2,-,w,0,w,0,O,w,|,F,(,w,)|,第84页,在频谱分析中,傅氏变换,F,(,w,)又称为,f,(,t,)频谱函数,而它模|,F,(,w,)|称为,f,(,t,)振幅频谱(亦简称为频谱).因为,w,是连续改变,我们称之为连续频谱,对一个时间函数作傅氏变换,就是求这个时间函数频谱.,第85页,