直线与直线方程题型归纳.doc

直线与直线方程
一、知识梳理
1.直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角.当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°.倾斜角的取值范围是0°≤＜180°.倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示.倾斜角是90°的直线没有斜率.
2.斜率公式：经过两点的直线的斜率公式：
3. 直线方程的五种形式
直线形式
直线方程
局限性
选择条件

点斜式

不能表示与轴垂直的直线
①已知斜率
②已知一点

斜截式

不能表示与轴垂直的直线
①已知斜率
②已知在轴上的截距

两点式

不能表示与轴、轴垂直的直线
①已知两个定点
②已知两个截距

截距式

（分别为直线在轴和轴上的截距）
不能表示与轴垂直、与轴垂直、过原点的直线
已知两个截距（截距可以为负）

一般式

表示所有的直线
求直线方程的结果均可化为一般式方程
7．斜率存在时两直线的平行：=且.
8．斜率存在时两直线的垂直： ．
9．特殊情况下的两直线平行与垂直:当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．

二、典例精析
题型一：倾斜角与斜率
【例1】下列说法正确的个数是（ ）
①任何一条直线都有唯一的倾斜角；
②倾斜角为的直线有且仅有一条；
③若直线的斜率为，则倾斜角为；
④如果两直线平行，则它们的斜率相等
A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个
【练习】如果且，那么直线不通过（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【例2】如图，直线l经过二、三、四象限，l的倾斜角为α，斜率为k，则(　　)
A．ksinα>0　 B．kcosα>0 C．ksinα≤0　　D．kcosα≤0
【练习】图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )．
A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2

【例3】经过点作直线，若直线与连接，的线段总有公共点，求直线的倾斜角与斜率的取值范围。

【练习】已知两点，，过点的直线与线段有公共点，求直线的斜率的取值范围。

【例4】若直线的方程为，则（ ）
A. 一定是直线的倾斜角 B.一定不是直线的倾斜角
C.一定是直线的倾斜角 D.不一定是直线的倾斜角
【练习】设直线的倾斜角为，且，则满足（ ）
A. B. C. D.

题型二：斜率的应用
【例5】若点共线则的值为_________________.
【练习】若三点 共线，则的值为_____________.
【例6】已知实数满足，当时，求的最大值为_______，最小值为_________________
【练习】1、若，则（ ）
A. B. C. D.
2、 求函数的值域.

题型三：两直线位置关系的判断
已知，两直线斜率存在且分别为，若两直线平行或重合则有，若两直线垂直则有.
【例7】已知直线的倾斜角为，直线经过点，，判断直线与的位置关系.

【练习】1、已知点，,，当为何值时，直线与直线相互垂直？

2、 已知直线经过点，直线经过点，若，求的值.

【例8】在平面直角坐标系中，对，直线（ ）
互相平行 互相垂直
关于原点对称 关于直线对称
【练习】直线垂直，求的值.

题型四：求直线方程
（一） 点斜式
【例9】根据条件写出下列直线的方程：
（1） 经过点A(1,2),斜率为2；
（2） 经过点B（—1,4），倾斜角为；
（3） 经过点C（4,2），倾斜角为；
（4） 经过点D（—3，—2），且与x轴平行.
已知直线过一点，可设点斜式
【练习】已知中，，于,求的直线方程.

（二） 斜截式
【例10】根据条件写出下列直线的方程：
（1） 斜率为2，在y轴上的截距是5；
（2） 倾斜角为，在y轴的截距为—2；
（3） 倾斜角为，在y轴上的截距为0.
已知斜率时，可设斜截式：
【练习】求斜率为，且与坐标轴围成的三角形周长是12的直线的方程.

（三） 截距式
【例12】根据条件写出下列直线的方程：
（1) 在x轴上的截距为—3，在y轴上的截距为2；
（2) 在x轴上的截距为1，在y轴上的截距为—4；
与截距相关的问题，可设截距式
【练习】直线过点，且在上的截距之比为1:2，求直线的方程.

（四） 两点式
【例11】求经过下列两点的直线方程：
（1)A(2,5),B(4,3) (2)A(2,5),B(4,5) (3)A(2,5),B(2,7)

适时应用“两点确定一条直线”
【练习】过点作直线，使他被两条已知直线所截得的线段被点平分.求直线的方程.

【例12】1、已知点A（3,3）和直线：.求：
（1） 经过点A且与直线平行的直线方程；
（2） 经过点A且与直线垂直的直线方程.

2、已知三角形三个顶点的坐标分别为A（—1,0），B（2,0），C（2,3），试求AB边上的高的直线方程.(思考：如果求AB边上的中线、角平分线呢？）

【例13】已知直线的斜率为2，且和两坐标轴围成面积为4的三角形，则直线的方程为________________．
【练习】已知，直线经过点（—5，—4），且与两坐标轴所围成的三角形面积为5，则直线的方程为________________
【例14】直线不经过第三象限，其斜率为，在y轴上的截距为b（），则（ ）
A. B. C. D.
【练习】两条直线y=ax+b与y=bx+a在同一直角坐标系中的图象位置可能是（　　）

A． B． C． D．

三、 课后练习
<一>选择题：
1、若直线l：y=kx-3与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围（　　）
A． [，) B．(，) C．(，) D．[，]
2、 已知直线l1：（k-3）x+（5-k）y+1=0与l2：2（k-3）x-2y+3=0垂直，则K的值是（　　）
A．1或3 B．1或5 C．1或4 D．1或2
3、直线y=3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为（　　）
A． B． C． D．
<二>填空题：
1、在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x，y）为整点，下列命题中正确的是 _________________（写出所有正确命题的编号）．
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点
②如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点
③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点
④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数
⑤存在恰经过一个整点的直线．
2、 若点在直线上的射影为，则直线的方程为__________________.
3、 在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)=的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________________.
<三>解答题：
1、 设直线：，：，其中实数满足，证明与相交.

2、 已知直线方程为，当，求此直线的方程.

3、当时，直线：和两坐标轴围成一个四边形，问取何值时，这个四边形的面积最小?并求出最小面积.
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