阿波罗尼斯圆专题汇编.doc

阿波罗尼斯圆性质及其应用
背景展示 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一

（人教A版124页B组第3题）已知点M与两个定点O(0,0),A(3,0)点距离的比为12，求点M的轨迹方程。
（人教A版144页B组第2题）已知点M与两个定点M1，M2距离的比是一个正数m,求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形（考虑m=1和m≠1两种情形）。

公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下著名结果：到平面上两定点距离比等于定值的动点轨迹为直线或圆．（定值为1时是直线，定值不是1时为圆）

定义：一般的平面内到两顶点A，B距离之比为常数λ（λ≠1）的点的轨迹为圆，此圆称为阿波罗尼斯圆

类型一：求轨迹方程
1.已知点与两个定点，的距离的比为，求点的轨迹方程

2.已知，，试分析点的轨迹

3.（2006年高考四川卷第6题）已知两定点A（-2，0），B（1，0），如果动点P满足条件PA=2PB，则点P的轨迹所包围的图形面积等于（ ）
A．π B. 4π C.8π D.9π

类型二：求三角形面积的最值
4.（2008江苏卷）满足条件AB = 2，AC = BC的DABC的面积的最大值是

5.（2011浙江温州高三模拟）在等腰△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，BD=3，则△ABC面积的最大值为

6.在△ABC中，AC=2，AB=mBC(m>1),恰好当B=π3时△ABC面积的最大，m=

类型三：定点定值问题
7. 已知圆O：x2+y2=9,点B(-5,0),在直线OB上存在定点A(不同于点B)，满足对于圆O上任意一点P，都有PAPB为一常数，试求所有满足条件的点A的坐标，并求PAPB

8.（2014湖北文科卷17题）已知圆O：x2+y2=1,点A(-2.0),若定点B(b,0)(b≠-2)和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有MB=λMA，则b = ,λ=

类型四：阿波罗尼斯圆的性质
9. 已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=1,定点O0,0,B2,0,其中P为圆C上的动点，则2PO+PB的最小值为

10.已知函数fα=2(cosα+12)2+sin2α-cos2α+(sinα-12)2,若集合α∈Rfα>m≠∅,则实数m的取值范围为

类型五：阿波罗尼斯圆的应用
阿波罗尼斯圆与向量（阿氏圆+等和线）
11.已知BC=6，AC=2AB，点D满足AD=2xx+yAB+y2(x+y)AC,设fx,y=AD,若fx,y≥f(x0,y0)恒成立，则f(x0,y0)的最大值为

12.（2018.1湖州、衢州、丽水三地市教学质量检测试卷17题）．设点是所在平面内动点，满足,（），．若，则的面积最大值是 ．

阿波罗尼斯圆与三角形
13.（2018.5月宁波模拟16题）已知向量a,b满足b=3，a=2b-a，若a+λb≥3恒成立，则实数λ的取值范围为

14.（2018.4月杭州市第二次高考科目教学质量检测17题）在△ABC中，∀λ∈R，BA-λBC≥BC恒成立，求cb+bc的最大值

15.在中，、分别为中线，若，则的取值范围 .

阿波罗尼斯圆与几何体
16.（2014二模（理））在等腰梯形中，、分别为底边的中点，把四边形沿直线折起后所在平面记为，，设与所成的角分别为，（，均不为0），，则点的轨迹为 .
A.直线 B.圆 C.椭圆 D.抛物线

17.在四面体中，已知，，，且，则的最大值为 .

18.（2018.5月浙江高三五校联考17题）棱长为36的正四面体ABCD的内切球上有一个动点M，则MB+13MC的最小值

练习：
1. 已知向量，，若恒成立，则实数的取值范围为 .
2. （2015湖北理科卷14题）如图，圆与轴相切与点，与轴正半轴交于两点（在A的上方），
（1） 圆C的标准方程为 .
过点任作一条直线与圆相较于两点，下列三个结论：
（2）
;‚;ƒ
其中正确结论的序号是 。（写出所有正确结论的序号）

3. 为等腰直角三角形，，，为中点，将沿翻折到位置，且为直二面角，为空间中一个动点.
（1） 若，且，求面积的最大值；
（2） 在三棱锥表面上，为中点，、为线段两个三等分点，、为空间中的两个动点，，且，求的最小值。
B
A
C
N
E

S
M