上海市2019年初三下学期数学中考二模汇编：24题二次函数专题.doc

上海市2019年中考数学二模汇编：24题二次函数
闵行
24．（本题共3小题，每小题各4分，满分12分）
已知抛物线经过点A（1，0）、B（3，0），且与y轴的公共点为点C．
O
x
y
（第24题图）

1
1
-1
-1
（1）求抛物线的解析式，并求出点C的坐标；
（2）求∠ACB的正切值；
（3）点E为线段AC上一点，过点E作EF⊥BC，
垂足为点F．如果，求△BCE的面积．

宝山
24．（本题满分12分，第(1)、第(2)、第(3)小题满分各4分）
如图，已知对称轴为直线的抛物线与轴交于、两点，与轴交于C点，其中.
（1）求点B的坐标及此抛物线的表达式；
（2）点D为y轴上一点，若直线BD和直线BC的夹角
为15º，求线段CD的长度；
（3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，
当为直角三角形时，求点的坐标.

崇明
24．（本题满分12分，每小题满分各4分）
如图8，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上找出点P，使，求点P的坐标；
（3）将直线AC沿x轴的正方向平移，平移后的直线交y轴于点M，交抛物线于点N．
当四边形ACMN为等腰梯形时，求点M、N的坐标．
A
B
C
O
y
x
备用图
A
B
C
O
y
x
图8

奉贤
24．（本题满分12分，每小题满分各4分）
如图9，已知平面直角坐标系，抛物线与轴交于点A(-2，0)和点B(4，0) ．
（1）求这条抛物线的表达式和对称轴；
（2）点C在线段OB上，过点C作CD⊥轴，垂足为点C，交抛物线与点D，E是BD中点，联结CE并延长，与轴交于点F．
图9
O
A
B
①当D恰好是抛物线的顶点时，求点F的坐标；
②联结BF，当△DBC的面积是△BCF面积的时，
求点C的坐标．

金山
第24题图

22. 已知：抛物线，经过点，.
（1） 求抛物线的关系式及顶点的坐标.
（2） 若点与点关于轴对称，把（1）中的抛物线向左平移个单位，平移后的抛物线经过点，设此时抛物线顶点为点.
①求的大小.
②把线段以点为旋转中心顺时针旋转，点落在点处，设点在（1）中的抛物线上，当的面积等于时，求点的坐标.

普陀
24．（本题满分12分）
在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、如图11所示，点在线段的延长线上，且．
（1）用含字母的代数式表示点的坐标；
（2）抛物线经过点、，求此抛物线的表达式；
（3）在第（2）题的条件下，位于第四象限的抛物线上，是否存在这样的点：使，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，试说明理由．
图11
x
y
O
A
B
1
1

杨浦
24. 已知开口向下的抛物线与y轴的交点为A，顶点为B，对称轴与轴的交点为C，点A与点D关于对称轴对称，直线BD与轴交于点M，直线AB与直线OD交于点N.
（1）求点D的坐标；
（2）求点M的坐标（用含的代数式表示）；
（3）当点N在第一象限，且∠OMB=∠ONA时，求的值.

长宁
24.（本题满分12分，每小题4分）
如图6，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过原点，且与轴相交于点，点的横坐标为，抛物线顶点为点．
（1） 求这条抛物线的表达式和顶点的坐标；
（2）过点作，在直线上点取一点，使得，求点的坐标；
图6
1
y
1
x
O
图6
O
1

-1
-1

x
y
1
（3）将该抛物线向左平移个单位，所得新抛物线与轴负半轴相交于点且顶点仍然在第四象限，此时点移动到点的位置，，求的值．

黄浦

嘉定

静安

松江

徐汇

答案
闵行
24．解：（1）由题意，得
………………………………………………………（1分）
解得 …………………………………………………………（1分）
所以，所求抛物线的解析式为 ． ………………（1分）
由 x = 0，得 y = -3．
∴ 点C的坐标为（0，-3）．…………………………………………（1分）
（2）联结AC、BC．过点A作AH⊥BC，垂足为点H．
∵ B（3，0），C（0，3），∴ OB = OC = 3．
．……………………………………（1分）
在Rt△BOC和Rt△BHA中，∠AHB =∠COB = 90°．
∴ ．∴ ．………………（1分）
即得 ，． ………………………………………（1分）
在Rt△ACH中，∠AHC = 90°，
∴ ．……………………………………………（1分）
（3）联结BE．设EF = a．由 ，得 BF = 4a．…………………（1分）
又∵ ，∴ CF = 2a．…………………………（1分）
∴ BC = BF +FC = 6a．
∴ ．
解得 ．即得 ．………………………………（1分）
∴ ． ………………………（1分）
宝山
24.解：（1）依题意得：，解之得：，……………………3分
∴抛物线的解析式为. …………………1分
（2）∵对称轴为，且抛物线经过，∴
∴直线BC的解析式为. ∠CBA=45° …………………1分
∵直线BD和直线BC的夹角为15º， ∴∠DBA=30°或∠DBA=60° …………1分
在△BOD，，BO=3 …………………1分
∴DO=或，∴CD=或. …………………1分
（3）设，又，，
∴，，，
①若点为直角顶点，则即：解之得：，
②若点为直角顶点，则即：解之得：，
③若点为直角顶点，则即：解之得：
，. …………………4分
综上所述的坐标为或或或.
崇明
24．（本题满分12分，每小题满分各4分）
解：（1）∵抛物线 过点A（1，0）、C（0，3）
∴………………………………………………………………（2分）
解得 ……………………………………………………………（1分）
∴抛物线的解析式为 ………………………………………（1分）
（2）过P作，垂足为H
∵PO＝OC，
∴CH＝OH ………………………………………………………………（1分）
∴ ……………………………………………………………（1分）
∴ ………………………………………………………………（1分）
………………………………………………（1分）
A
B
C
O
y
x
M
N
G
（3）连接NA并延长交OC于G
∵四边形ACMN为等腰梯形，且AC∥MN
∴∠ANM＝∠CMN，∠ANM＝∠GAC，∠GCA＝∠CMN
∴∠GAC＝∠GCA，∴GA＝GC
设GA＝x，则GC＝x，OG＝3－x
在Rt△OGA中，OA 2＋OG 2＝AG 2
∴1 2＋( 3－x )2＝x 2，解得x＝
∴OG＝3－x＝ ，∴G（0，）
易得直线AG的解析式为y＝－ x＋
令－ x＋ ＝x 2－4x＋3，解得x1＝1（舍去），x2＝
∴N（ ，－ ）………………………………………………………………（2分）
∴CM＝AN＝ ＝
∴OM＝OC＋CM＝3＋ ＝
∴M（0，）…………………………………………………………………（2分）
∴存在M（0，）、N（ ，－ ）使四边形ACMN为等腰梯形
奉贤
24．解：（1）由题意得，抛物线经过点A(－2，0)和点B(4，0)，
代入得 解得 （2分）
因此，这条抛物线的表达式是. （1分）
它的对称轴是直线. （1分）
（2）①由抛物线的表达式，得顶点D的坐标是（1，）. （1分）
∴.
∵D是抛物线顶点，CD⊥轴，E是BD中点，∴. ∴.
∵，∴. （1分）
在Rt△中，，．
在Rt△中，，．
∴，．∴点F的坐标是（0，）． （2分）
②∵，， ∴． （1分）
∵△DBC的面积是△BCF面积的， ∴． （1分）
由①得，又，
∴△∽△．∴． （1分）
又OB=4，∴，∴．即点C坐标是. （1分）
金山
24.解：（1）把点，代入得解得
∴抛物线的关系式为： （2分）
得； （1分）
∴顶点坐标为. （1分）
（2）①设抛物线平移后为，代入点得，解得，（舍去）；
∴，得顶点 （2分）
连结，，作轴，垂足为，得,，
∵, （1分）
∴, ∴. （1分）
②∵,即,
∴;
∵线段以点为旋转中心顺时针旋转，点落在点处;
∴,
∴轴，;
设在边上的高为，得：，解得；
∴设或分别代入得解得：或∴或，方程无实数根舍去，
∴综上所述：当时，点的坐标为或. （2分+2分）
普陀
24．解：
（1） 过点作⊥，垂足为点．
∵直线与轴、轴分别相交于点、，
∴点的坐标是，点的坐标是. （2分）
∴，.
∵⊥，∴//．
∴． （1分）
∵，
∴，.
∴点的坐标是. （1分）
（2） ∵抛物线经过点、点，
可得 （2分）
∵，解得 . （1分）
∴抛物线的表达式是. （1分）
（3）过点分别作⊥、垂足为点．
设点的坐标为．可得，．
∵，．
∴△与△等高，∴//. （1分）
∴.∴.
∴. （1分）
解得 ，（舍去）． （1分）
∴点的坐标是. （1分）
杨浦
24.（1）D（2,2） （2）（3）
长宁
24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）
解：（1） 点、在抛物线上
∴，解得 （ 2分）
∴抛物线的解析式为，顶点B的坐标是 （ 2分）
（2）∵， ∴，∵ ∴，
设点，因为 ，所以 （ 1分）
∵ 平行于， 不平行于 ∴四边形为梯形
又∵ ∴四边形为等腰梯形 ∴ （1分）
∴ ∴ 或（舍去） （1分）
∴ （ 1分）
（3）由（1）知
设抛物线向左平移个单位后的新抛物线表达式为
因为新抛物线与轴负半轴相交于点且顶点仍然在第四象限，设点的坐标为
所以，，过点分别做作、轴垂线，垂足分别为点、
∴ ∴∽
∴ ∴ ∴
∴ （2分）
又∵ ∴ （1分）
∴
∴ 或者 （舍去） ∴ （1分）
黄浦

嘉定

静安

松江

徐汇