三角函数知识点总结及高考题库(家教必备).doc

三角函数 家教一对一（精华版） 高考必备
三角函数（家教必备）
知识要点:
定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。
定义2 角度制，把一周角360等分，每一等分为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为l，则其弧度数的绝对值|α|=,其中r是圆的半径。
定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的非负半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数sinα=,余弦函数cosα=,正切函数tanα=,

2、角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．第一象限角的集合为=
第二象限角的集合为=
第三象限角的集合为=_________________
第四象限角的集合为=___________
终边在轴上的角的集合为=____________________
终边在轴上的角的集合为=_________________
终边在坐标轴上的角的集合为=__________________
3、与角终边相同的角的集合为=__________________
5、弧度制与角度制的换算公式：，，．
6、若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，，．
7、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．(口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦)
8、三角函数线：，，．若，则sinx<x<tanx.
9、同角三角函数的基本关系：；;
．
10、三角函数的诱导公式：（把角写成形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限）
，，．
，，．
，，．
，，．
，．，．
11、两角和与差的三角函数公式：
⑴；⑵；
⑶；⑷；
⑸（）；
⑹（）．
12、和差化积与积化和差公式:
sinα+sinβ=2sincos,sinα-sinβ=2cossin,
cosα+cosβ=2coscos, cosα-cosβ=-2sinsin,
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)].
13、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴．
⑵（，）．
⑶．
14、半角公式:sin=；
15、辅助角公式:，其中．
16、万能公式
，，

17、函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的||倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．
函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数
的图象；再将函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．
例：以变换到为例
向左平移个单位 （左加右减）
横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）
纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变）

横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）
向左平移个单位 （左加右减）
纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变）
注意：在变换中改变的始终是x。
函数的性质：
①振幅：；②周期：；③频率：；④相位：；⑤初相：．
函数，当时，取得最小值为 ；当时，取得最大值为，则，，．

作y=sinx（长度为2p的某闭区间）
得y=sin(x+φ)
得y=sinωx
得y=sin(ωx+φ)
得y=sin(ωx+φ)
得y=Asin(ωx+φ)的图象，先在一个周期闭区间上再扩充到R上。
沿x轴平 移|φ|个单位
横坐标 伸长或缩短
横坐标伸 长或缩短
沿x轴平 移||个单位
纵坐标伸 长或缩短
纵坐标伸 长或缩短

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
函
数
性
质

图象

定义域

值域

最值
当时，；当
时，．
当时，
；当
时，．
既无最大值也无最小值
周期性

奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在
上是增函数；在

上是减函数．
在上是增函数；在
上是减函数．
在
上是增函数．
对称性
对称中心
对称轴
对称中心
对称轴
对称中心
无对称轴

三角函数题型分类总结
一． 三角函数的求值、化简、证明问题常用的方法技巧有：
a) 常数代换法：如：
b) 配角方法：,,,
1、= = =
2、（1）(10全国Ⅰ) 是第四象限角，，则__________
（2）（11北京文）若，则 .
(3) 是第三象限角，，则= =
3、(1) (09陕西) 已知则= .
(2)（12全国文）设，若，则= .
（3）（08福建）已知则=
4. (1)(10福建) =
(2)（11陕西）= 。
（3） 。
5. （2）已知，则的值为
(3) 若 ,则=
6. （10北京）若角的终边经过点，则= =
7．（09浙江）已知，且，则tan＝
9.（09重庆文）下列关系式中正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
10．已知，则的值为 （ ）
A． 　B． C． D．
11．已知sinθ=－，θ∈（－，0），则cos（θ－）的值为 （ ）
A．－ B． C．－ D．
12．已知f（cosx）=cos3x，则f（sin30°）的值是 （ ）
A．1 B． C．0 D．－1
14．已知tan160o＝a，则sin2000o的值是 ( )
A. B.－ C. D.－
15.若，则的取值范围是： ( )
（Ａ）　　 （Ｂ）　　 （Ｃ）　　 （Ｄ）
17.若则= （ ）
（A） （B）2 （C） （D）
二.最值
1.（09福建）函数最小值是= 。
2.①（08全国二）．函数的最大值为 。
②（08上海）函数f(x)＝sin x +sin(+x)的最大值是
③（12江西）若函数，，则的最大值为
7．将函数的图像向右平移了n个单位，所得图像关于y轴对称，则n的最小正值是
A． B．　　 C．　　 D．
8.若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2

三.单调性
1.（09天津）函数为增函数的区间是 （ ）.
A. B. C. D.
2.函数的单调递增区间是 （ ）
A． B． C． D．
3．若函数f(x)同时具有以下两个性质：①f(x)是偶函数，②对任意实数x，都有f()= f()，则f(x)的解析式可以是 （ ）
A．f(x)=cosx　　B．f(x)=cos(2x)　　C．f(x)=sin(4x)　　D．f(x) =cos6x
四.周期性
1．（07江苏卷）下列函数中，周期为的是 （ ）
A． B． C． D．
2.（08江苏）的最小正周期为，其中，则=
3.（04全国）函数的最小正周期是（ ）.
4.（1）（04北京）函数的最小正周期是 .
5.（1）函数的最小正周期是
(2)（09江西文）函数的最小正周期为
五.对称性
1.（08安徽）函数图像的对称轴方程可能是 （ ）
A． B． C． D．
2．下列函数中，图象关于直线对称的是 （ ）
A B C D
3．（11福建）函数的图象 （　　）
Ａ．关于点对称 Ｂ．关于直线对称
Ｃ．关于点对称 Ｄ．关于直线对称
4. （09全国）如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为 （ ）
(A) (B) (C) (D)
六.图象平移与变换
1.（08福建）函数y=cosx(x∈R)的图象向左平移个单位后，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的解析式为
2.（08天津）把函数（）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是
3.(09山东)将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是
4.(09湖南)将函数y=sinx的图象向左平移0 ＜2的单位后，得到函数y=sin的图象，则等于
5．要得到函数的图象，需将函数的图象向 平移 个单位
6（1）（12山东）要得到函数的图象，只需将函数的图象向 平移 个单位
（2）为得到函数的图像，只需将函数的图像向 平移 个单位
（3）为了得到函数的图象，可以将函数的图象向 平移 个单位长度
7.（2009天津卷文）已知函数的最小正周期为，将的图像向左平移个单位长度，所得图像关于y轴对称，则的一个值是 （ ）
A B C D
8.将函数 y = cos x－sin x 的图象向左平移 m（m > 0）个单位，所得到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小正值是 （D ）
A. B. C. D.
10.若函数y=sin（x+）+2的图象按向量a平移后得到函数y=sinx的图象，则a等于 （ ）
A．（－，－2） B．（，2） C．（－，2） D．（，－2）
11．若函数的图象按向量平移后，它的一条对称轴是，则的一个可能的值是
A． B． C． D．
12.将函数的图象按向量平移后所得的图象关于点中心对称，则向量的坐标可能为
A． B． C． D．
七. 图象
1．（07宁夏、海南卷）

Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
函数在区间的简图是 （　　）

2．（2012年四川卷）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
3.（2009宁夏海南卷文）已知函数的图像如图所示，则
。
4．为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin的图象 (　　)
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
5．已知函数y＝sincos，则下列判断正确的是 (　　)
A．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是
B．此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是
C．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是
D．此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是
6．把函数y＝cos的图象向左平移m个单位(m>0)，所得图象关于y轴对称，则m的最小值是________．
7．已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0,0＜φ＜π)，x∈R的最大值是1，其图象经过点M.
(1)求f(x)的解析式；
(2)已知α，β∈，且f(α)＝，f(β)＝，求f(α－β)的值．

九..综合
1. （11年天津）定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为
2．（ 09四川）已知函数，下面结论错误的是 ( )
A. 函数的最小正周期为2 B. 函数在区间［0，］上是增函数
C.函数的图象关于直线＝0对称 D. 函数是奇函数
3．(07安徽卷) 函数的图象为C, 如下结论中正确的是
①图象C关于直线对称; ②图象C关于点对称;
③函数)内是增函数;
④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.

4．已知函数对任意都有，则等于 （ ）
A、2或0 B、或2 C、0 D、或0
十.解答题
1.（2009福建卷文）已知函数其中，
（I）若求的值；
（Ⅱ）在（I）的条件下，若函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数的解析式；并求最小正实数，使得函数的图像象左平移个单位所对应的函数是偶函数。

2.已知函数f(x)＝为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为
（Ⅰ求f（）的值；
（Ⅱ）将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.

3.已知向量，，记函数。
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数的最大值，并求此时的值。

4.（2012陕西卷文） 已知函数（其中）的周期为，且图象上一个最低点为.
(Ⅰ)求的解析式；（Ⅱ）当，求的最值.

5.（2009北京文）（本小题共12分）已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.
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