阿氏圆问题归纳.doc

阿氏圆题型的解题方法和技巧
以阿氏圆(阿波罗尼斯圆)为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现，对于此类问题的归纳和剖析显得非常重要.
具体内容如下：
阿氏圆定理(全称：阿波罗尼斯圆定理)，具体的描述：一动点P到两定点A、B的距离之比等于定比(≠1)，则P点的轨迹，是以定比内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．
定理读起来和理解起来比较枯燥，阿氏圆题型也就是大家经常见到的PA+kPB，(k≠1)P点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型.

PA+kPB,(k≠1)P点的运动轨迹是圆或圆弧的题型

阿氏圆基本解法：构造母子三角形相似
【问题】在平面直角坐标系xOy中，在x轴、y轴分别有点C(m，0)，D(0，n).点P是平面内一动点，且OP=r，求PC+kPD的最小值.

阿氏圆一般解题步骤：
第一步：确定动点的运动轨迹(圆)，以点O为圆心、r为半径画圆；(若圆已经画出则可省略这一步)
第二步：连接动点至圆心O(将系数不为1的线段的固定端点与圆心相连接)，即连接OP、OD；
第三步：计算出所连接的这两条线段OP、OD长度；
第四步：计算这两条线段长度的比k；
第五步：在OD上取点M，使得OM:OP=OP:OD=k；
第六步：连接CM，与圆O交点即为点P．此时CM即所求的最小值.
【补充：若能直接构造△相似计算的，直接计算，不能直接构造△相似计算的，先把k提到括号外边，将其中一条线段的系数化成，再构造△相似进行计算】

习题
【旋转隐圆】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AC的中点，M为BD的中点，将线段AD绕A点任意旋转（旋转过程中始终保持点M为BD的中点），若AC=4，BC=3，那么在旋转过程中，线段CM长度的取值范围是___________.
1.Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D为△ABC内一动点，满足CD=2，则AD+BD的最小值为_______.
2.如图，菱形ABCD的边长为2，锐角大小为60°，⊙A与BC相切于点E，在⊙A上任取一点P，则PB+PD的最小值为________.

3.如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，圆B的半径为2，P为圆B上一动点，则PD+PC的最小值为_________.
4.如图，点A，B在⊙O上，OA=OB=12,OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，OD=10.动点P在⊙O上，则PC+PD的最小值为_______.
5.如图，等边△ABC的边长为6，内切圆记为⊙O，P是圆上动点，求2PB+PC的最小值.

6.如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是圆上的动点，求PA+PB的最小值.
7.如图，边长为4的正方形，点P是正方形内部任意一点，且BP=2，则PD+PC的最小值为______；PD+4PC的最小值为______.
8.在平面直角坐标系xOy中，A(2，0)，B(0,2)，C(4，0)，D(3，2)，P是△AOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA=135°，则2PD+PC的最小值是_______.

9.在△ABC中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，⊙A的半径为6，P是⊙A上的动点，连接PB、PC，则3PC+2PB的最小值为_______.

10.如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，AC=8，以C为圆心，4为半径作⊙C．
(1)试判断⊙C与AB的位置关系，并说明理由；
(2)点F是⊙C上一动点，点D在AC上且CD=2，试说明△FCD～△ACF；
(3)点E是AB上任意一点，在(2)的情况下，试求出EF+FA的最小值.

11.(1)如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+PC的最小值和PD-PC的最大值；
(2)如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+PC的最小值为______，PD-PC的最大值为______．
(3)如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+PC的最小值为______，PD-PC的最大值为________.

12.问题提出：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP、BP，求AP+BP的最小值．
(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD=1，则有，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴，
∴PD=BP，∴AP+BP=AP+PD．
请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为________．
(2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，AP+BP的最小值为_______．
(3)拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P是弧CD上一点，求2PA+PB的最小值.

【二次函数结合阿氏圆题型】
13.如图1，抛物线y=ax²+(a+3)x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
(1)求a的值和直线AB的函数表达式；
(2)设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若，求m的值；
(3)如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．

问题背景：如图1，在△ABC中，BC=4，AB=2AC．
问题初探：请写出任意一对满足条件的AB与AC的值：AB=_____，AC=_______．
问题再探：如图2，在AC右侧作∠CAD=∠B，交BC的延长线于点D，求CD的长．
问题解决：求△ABC的面积的最大值．

1.小明的数学探究小组进行了系列探究活动．
类比定义：类比等腰三角形给出如下定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做邻等四边形．
探索理解：
(1)如图1，已知A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请你协助小明用两种不同的方法画出格点D，连接DA、DC，使四边形ABCD为邻等四边形；

尝试体验：
(2)如图2，邻等四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=120°，∠ADC=60°，AB=2，BC=1，求四边形ABCD的面积．
解决应用：
(3)如图3，邻等四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=75°，∠ADC=60°，BD=4．
小明爸爸所在的工厂，需要裁取某种四边形的材料板，这个材料板的形状恰巧是符合如图3条件的邻等四边形，要求尽可能节约．你能求出这种四边形面积的最小值吗？如果能，请求出此时四边形ABCD面积的最小值；如果不能，请说明理由．

2.我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
(1)如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件．
(2)如图2，等邻边四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC、BD为对角线，AC=AB，试探究BC，BD的数量关系．
(3)如图3，等邻边四边形ABCD中，AB=AD，AC=2，∠BAD=2∠BCD=60°，求等邻边四边形ABCD面积的最小值.

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