2019届江苏专用高考数学大一轮复习第七章不等式7.2一元二次不等式及其解法讲义理苏教版.ppt

,7.2,一元二次不等式及其解法,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.,“,三个二次,”,的关系,知识梳理,判别式,b,2,4,ac,0,0,0),的图象,一元二次方程,ax,2,bx,c,0,(,a,0),的根,有两个相异,实根,x,1,，,x,2,(,x,1,0,(,a,0),的解集,(,，,x,1,),(,x,2,，,),(,，,),(,，,),R,一元二次不等式,ax,2,bx,c,0),的解集,_,_,_,(,x,1,，,x,2,),2.,常用结论,(,x,a,)(,x,b,)0,或,(,x,a,)(,x,b,)0,型不等式的解法,不等式,解集,a,b,(,x,a,)(,x,b,)0,x,|,x,b,_,_,(,x,a,)(,x,b,)0,_,_,x,|,b,x,a,口诀：大于取两边，小于取中间,.,x,|,x,a,x,|,x,a,x,|,a,x,0(0(0).,(2),0(,0),f,(,x,),g,(,x,),0(,0),且,g,(,x,),0.,以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式,.,思考辨析,判断下列结论是否正确,(,请在括号中打,“,”,或,“”,),(1),若不等式,ax,2,bx,c,0.(,),(2),若不等式,ax,2,bx,c,0,的解集是,(,，,x,1,),(,x,2,，,),，则方程,ax,2,bx,c,0,的两个根是,x,1,和,x,2,.(,),(3),若方程,ax,2,bx,c,0(,a,0),没有实数根，则不等式,ax,2,bx,c,0,的解集为,R,.(,),(4),不等式,ax,2,bx,c,0,在,R,上恒成立的条件是,a,0,且,b,2,4,ac,0.(,),(5),若二次函数,y,ax,2,bx,c,的图象开口向下，则不等式,ax,2,bx,c,0,的解集是,_.,答案,解析,(,，,2),(5,，,),解方程,x,2,3,x,10,0,得,x,1,2,，,x,2,5,，,由于,y,x,2,3,x,10,的,图像,开口向上，,所以,x,2,3,x,100,的解集为,(,，,2),(5,，,).,2.(,教材改编,),不等式,0,的解集是,_.,答案,解析,不等式,0,，,不等式的解集是,x,|,x,4.,3.(,教材改编,),不等式,的解集为,_.,(,1,2),由题意得,x,2,x,2,1,x,0,的解集是,(),，则,a,b,_.,答案,解析,14,x,1,，,x,2,是方程,ax,2,bx,2,0,的两个根，,a,b,14.,5.,不等式,x,2,ax,4,0,的解集不是空集，则实数,a,的取值范围是,_.,(,，,4,4,，,),答案,解析,x,2,ax,4,0,的解集不是空集，,则,x,2,ax,4,0,一定有解,.,a,2,4,1,4,0,，即,a,2,16,，,a,4,或,a,4.,题型分类深度剖析,题型一一元二次不等式的求解,命题点,1,不含参的不等式,例,1,(2016,南京模拟,),求不等式,2,x,2,x,30,的解集,.,解答,化,2,x,2,x,30,，,解方程,2,x,2,x,3,0,得,x,1,1,，,x,2,，,不等式,2,x,2,x,30,的解集为,(,，,1),(,，,),，,即原不等式的解集为,(,，,1),(,，,).,命题点,2,含参不等式,例,2,解关于,x,的不等式：,x,2,(,a,1),x,a,1,时，,x,2,(,a,1),x,a,0,的解集为,x,|1,x,a,，,当,a,1,时，,x,2,(,a,1),x,a,0,的解集为,，,当,a,1,时，,x,2,(,a,1),x,a,0,的解集为,x,|,a,x,1.,引申探究,将原不等式改为,ax,2,(,a,1),x,10,，求不等式的解集,.,解答,若,a,0,，原不等式等价于,x,11.,若,a,0,，,解得,x,1.,若,a,0,，原不等式等价于,(,x,)(,x,1)0.,当,a,1,时，,1,，,(,x,)(,x,1)1,时，,1,，解,(,x,)(,x,1)0,，得,x,1,；,当,0,a,1,，解,(,x,)(,x,1)0,，得,1,x,.,综上所述，当,a,0,时，解集为,x,|,x,1,；,当,a,0,时，解集为,x,|,x,1,；,当,0,a,1,时，解集为,x,|1,x,1,时，解集为,x,|,x,1.,含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论,.,(1),若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；,(2),若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；,(3),对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集,.,思维升华,跟踪训练,1,解下列不等式：,(1)0,x,2,x,2,4,；,解答,原不等式等价于,借助于数轴，如图所示，,所以原不等式的解集为,x,|,2,x,1,或,2,x,3.,(2),求不等式,12,x,2,ax,a,2,(,a,R,),的解集,.,解答,12,x,2,ax,a,2,，,12,x,2,ax,a,2,0,，,即,(4,x,a,)(3,x,a,),0,，,令,(4,x,a,)(3,x,a,),0,，,得,x,1,，,x,2,.,当,a,0,时，,，解集为,；,当,a,0,时，,x,2,0,，解集为,x,|,x,R,且,x,0,；,当,a,0,时，,，解集为,.,综上所述，当,a,0,时，不等式的解集为,；,当,a,0,时，不等式的解集为,x,|,x,R,且,x,0,；,当,a,0,时，不等式的解集为,.,题型二一元二次不等式恒成立问题,命题点,1,在,R,上的恒成立问题,例,3,(1),若一元二次不等式,2,kx,2,kx,0,对一切实数,x,都成立，则,k,的取值范围为,_.,答案,解析,(,3,0),2,kx,2,kx,0,为一元二次不等式，,k,0,，,又,2,kx,2,kx,0,对一切实数,x,都成立，,则必有,解得,3,k,0,，则,a,的取值范围是,_.,答案,解析,0,4),对于,x,R,，,ax,2,ax,10,，,则必有,或,a,0,，,0,a,4.,命题点,2,在给定区间上的恒成立问题,例,4,设函数,f,(,x,),mx,2,mx,1.,若对于,x,1,3,，,f,(,x,),m,5,恒成立，求,m,的取值范围,.,解答,要使,f,(,x,)0,时，,g,(,x,),在,1,3,上是增函数，,所以,g,(,x,),max,g,(3),7,m,60,，,所以,m,，所以,0,m,；,当,m,0,时，,60,恒成立；,所以,g,(,x,),max,g,(1),m,60,，所以,m,6,，所以,m,0.,当,m,0,时，,g,(,x,),在,1,3,上是减函数，,综上所述，,m,的取值范围是,m,|,m,.,方法二因为,x,2,x,1,，,又因为,m,(,x,2,x,1),60,，所以,m,.,因为函数,y,在,1,3,上的最小值为,，,所以只需,m,即可,.,所以,m,的取值范围是,.,命题点,3,给定参数范围的恒成立问题,例,5,对任意,m,1,1,，函数,f,(,x,),x,2,(,m,4),x,4,2,m,的值恒大于零，求,x,的取值范围,.,解答,由,f,(,x,),x,2,(,m,4),x,4,2,m,(,x,2),m,x,2,4,x,4,，,令,g,(,m,),(,x,2),m,x,2,4,x,4.,由题意知在,1,1,上，,g,(,m,),的值恒大于零，,故当,x,的取值范围为,(,，,1),(3,，,),时，对任意的,m,1,1,，函数,f,(,x,),的值恒大于零,.,解得,x,3.,(1),对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于,0,就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在,x,轴上方，恒小于,0,就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在,x,轴下方,.,另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值,.,(2),解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数,.,思维升华,跟踪训练,2,(1),已知函数,f,(,x,),x,2,mx,1,，若对于任意,x,m,，,m,1,，,都有,f,(,x,)0,成立，则实数,m,的取值范围是,_.,答案,解析,作出二次函数,f,(,x,),的草图，对于任意,x,m,，,m,1,，都有,f,(,x,)0,，,解得,m,0.,(2),已知不等式,mx,2,2,x,m,10,，是否存在实数,m,对所有的实数,x,，使不等式恒成立？若存在，求出,m,的取值范围；若不存在，请说明理由,.,解答,不等式,mx,2,2,x,m,10,恒成立，,即函数,f,(,x,),mx,2,2,x,m,1,的图象全部在,x,轴下方,.,当,m,0,时，,1,2,x,，不满足题意；,当,m,0,时，函数,f,(,x,),mx,2,2,x,m,1,为二次函数，,需满足开口向下且方程,mx,2,2,x,m,1,0,无解，即,不等式组的解集为空集，即,m,无解,.,综上可知，不存在这样的,m,.,题型三一元二次不等式的应用,例,6,某商品每件成本价为,80,元，售价为,100,元，每天售出,100,件,.,若售价降低,x,成,(1,成,10%),，售出商品数量就增加,成,.,要求售价不能低于成本价,.,(1),设该商店一天的营业额为,y,，试求,y,与,x,之间的函数关系式,y,f,(,x,),，并写出定义域；,解答,由题意得，,y,因为售价不能低于成本价，所以,80,0.,所以,y,f,(,x,),40(10,x,)(25,4,x,),，定义域为,x,0,2.,(2),若再要求该商品一天营业额至少为,10 260,元，求,x,的取值范围,.,解答,由题意得,40(10,x,)(25,4,x,),10 260,，,化简得,8,x,2,30,x,13,0,，,解得,x,.,所以,x,的取值范围是,.,求解不等式应用题的四个步骤,(1),阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系,.,(2),引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型,.,(3),解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义,.,(4),回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果,.,思维升华,跟踪训练,3,甲厂以,x,千克,/,小时的速度匀速生产某种产品,(,生产条件要求,1,x,10),，每小时可获得的利润是,100(5,x,1,),元,.,(1),要使生产该产品,2,小时获得的利润不低于,3 000,元，求,x,的取值范围；,解答,根据题意，得,200(5,x,1,),3 000,，,整理得,5,x,14,0,，,又,1,x,10,，可解得,3,x,10.,即要使生产该产品,2,小时获得的利润不低于,3 000,元，,x,的取值范围是,3,10.,即,5,x,2,14,x,3,0,，,(2),要使生产,900,千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润,.,解答,设利润为,y,元，则,y,100(5,x,1,),9,10,4,(5,),即,甲厂以,6,千克,/,小时的生产速度生产,900,千克该产品时获得的利润最大，最大利润为,457 500,元,.,故当,x,6,时，,y,max,457 500,元,.,典例,(1),已知函数,f,(,x,),x,2,ax,b,(,a,，,b,R,),的值域为,0,，,),，若关于,x,的不等式,f,(,x,)0,恒成立，则实数,a,的取值范围是,_.,函数的值域和不等式的解集转化为,a,，,b,满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题,.,答案,解析,转化与化归思想在不等式中的应用,思想与方法系列,14,思想方法指导,9,a,|,a,3,(1),由题意知,f,(,x,),x,2,ax,b,f,(,x,),的值域为,0,，,),，,b,0,，即,b,.,又,f,(,x,),c,，,0,恒成立，,即,x,2,2,x,a,0,恒成立,.,即当,x,1,时，,a,(,x,2,2,x,),g,(,x,),恒成立,.,而,g,(,x,),(,x,2,2,x,),(,x,1),2,1,在,1,，,),上单调递减，,g,(,x,),max,g,(1),3,，故,a,3.,实数,a,的取值范围是,a,|,a,3.,课时作业,1.(,教材改编,),不等式,3,x,2,5,x,4,0,的解集为,_.,答案,解析,原不等式变形为,3,x,2,5,x,4,0.,因为,(,5),2,4,3,4,23,0,，,所以,3,x,2,5,x,4,0,无解,.,由函数,y,3,x,2,5,x,4,的图象可知，,3,x,2,5,x,4,0,的解集为,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.(,教材改编,),不等式,0,的解集为,_.,答案,解析,原不等式等价于,故原不等式的解集为,(,，,1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.,若集合,A,x,|,ax,2,ax,10,，则实数,a,的取值范围是,_.,答案,解析,由题意知,a,0,时，满足条件,.,0,4,当,a,0,时，由,得,0,a,4,，所以,0,a,4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.(2016,南京三模,),记不等式,x,2,x,60,的解集为集合,A,，函数,y,lg,(,x,a,),的定义域为集合,B,.,若,“,x,A,”,是,“,x,B,”,的充分条件，则实数,a,的取值范围为,_.,答案,解析,由题意得,A,(,3,2),，,B,(,a,，,),，,A,B,，,a,3.,(,，,3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.,若关于,x,的不等式,x,2,2,ax,8,a,2,0),的解集为,(,x,1,，,x,2,),，且,x,2,x,1,15,，,则,a,_.,答案,解析,由,x,2,2,ax,8,a,2,0,，,得,(,x,2,a,)(,x,4,a,)0,，,所以不等式的解集为,(,2,a,4,a,),，,即,x,2,4,a,，,x,1,2,a,，由,x,2,x,1,15,，,得,4,a,(,2,a,),15,，解得,a,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.,若不等式,x,2,2,x,k,2,20,对于任意的,x,2,，,),恒成立，则实数,k,的取值范围是,_.,答案,解析,由,x,2,2,x,k,2,20,，得,k,2,x,2,2,x,2,，,设,f,(,x,),x,2,2,x,2,，,f,(,x,),(,x,1),2,3,，,当,x,2,，可求得,f,(,x,),max,2,，,则,k,2,f,(,x,),max,2,，所以,k,或,k,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.,已知不等式,ax,2,bx,1,0,的解集是,，则不等式,x,2,bx,a,0,的解集是,_.,答案,解析,由题意知,，,是方程,ax,2,bx,1,0,的根，,所以由根与系数的关系得,解得,a,6,，,b,5,，不等式,x,2,bx,a,0,即为,x,2,5,x,60,，,解集为,(2,3).,(2,3),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.(,教材改编,),某厂生产一批产品，日销售量,x,(,单位：件,),与货价,p,(,单位：元,/,件,),之间的关系为,p,160,2,x,，生产,x,件所需成本,C,500,30,x,元,.,若使得日获利不少于,1 300,元，则该厂日产量所要满足的条件是,_.,答案,解析,20,45,由题意得,(160,2,x,),x,(500,30,x,),1 300,，,解得,20,x,45.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.,若不等式,2,x,2,2,ax,a,1,有唯一解，则,a,的值为,_.,答案,解析,若不等式,2,x,2,2,ax,a,1,有唯一解，,则,x,2,2,ax,a,1,有两个相等的实根，,所以,4,a,2,4(,a,1),0,，解得,a,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*10.,已知,f,(,x,),是定义域为,R,的偶函数，当,x,0,时，,f,(,x,),x,2,4,x,，那么，不等式,f,(,x,2)5,的解集是,_.,答案,解析,x,|,7,x,3,由于,f,(,x,),向左平移两个单位即得,f,(,x,2),，,故,f,(,x,2)5,的解集为,x,|,7,x,3.,令,x,0,，,x,0,时，,f,(,x,),x,2,4,x,，,f,(,x,),(,x,),2,4(,x,),x,2,4,x,，,又,f,(,x,),为偶函数，,f,(,x,),f,(,x,),，,x,0,时，,f,(,x,),x,2,4,x,，,故有,f,(,x,),再求,f,(,x,)5,的解，,得,0,x,5,；,得,5,x,0,，,即,f,(,x,)5,的解集为,(,5,5).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.,已知,f,(,x,),则不等式,f,(,x,2,x,1)12,的解集是,_.,答案,解析,(,1,2),由题意得当,x,0,时，,f,(,x,),0,，且,f,(,x,),单调递增；,当,x,0,时，,f,(,x,)0,，且,f,(,x,),单调递增，,因为,0,2,0,0,2,0,，,所以,f,(,x,),在,R,上单调递增，,又,f,(3),12,，,所以,f,(,x,2,x,1)12,f,(,x,2,x,1),f,(3),x,2,x,13,1,x,2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,12.,已知关于,x,的不等式,1.,(1),当,a,1,时，解该不等式；,解答,当,a,1,时，不等式化为,1,，化为,0,，,所以,1,x,2,，解集为,x,|1,x,2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2),当,a,为任意实数时，解该不等式,.,解答,即,(,ax,2)(,x,1)1,，即,0,a,2,时，解集为,x,|1,x,；,当,2,时，解集为,x,|,x,1,；,当,a,0,时，解集为,x,|,x,1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,13.,设二次函数,f,(,x,),ax,2,bx,c,，函数,F,(,x,),f,(,x,),x,的两个零点为,m,，,n,(,m,0,的解集；,解答,由题意知，,F,(,x,),f,(,x,),x,a,(,x,m,)(,x,n,).,当,m,1,，,n,2,时，不等式,F,(,x,)0,，,即,a,(,x,1)(,x,2)0.,当,a,0,时，不等式,F,(,x,)0,的解集为,x,|,x,2,；,当,a,0,的解集为,x,|,1,x,0,，且,0,x,m,n,0,，且,0,x,m,n,，,x,m,0.,f,(,x,),m,0,，即,f,(,x,),m,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,