固体物理第一章-晶体结构(课堂PPT).ppt

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第一章 晶体结构,1.1,晶体特征,1.2,配位数和密堆积,1.3,一些晶体的实例,1.4,空间点阵,1.5,晶格周期性的描述,1.6,典型晶体结构的原胞和晶胞,1.7,晶向晶面及标记,1.8,晶体宏观对称性及其对称操作,1.9,七大晶系,14,种原胞,晶体的结构特征及其描述,1,单晶,：整块固体中粒子均是规则、周期排列。,多晶,：由大量微小单晶粒组成。每个晶粒内粒子规,则排列，而各个晶粒间粒子排列取向不同。,晶体,：至少在微米级范围粒子按一定规则周,期有序排列（长程有序）形成的固体,1.1,晶体特征,晶体,非晶体,准晶体,按内部结构特点可分为三大类,组成,Be,2,O,3,晶体,的粒子在空间的排列具有周期性，是长程有序的。,一、内部结构特征,具有,“,平移对称旋转对称性,”,的特点,2,准晶体,：无周期平移不变性但有某些取向旋转对称性,非晶体,：在微米级范围内粒子无序排列（,长程无序,）形成的固体,非晶态固体又叫做过冷液体，它们在凝结过程中不经过结晶（即有序化）的阶段，非晶体中粒子与粒子的结合是无规则的,Be,2,O,3,玻璃,中的粒子只有近邻的范围内粒子间保持着一定的短程有序，但隔开三、四个粒子后就不再保持这种关系，由于键角键长的畸变破坏了长程序，形成无规则网络。,1984,年,Shechtman,等用快速冷却方法制备,AlMn,合金，经对电子衍射谱分析，发现有五重对称（旋转,2,/5,）的衍射斑点分布的存在，导致一种新的有序相,准晶,(quasicrystal),的发现,。,以后不作特别说明，所说“晶体”指“完整的单晶体或理想晶体。,3,二、晶体的外形特征,晶体最显著的特征是晶面有规则、对称地配置。,一个理想完整的晶体，相应的晶面的面积相等。,外形的对称性是晶体内部粒子间有序排列的反映,指的是晶体具有沿某些确定方位的晶面劈裂的性质,三、晶体的解理性,相应的晶面称为晶体的解理面，显露在晶体外面的晶面往往是一些解理面。,晶面往往组合成晶带，如图中的,a-1-c-2,晶带由若干个晶面组成，相邻晶面的交线称为晶棱，晶带的特点是所有的晶棱相互平行，其共同的方向称为晶带的带轴，通常所说的晶轴是重要的带轴。,晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，意味着平行解理面的原子层的间距大。,4,四、晶体品种的特征因素,a),晶体的大小和形状不是晶体品种的特征因素,晶体外形中，只受内在结构决定而不受外界条件影响的因素称为晶体品种的特征因素。,由于外界条件和偶然情况不同，同一类型的晶体，其外形不尽相同。图是理想石英晶体和一种人造的石英晶体的外形,。,b),晶面间的夹角是晶体品种的特征因素,属于同一品种的晶体，无论其外形如何，两个对应的晶面间夹角恒定不变，称为,面角守恒定律,可以看到，由于外界条件的差异，晶体中某组晶面可以相对地变小、甚至消失。所以，晶体中晶面的大小和形状并不是表征晶体类型的固有特征,。,理想的石英晶体,人造的石英晶体,例如：石英晶体的,m,与,m,两面夹角为,60,o,0,m,与,R,面之间的夹角为,38,o,13,，,m,与,r,面的夹角为,38,o,13,等。,5,五、晶体其它特征,1),晶体有确定的熔点,例如：冰,0 NaCl 800,熔点是指晶态固体的长称有序解体时所对应的温度,2),物理性质的各向异性,例如：,La,2-x,Ba,x,CuO,4,6,1.2,配位数和密堆积,原子在晶体中的平衡位置，排列应该采取尽可能的紧密方式，相应于结合能最低的位置，见下章,把原子看成一个个小球，看这些小球如何堆积，不同的堆积方式，可以得到不同的晶体结构。,六角密积结构,CeCl,型结构,7,NaCl,型结构,四面体结构,层状结构,链状结构,8,一个原子周围最近邻的原子数，称为,配位数,可以被用来描述晶体中粒子排列的紧密程度,晶体结构中最大配位数是,12,，以下依次是,8,、,6,、,4,、,3,、,2,密堆积,晶体内全同原子小圆球最紧密的堆积。,密堆积配位数为,12,，堆积方式有两种方式：立方和六角密积,9,在实际的由同种元素构成的晶体中，如果无特殊要求，晶体的配位数都很高，其中六角密积占,31,，立方密积占,26,，说明晶体一般是按最紧密的方式堆积的。,如果晶体由两种或两种以上的元素组成，即组成晶体的原子小球大小不等，则不可能有密堆积结构，这时的配位数小于,12,。,配位数为,8,CeCl,型结构,10,1,、简单立方,1,）将原子球在一个平面内按正方排列形成原子层,2,）将原子层按图所示沿垂直层面方向叠加起来就得到简单立方结构，其最小的重复结构单元（原胞）如图,3,）用原点表示原子的位置，即得到简单立方格子,配位数为,6,1.3,一些晶体的实例,原子层,原子层,原子层,11,2,、体心立方,1,）原子球按正方形式铺开形成一原子层，计为原子层，类似排列形成另一原子层，计为原子层,2,）将,B,层原子放在层四个原子的间隙里，第二层的每个球和第一层的四个球紧密相切，如图，按,AB AB AB.,次序沿垂直于层面方向叠加起来就得到体心立方。体心立方原胞如图所示,3,）用原点表示原子的位置，即得到体心立方格子,配位数为,8,12,Li,、,Na,、,K,、,Rb,、,Cs,、,Fe,等金属为典型的具有体心立方晶格的金属,Fe,体心立方晶格结构,体心立方晶格中，,A,层中原子球的距离等于,A-A,层间的距离，由此可计算出层原子球的间隙,r,0,为原子球半径,r,0,+,+,r,0,层,层,层,13,3,、面心立方,面心立方晶体的原胞和简单立方相似，所不同的是，除立方体顶角上有原子外，在立方体的六个面的中心还有六个原子。,用原点表示原子的位置，即得到面心立方格子,贵金属（如,Cu,、,Al,、,Ni,等）具有面心立方结构。,配位数为,12,14,4,、六角密积结构,1,）原子球平铺在平面上，任意一个球都与六个球相切，每三个相切的球的中心构成一等边三角形，且每个球的周围有六个空隙，这样构成一原子层，计为原子层。,3,）将,B,层的球放在层相间的,3,个空隙里，,B,层每个球和,A,层三个球紧密相切，如图。,2,）类似排列形成另一原子层，计为原子层。,15,5,）用原点表示原子的位置，即得到六角密积格子,4,）按,AB AB AB.,次序沿垂直于层面方向叠加起来就得到六角密排结构,配位数为,12,16,5,、金刚石结构,金刚石由碳原子构成，其结构可以看成是由面心立方结构演变而来的，即：在一个面心立方原胞的基础上在体内再额外加四个原子，体内四个原子分别位于四个空间对角的,1/4,处。,面心立方,金刚石,17,整个金刚石晶格可以看成是由沿体对角线相互位移四分之一对角线长度的两个面心立方晶格套构而成。,重要的半导体材料，如,Ge,、,Si,等，都有四个价电子，其晶体结构和金刚石相同,18,由碳原子共价键的取向分析可知，在面心和顶角处的碳原子与体内的,4,个碳原子是不等价的。,A,类碳原子的共价键方向,B,类碳原子的共价键方向,19,6,、,闪锌矿结构,和金刚石结构相似，所不同的是，在立方体顶角和面心处的原子与体内原子分别属于不同的元素。,许多重要的化合物半导体，如,InSb,、,ZnS,、,GaAs,、,InP,等均是,闪锌矿结构,。,20,7,、,钙钛矿结构,钙钛矿,结构是指钛酸钙,(CaTiO,3,),的结构,Ca,在立方体顶角上是,Ca,，,Ti,位于立方体的体心处，,O,位于立方体六个面心处。,如果把,OI,、,OII,、,OIII,连接起来，则它们构成等边三角形，整个原胞中共有,8,个这样的三角形面，围成一个八面体，通常称为氧八面体。整个结构可看成氧八面体的排列，其中,Ti,位于氧八面体中心，而,Ca,则在,8,个氧八面体的间隙里。,Ca,铁电体：,BaTiO,3,、,PbZrO,3,、,LiNbO,3,、,LiTaO,3,铁磁体,：,(La,Ca)MnO,3,ABO,3,21,作业,1,、,3,、以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体,心和面心晶体中的原子数之比,2,、,22,1.4,空间点阵,晶体可以由一种或多种原子（或离子）组成，它们构成晶体的基本结构单元，称为基元。,1,、基元,例,1,：碳,60,晶体,晶体基元是一个包含,60,个碳原子组成的巴基球,例,2,：两种原子构成的某种晶体,将基元在空间中按一定方式作周期性重复就形成了具有一定结构的晶体。,反映了晶体内在结构长程有序的特征,其正确性为,X,射线工作所证明,两者结合形成了关于晶体几何结构的完备理论,空间点阵学说,(,19,世纪布喇菲,),空间群理论,23,空间点阵学说中所称的点子，代表着结构中相同的位置，称为结点。,如果晶体由完全相同的一种原子组成，结点一般认为是原子本身的位置，,也可以将原子周围相应点的位置看作为结点,3,、结点,如果晶体中含有数种原子，则将基元的重心选择为结点,是一种数学上的抽象,2,、格点,(Lattice site),用位于原子平衡位置的几何点替代每一个原子，结果得到一个与晶体几何特征相同、但无任何物理实质的几何图形。处于原子平衡位置的几何点称为格点。,意味着结点可以是格点也可以不是格点,24,4,、点阵,结点在空间周期性排列的总体，称为点阵,5,、晶格,通过点阵中的结点，可以作许多平行的直线族和平行的晶面族,这样，点阵就成为一些网格，称为晶格,25,6,、布喇菲格子和复式格子,如果晶体由完全相同的一种原子组成，则由格点（原子）组成的网格和由结点组成的网格相同，这样的网格称为布喇菲格子,如果晶体包含两种或两种以上的原子，则不同的原子各自构成自身的布喇菲格子（子晶格），若干个相同的布喇菲格子相互位移套构而形成所谓的复式格子。,整个金刚石晶格可以看成是由沿体对角线相互位移四分之一对角线长度的两个面心立方晶格套构而成。,26,1.5,晶格周期性的描述,1,、晶格周期性的描述,原胞和基矢,原胞,一个晶格中最小的重复单元,例,1,：一维布喇菲格子,原胞，即,最小重复单元，为一个原子加上原子周围长度为,a,的区域,a,习惯上的选择,两种选择,一维长度最短、二维面积最小、三维体积最小的重复单元,晶格的共同特点是具有周期性，可以用原胞和基矢来描述这一周期性,27,例,2,：二维布喇菲格子,原胞，由相邻的四个原子构成的面积最小的平行四边形,基矢,原胞的边矢量,例,1,：一维布喇菲格子,基矢,28,例,2,：二维布喇菲格子,基矢,(1),(2),29,例,3,：三维布喇菲格子,三维格子的重复单元是平行六面体,基矢,是原胞的三个边矢量,（,1,）,例如：简单立方,原胞对应体积最小的重复单元,30,除了周期性外，每种晶体还有自己特殊的对称性。为了同时反映晶格的对称性，往往会取最小重复单元的一倍或几倍的晶格单位作为原胞。结晶学中常用这种方法选取原胞，故称为结晶学原胞，简称晶胞。,晶胞,晶胞的边在晶轴方向，边长等于该方向上的一个周期，代表晶胞三个边的矢量称为晶胞基矢，用、,、表示，这三个矢量的长度,a,、,b,和,c,实际上就是所谓的晶格常数。,31,在一些情况下，晶胞就是原胞,而在另一些情况下，晶胞不是原胞,原胞,晶胞,原胞,晶胞,例如简单立方晶格,例如面心立方晶格,32,2,、晶格周期性的描述,格矢,对于简单格子，一旦基矢被确定，则任一原子,A,的位置可由下列格矢表示,任意两个格点间的位移矢量，即,格矢量，简称格矢,例如,l,1,、,l,2,、,l,3,为一组整数,33,对于复式格子，任一原子,A,的位置可由下列格矢表示,l,1,、,l,2,、,l,3,为一组整数,1,，,2,，,3,.,例如：金刚石晶格,对角线上的原子（红色）位置,面心立方位置上（绿色）的原子位置,34,因此，可以用表示一个空间格子,一组的取值可以囊括所有的格点,因此，布喇菲格子又可以认为是,由确定的空间格子,晶体可以看成是布喇菲格子的每一个格点上放上基元构成的,晶体结构晶格基元,例,1,：布喇菲格子为二维斜方格子、基元为,2,个原子,35,例,2,：布喇菲格子为三维斜方格子、基元为,1,个原子,例,3,：布喇菲格子为二维斜方格子、基元为多个原子,36,若,代表晶体的任一物理性质（如电场强度、电子云密度等），由于晶格的周期性，则有,3,、晶格周期性,物理性质,上式表明：一个重复单元中任一,r,处的物理性质，同另一个重复单元相应处的物理性质相同,37,1.6,典型晶体结构的原胞和晶胞,（,1,）简单立方,体积,原子数,1,0 0 0,原胞,晶胞,晶胞原胞,体积,原胞只含一个原子,基矢,38,（,2,）体心立方,体积,原子数,2,晶胞,原胞,由立方体的中心到三个顶点引三个基矢,基矢,原胞只含一个原子,体积,39,（,3,）面心立方,原胞,晶胞,原子数,4,体积,原胞只含一个原子,体积,基矢,由立方体的顶点到三个近邻的面心引三个基矢,基矢,40,（,4,）六角密积结构,原胞基矢 、在密排面内，互成,120,0,角,沿垂直密排面的方向。,基矢,41,作业,1,、何谓布喇菲格子？画出,NaCl,晶体的结点所构成的布喇菲格子。为什么金刚石结构是复式格子？,2,、,基矢为,的晶体为何种结构？,若,又为何种结构？,提示：先计算出原胞体积,由原胞体积可推断为体心结构,也可以由已知的三个基矢构造三个新的基矢,由此可推断为体心结构,42,1.7,晶向晶面和它们的标记,通过任何两个格点连一直线，则这直线上包含无限个相同的格点，这样的直线称为晶体的晶列。,晶列上格点的分布具有周期性，周期为晶列上任何两相邻格点的间距,晶列,由于所有格点周围情况相同，因此通过任何其它的格点都有一晶列和原来晶列平行且具有相同的周期，这些平行的直线可以将所有格点包括无遗。,在一个平面中相邻晶列间距离相等,43,通过一格点可以有无限多个晶列，其中每一个晶列都有一族平行的晶列与之对应，所以共有无限多族的平行晶列。每一族晶列定义了一个方向，称为晶向。,晶向,晶向指数,同族晶列中的晶列相互平行，并且完全等同，所以一族晶列的特点是晶列的取向。,如何描述晶列的取向？,晶向指数,44,l,1,、,l,2,、,l,3,为一组整数,原胞为最小的重复单元，格点只在原胞的顶角上，若取某一格点,O,为原点，,为原胞的三个基矢,则任何一个格点,A,的位矢可以表示为：,很明显，晶列,OA,的取向被,l,1,、,l,2,、,l,3,三个整数所确定。,若,l,1,、,l,2,、,l,3,为互质整数，则可直接用这三个互质整数来表示该晶列的方向,类似于直角坐标系中，知道一个矢量在,x,、,y,、,z,三个方向上的投影，这个矢量则被唯一确定。,用晶向指数表示晶列方向,称为晶向指数,若,l,1,、,l,2,、,l,3,不为互质整数，则先要将这三个数简约为互质整数,45,在结晶学中，以 、为原胞基矢，把 、称为晶轴，结点的位矢可写成,m,、,n,、,p,不一定是整数，但乘上公倍数后，可得到一组整数,m,、,n,、,p,，并有,称为晶列指数,。,46,例,1,取某一格点,O,为原点，为原胞基矢,沿晶向到最近一个格点,A,的位矢为：,求晶向指数的简便方法,则晶向指数：,对二维布喇菲格子，求,(1),和,(2),两晶列的晶向指数,(1),(2),0,(1),上离原点最近的格点位矢为,所以晶向指数为,(2),上离原点最近的格点位矢为,所以晶向指数为,47,例,2,对三维布喇菲格子，求,OA,晶列的晶向指数,OA,晶列上离原点最近的格点位矢为,所以晶向指数为,例,3,求简立方格子立方边,OA,、面对角线,OB,和体对角线,OC,的晶向指数,立方边,OA,的晶向指数为,100,立方边共有,6,个不同的晶向，晶向指数分别为,48,面对角线,OB,的晶向指数为,110,面对角线共有,12,个不同的晶向,体对角线,OC,的晶向指数为,111,体对角线共有,8,个不同的晶向,由于立方晶格的对称性，每一组晶向中所有晶向是等效的，因此，常常用,、,和,分别表示边、面对角和体对角线的,晶向。,49,晶面,晶面,晶体内三个非共线格点组成的平面,在一晶面外过其它格点作一系列与原晶面平行的晶面，可得到一组等距的晶面，各晶面上格点的分布情况是相同的，这组等距的晶面称为一族晶面。所有的格点都在一族平行的晶面上而无遗漏。,同一个格子两组不同的晶面族,50,与晶列相似，同族晶面中的晶面完全等同，所以晶面的特点也由其取向决定。,密勒指数,由于一族晶面必包含了所有格点而无遗漏，因此，在三个基矢末端的格点必分别落在该族的不同晶面上。,末端上格点所在的晶面和原点,所在晶面的间距应当为,h,1,d,，,d,为相邻晶面间的面间距，,h,1,为整数,例如图示的,为,3,d,末端晶面离原点,同理,点所在晶面的间距应当分别为,h,2,d,和,h,3,d,，,h,2,和,h,3,均为整数,、末端上格点所在的晶面和原,51,可以证明，,h,1,、,h,2,和,h,3,三个数是互质的整数，且可用来表示晶面的法线方向，因此，这三个互质整数称为该晶面族的面指数，记为,。,最靠近原点的晶面在三个基矢上的截距分别为,同族其它晶面在三个基矢方向上的截距为这组最小截距的整数倍,若用天然长度单位表示，则,h,1,、,h,2,、,h,3,三个数的倒数为这组晶面中最靠近原点的晶面在三个基矢方向上的截距,同样，可以以晶胞基矢为坐标轴表示晶面指数，表征晶面取向的互质整数称为晶面族的,密勒指数,，记为,。,52,O,A,B,C,D,E,F,G,例,1,对如图所示的基矢，求：,ABC,晶面的密勒指数；,DEFG,晶面的密勒指数,(1),ABC,晶面在三个基矢方向上的截距分别为,4a,、,b,、,c,，因此截距的倒数为,因此，该晶面的密勒指数为,(144),(2),DEFG,晶面在三个基矢方向上的截距分别为,2a,、,3,b,、,，因此截距的倒数为,因此，该晶面的密勒指数为,(320),将晶面在基矢上的截距的倒数的比简约为互质的整数的比，所得的互质整数即为密勒指数为,53,例,2,求简立方格子典型晶面的密勒指数,1,、,(100),晶面,在三个基矢方向上的截距分别为,a,、,、,，因此截距的倒数为,由于立方晶格的对称性，这三组晶面是等效的，因此，常常用,100,来表示,(100),、,(010),和,(001),三个等效的晶面。,因此，该晶面的密勒指数为,类似的晶面有,(010),、,(001),54,在三个基矢方向上的截距分别为,a,、,b,、,，因此截距的倒数为,因此，该晶面的密勒指数为,类似的晶面有,6,个，密勒指数分别为,记为,110,2,、,(110),晶面,3,、,(111),晶面,在三个基矢方向上的截距分别为,a,、,b,、,c,，因此截距的倒数为,因此，该晶面的密勒指数为,类似的晶面有,4,个，密勒指数分别为,记为,111,符号相反的晶面指数只是在区别晶体的外表面时才有意义，在晶体内部这些面都是等效的,55,作业,2,、如图所示，,B,、,C,两点是面心立方晶胞上的两面心，求：,（,1,）,ABC,面的密勒指数；,（,2,）,AC,晶列的指数。,B,C,A,1,、指出立方晶格,(111),面与,(100),面的交线的晶向以及,(111),面与,(110),面的交线的晶向。,56,1.8,晶体宏观对称性及其对称操作,1.8.1,正交变换,以宏观的角度讨论如何描写一个几何图形的对称性,要描述一个几何图形的对称性，一般采用几何变换的方法,例：比较以下图形的对称性,（,a,）,（,b,）,（,c,）,（,d,）,为比较图形的对称性，规定在作几何变换时，图形中有一点固定不动,57,（,a,）,A,B,C,D,一个对称轴，旋转,角度。一种几何变换。,（,b,）,(1),(2),(3),(1),旋转,角度 （,2,）旋转,角度,(3),旋转,/2,、,、,3/2,角度,五种几何变换。,（,c,）,无穷多种变换。,（,d,）,无几何变换,所以，几何变换越多，对称性越高,.,58,对称操作,对晶格点阵而言,，,对称操作即为操作前后点阵不变,正交变换,在几何变换中，若任意两点间的距离不变，这种变换称之为正交变换，如用数学表示，正是熟知的线性变换,一个物体在某一个正交变换下保持不变，称之为物体的一个对称操作，物体的对称操作越多，则其对称性越高,一种几何变换,A,B,C,D,无穷多变换,59,1,、转动,几种简单操作的变换关系,x,y,o,一矢量 在,oxy,平面旋转,角度,得到矢量,，,则变换关系是,写成矩阵,若令矩阵为,则有,很容易验证矩阵为正交矩阵,60,2,、中心反映,x,y,z,经中心反演后得到新的矢量，变换关系是,写成矩阵,变换矩阵为,3,、镜象,以,z=0,作为镜面，镜象对称操作是将图形中任何一点,(x,y,z),变成,(x,y,-z),，变换关系是,x,y,z,写成矩阵,变换矩阵为,61,1.8.2,基本的对称操作,晶格周期性对对称操作有所限制，以转动操作为例，由于晶格周期性，并非所有的转动操作对晶体都是允许的。,设想有一个对称轴垂直于平面，绕转轴的任意对称操作，即转过一角度,同族晶列格点的周期性相等，因此有,（,m,为整数）,由图知,A,点和点是等价的，以通过点的轴顺时针转角度,后点转到点，操作前后点阵不变，因此，点必有一格点,逆时针转角度,后,B,点转到,B,点，操作前后点阵不变，因此,B,点必有一格点,1,、晶格周期性对对称操作的限制,62,0,1,2,3,0,1,n=2,3,4,6,综上所述，旋转角,可写成且,因此，晶体中由于晶格周期性的限制，只可有,1,，,2,，,3,，,4,，,6,度转轴，不存在,5,度或,6,度以上的转轴,n,称为转轴的次数或度数,63,2,、几种基本的对称操作,n,度旋转对称轴,晶体绕某轴旋转角度后能自,身重合，则称该轴为,n,度旋转对称轴。,对称轴的度数,n,符号,2,3,4,6,由于晶格满足平移对称性，故不存在,5,度轴,准晶（,1984,）：,有五重对称但不具有平移对称性,64,n,度旋转反演轴,晶体绕某轴旋转角度后在经过中心反演能自身重合，则称该轴为,n,度旋转反演轴。,由于晶格满足平移对称性，故只有,1,，,2,，,3,，,4,，,6,度旋转反演轴，分别记为,不存在,5,度或,6,以上的对称轴,用表示,n,度旋转反演轴,中心反演，称为对称心，用,i,表示，即,先绕轴旋转,180,0,再作中心反演，如图，,A,A,A,”,其效果相当于,A,通过垂直于转轴的平面,的镜象操作（,m,），因此，,65,其效果相当于,3,度转轴加上对称心,i,其效果相当于,3,度转轴加上垂直于该轴的对称面,4,度旋转反演的效果并不能通过其它操作来替代,综上所述，晶体的微观对称性中有,8,种基本的对称操作,66,1.8.3,对称操作群,1,、群的基本知识,群：一组具有特殊运算规则的数学“元素”的集合,1,）集合,G,中任意两个元素的“乘积”仍为集合内的元素,群的封闭性,则,2,）存在单位元素,E,使得所有元素满足：,3,）对任意元素,A,，存在逆元素,A,-1,，且,4,）元素间的“乘法运算”满足结合律：,群的性质,67,2,、几个简单的群,1,）所有除,0,以外的正实数的集合，以普通乘法为运算法则，组成正实数群。,2,）所有整数的集合，以加法为运算法则，组成整数群,68,群的封闭性：,操作：绕,OA,轴转,/2,，,S,点转到,T,点,操作：绕,OC,轴转,/2,，,T,点转到,S,点,两个操作中,S,和,O,没动，而,T,点转到,T,点,相当于操作：绕,OS,轴转,2/3,因此，,C=BA,群的封闭性,同样可以论证,3,）一个物体全部对称操作的集合，以连续操作为运算法则，组成对称操作群,单位元素：不动操作,任意元素的逆元素：,例如：绕转轴,角度，其逆操作就是绕转轴,-,中心反演的逆操作仍是中心反演,A(BC)=(AB)C,满足结合律,69,由,8,种对称素为基础组成的对称操作群，一般称为点群,3,、点群,理论证明，由,8,种对称素只能组成,32,种不同的点群,意味着晶体的宏观对称性只有,32,个不同的类型,包含点群的对称操作和平移对称操作的所有组合方式构成的群，一般称为空间群，总共有,230,个空间群,4,、空间群,70,1.9,七大晶系,14,种原胞,在结晶学中，所选取的布喇菲原胞，即晶胞，不仅反映晶格的周期性，还要求反映晶体的对称性。,由于这一原因，晶胞不一定是最小的重复单元，一般可能包括几个最小的重复单元,晶胞的格点不仅在顶角上，其面心或体心上也可能有格点,晶胞的基矢一般选择在晶轴方向（即晶向）上，晶轴上的周期就是基矢的大小，称为晶格常数。,1,、结晶学原胞,71,1850,年，布喇菲证明，由,32,种点群描述的晶体对称性，对应的只有,14,种布喇菲点阵。,2,、七大晶系,这,14,种布喇菲点阵，按照坐标系的性质，晶体可划分为七大晶系：三斜，单斜，正交，四方，三角及六角。,结晶学中的三个基矢沿晶体的对称轴，一般情况下它们构成斜坐标系，彼此间的夹角如图所示,按照坐标系的性质，将晶体划分为如下七大晶系,:,72,1),、三斜晶系,abc,90,2),、单斜晶系,abc,90,因为只有,a,和是互相倾斜的，所以称为单斜系,因为,a,、,b,和,是互相倾斜的，所以称为三斜系,73,3),、正交晶系,abc,90,因为,a,、,b,和,是互相正交的，所以称为正交系,4),、正方晶系 （又称四角晶系）,a,bc,90,74,6),、三角晶系,a,b,c,90,5),、六角晶系,a,bc,90,120,75,7),、立方晶系,a,b,c,90,3,、,14,种布喇菲原胞,上面所讲的七大晶系，格点均在晶胞的顶点位置上。某些晶系的晶胞还可在体心、面心、底心处放置格点，因而同一晶系中不止一种晶胞，这样七大晶系共有,14,种布喇菲格子，称为布喇菲原胞。,76,1),、三斜,abc 90,2),、简单单斜,abc ,90,3),、底心单斜,abc ,90,77,4),、简单正交,abc ,90,5),、底心正交,abc ,90,6),、体心正交,abc ,90,7),、面心正交,abc ,90,简单正交,底心正交,体心正交,面心正交,78,8),、简单四角,a,bc ,90,9),、体心四角,a,bc ,90,79,10),、简立方,a,b,c ,90,11),、体心立方,a,b,c ,90,12),、面心立方,a,b,c ,90,简立方,体心立方,面心立方,13),、三角,a,b,c ,90,14),、六角,a,bc ,90,120,三角,六角,80,