黑体辐射普朗克公式推导.doc

黑体普朗克公式推导
1． 空腔内的光波模式数
在一个由边界限制的空间V内，只能存在一系列独立的具有特定波矢的平面单色驻波。这种驻波称为电磁波的模式或光波模式，以为标志。
设空腔为立方体，如下图

图1 立方体空腔
沿三个坐标轴方向传播的波分别应满足的驻波条件是
(1)
式中m、n、q为正整数。
将代入(1)式中，有

则在x方向上，相邻两个光波矢量的间隔为：

同理，相邻两光波矢在三个方向的间隔为：
(2)
因此每个波矢在波矢空间所占的体积元为
(3)

图2 波矢空间
在波矢空间中，处于和之间的波矢对应的点都在以原点为圆心、为半径、为厚度的薄球壳内，这个球壳的体积为
(4)
式中、。
根据(1)式的驻波条件，的三个分量只能取正值，因此和之间的、可以存在于V中的光波模式在波矢空间所占的体积只是上述球壳的第一卦限，所以
(5)
由(3)式已知每个光波矢的体积元，则在该体积内的光波模式数为
(6)
式中乘以2是因为每个光波矢量都有两个可能的偏振方向，因此光波模式数是光波矢量数的2倍。
由于，，上式可以用波长形式表示，即在体积为V的空腔内，波长间隔的光波模式数为：
(7)
2． 黑体辐射公式
黑体辐射是黑体温度T和辐射场波长的函数。可用单色能量密度来描述，其定义为：在单位体积内，波长附近的单位波长间隔中的电磁辐射能量，量纲为J•m-4。
根据量子化假设和玻色-爱因斯坦统计规律，在温度T的热平衡情况下，黑体辐射分配到腔内每个模式上的平均能量为
(8)
因此单色能量密度为
(9)
即如在空腔上有一单位面积的开口，则在单位时间，半球空间辐射到此单位面积的能量为附录1。
按照(9)式，从黑体腔上的开口向半球空间辐射出的单色能量为
(10)
这就是温度T的黑体的光谱辐出度公式。

附录1
对于作用在如图1的空腔表面的驻波，设垂直于面积A，且立体角为dW的方向上，光通量（单位时间通过的波的能量）为I和-I，如图3。

图3
设光速为c，光运动单位距离的时间为1/c，则在立体角内的光能密度（单位体积的光能量）P为
(1)
在谐振腔内，光辐射强度是各向同性的，因此对与面积A法线夹角为q的入射光，光通量仍为I，而该方向的通量为
(2)
因此在整个2p半球空间，一个小面积上通过的光通量如图4

图4 作用在一个小面积上的所有方向的光辐射
则在面积A上的总光通量为

将(1)代入有
(3)
因为腔内各方向的辐射是均匀分布的，所以任意方向立体角dW的能量密度P与腔内的总能量密度r的关系为
(4)
代入(3)得
(5)
即如在空腔上有一开口，则在单位时间，单位面积辐射到半球空间的能量为。

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