概率统计难题选解.doc

概率统计难题选解（一）

1. 在圆周上任取两点，连接起来得一弦，再任取两点，连接起来又得一弦。求这两弦相交的概率。
解 设圆周长为1，设圆周上一点坐标位置为0 ，逆时针绕圆一周后坐标位置为1。
不妨设第一条弦的一个端点位置为0 ，另一个端点位置为，第二条弦的两个端点位置为和。
，和可以看作是3个相互独立的服从上均匀分布的随机变量。
当且仅当或时，两弦相交。
所以，两弦相交的概率为

。

2.从一副扑克牌中（有返回地）一张张抽取牌，直至抽出的牌包含了全部四种花色为止。求这时正好抽了张牌的概率。
解 设4种花色为A、B、C、D。
抽次只抽到A　。
抽次最多只抽到A、Ｂ　。
抽次抽到且只抽到A、Ｂ
抽次最多只抽到A、Ｂ抽次只抽到A抽次只抽到Ｂ
　。
抽次最多只抽到A、Ｂ、Ｃ　。
抽次抽到且只抽到A、Ｂ、Ｃ
抽次最多只抽到A、Ｂ、Ｃ抽次抽到且只抽到A、Ｂ
抽次抽到且只抽到A、Ｃ抽次抽到且只抽到Ｂ、Ｃ
抽次只抽到A抽次只抽到Ｂ抽次只抽到Ｃ
　。
前次抽到且只抽到A、Ｂ、Ｃ，第次抽到Ｄ
　。
第次抽，首次抽到４种花式
前次抽到且只抽到Ｂ、Ｃ、Ｄ，第次抽到Ａ
前次抽到且只抽到A、Ｃ、Ｄ，第次抽到Ｂ
前次抽到且只抽到A、Ｂ、Ｄ，第次抽到Ｃ
前次抽到且只抽到A、Ｂ、Ｃ，第次抽到Ｄ

　。

３.个人相互传球，从甲开始。每次传球时，传球着可能把球传给其余个人中的任何一个。求：
（１）传了次球，球仍没有回到甲手里的概率。
（２）传了次（），没有一个人接到过两次球的概率。
（３）第次传球时仍由甲传出的概率。
解　　（１）第１次从甲传出后，又传了次，每次都没有传给甲，即传给其余人中除了甲以外的人中的任何一人，这样的概率为，次后的概率为
。
（２）第１次，甲传给其余人中任何一人，概率为；
第２次，传给其余人中除了甲以外的人中任何一人，概率为；
第３次，传给其余人中除了已经接到球的人以外的人中任何一人，概率为；
……
第次，传给其余人中除了已经接到球的人以外的人中任何一人，概率为。
因此，所求概率为
　。
（３）设
第次传球时由甲传出，
第次传球时由非甲传出　。
由于
第次传球时由甲传出
第次传球时由非甲传出传给甲｜第次传球时由非甲传出，
所以有递推公式
　，　。
　　下面用数学归纳法证明：
，　。
　　首先，当时，，第１次由甲传出，显然，公式成立。
　　设已知当时，公式成立，有，下面看时：

　。
公式也成立。所以，对任何，公式都成立。

４.掷均匀硬币直至第一次出现接连两个正面为止。求这时正好掷了次的概率。
解 设
掷次首次出现“正正”。
因为
掷次首次出现“正正”。
第1次掷出现“反”，以后掷次首次出现“正正”
第1次掷出现“正”，第2次掷出现“反”，以后掷次首次出现“正正”
所以有递推公式
，　。
同时，显然有
掷1次首次出现“正正” ，
掷2次首次出现“正正”。
根据递推公式 ，可以列出方程： ，
解这个方程，得到两个解 ， 。
所以，的表达式可以写成下列形式：
，
其中，是待定常数。
将初始条件代入，有：
，
解这个方程，得到 ，，所以，最后得到问题要求的概率为
，。
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