概率论与数理统计(经管类)综合试题15(课程代码4183).doc

Ⅱ、综合测试题

概率论与数理统计（经管类）综合试题一
（课程代码 4183）

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.下列选项正确的是 ( B ).
A. B.
C. (A-B)+B=A D.
2.设，则下列各式中正确的是 ( D ).
A.P(A-B)=P(A)-P(B) B.P(AB)=P(A)P(B)
C. P(A+B)=P(A)+P(B) D. P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
3.同时抛掷3枚硬币，则至多有1枚硬币正面向上的概率是 ( D ).
A. B. C. D.
4.一套五卷选集随机地放到书架上，则从左到右或从右到左卷号恰为1，2，3，4，5顺序的概率为 ( B ).
A. B. C. D.
5.设随机事件A，B满足，则下列选项正确的是 ( A ).
A. B.
C. D.
6.设随机变量X的概率密度函数为f (x)，则f (x)一定满足 ( C ).
A. B. f (x)连续
C. D.
7.设离散型随机变量X的分布律为，且，则参数b的值为 ( D ).
A. B. C. D. 1
8.设随机变量X, Y都服从[0, 1]上的均匀分布，则= ( A ).
A.1 B.2 C.1.5 D.0
9.设总体X服从正态分布，,为样本，则样本均值~ ( D ).
A. B. C. D.
10.设总体是来自X的样本，又
是参数的无偏估计，则a = ( B ).
A. 1 B. C. D.

二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11.已知，且事件相互独立，则事件A，B，C至少有一个事件发生的概率为 .
12. 一个口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取两个球，则这两个球恰有一个白球一个黑球的概率是____0.6_______.
13.设随机变量的概率分布为
X
0 1 2 3
P
c 2c 3c 4c
为的分布函数，则 0.6 .
14. 设X服从泊松分布，且，则其概率分布律为 .
15.设随机变量X的密度函数为,则E(2X+3) = 4 .
16.设二维随机变量(X, Y)的概率密度函数为
.则(X, Y)关于X的边缘密度函数 .
17.设随机变量X与Y相互独立，且则= 0.15 .
18.已知，则D(X-Y)= 3 .
19.设X的期望EX与方差DX都存在，请写出切比晓夫不等式 .
20. 对敌人的防御地段进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炮弹数是一个随机变量，其数学期望为2，方差为2.25，则在100轰炸中有180颗到220颗炮弹命中目标的概率为 0.816 . (附：)
21.设随机变量X与Y相互独立，且，则随机变量
F(3，5) .
22.设总体X服从泊松分布P(5)，为来自总体的样本，为样本均值，则 5 .
23.设总体X 服从[0,]上的均匀分布,(1, 0, 1, 2, 1, 1)是样本观测值,则的矩估计为_____2_____ .
24.设总体，其中已知，样本来自总体X，和分别是样本均值和样本方差，则参数的置信水平为1-的置信区间为 .
25.在单边假设检验中，原假设为，则备择假设为H1： .
三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
26.设A，B为随机事件，，求及.
.解：；
由得：，而，故
.
从而

27.设总体，其中参数未知，
是来自X的样本，求参数的极大似然估计.
解：设样本观测值则
似然函数
取对数ln得：，令，
解得λ的极大似然估计为.或λ的极大似然估计量为.

四、综合题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
28.设随机变量X的密度函数为，求：(1)X的分布函数F(x)；(2)；(3) E(2X+1)及DX.
解：(1)当x<0时，F(x)=0.
当时，.
当时，.
所以，X的分布函数为： .

(2)=
或=
(3)因为
所以，；
.

29.二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布为
Y1
X2

0
1
2
0
0.2
0.1
0
1
0.2
0.1
0.4
(1)求X与Y的边缘分布；(2)判断X与Y是否独立? (3)求X与的协方差.
(1)因为,
,
所以，边缘分布分别为：
X
0 1
P
0.3 0.7

Y
0 1 2
P
0.4 0.2 0.4

(2)因为,而,
,所以X与Y不独立；

(3)计算得：,所以
=0.9-0.7=0.2.

五、应用题（10分）
30. 已知某车间生产的钢丝的折断力X服从正态分布N(570, 82).今换了一批材料，从性能上看，折断力的方差不变.现随机抽取了16根钢丝测其折断力，
计算得平均折断力为575.2，在检验水平下，可否认为现在生产的钢丝折断力仍为570？ ()
解：一个正态总体，总体方差已知，检验检验统计量为检验水平临界值为得拒绝域：|u|>1.96.计算统计量的值：所以拒绝H0，即认为现在生产的钢丝折断力不是570.

概率论与数理统计（经管类）综合试题二
（课程代码 4183）

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.某射手向一目标射击3次，表示“第i次击中目标”，i=1,2,3，则事件“至
少击中一次”的正确表示为 ( A ).
A. B. C. D.
2. 抛一枚均匀的硬币两次，两次都是正面朝上的概率为 ( C ).
A. B. C. D.
3. 设随机事件与相互对立，且，，则有 ( C ).
A. 与独立 B.
C. D.
4. 设随机变量的概率分布为

-1
0
1
P

0.5
0.2
则 ( B ).
A. 0.3 B. 0.8 C. 0.5 D. 1
5. 已知随机变量X的概率密度函数为，则= ( D ).
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6.已知随机变量服从二项分布，且，则二项分布中的参数,的值分别为 ( B ).
A. B.
C. D.
7. 设随机变量X服从正态分布N(1，4)，Y服从[0，4]上的均匀分布，则E(2X+Y )= ( D ).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 设随机变量X的概率分布为

0
1
2
P
0.6
0.2
0.2
则D(X+1)= C
A. 0 B. 0.36 C. 0.64 D. 1
9. 设总体，(X1，X2，…，Xn) 是取自总体X的样本，
分别为样本均值和样本方差，则有( B ).

10. 对总体X进行抽样，0，1，2，3，4是样本观测值，则样本均值为( B ).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11. 一个口袋中有10个产品，其中5个一等品，3个二等品，2个三等品.从中任取三个，则这三个产品中至少有两个产品等级相同的概率是0.75___________.
12. 已知P(A)=0.3，P(B)=0.5，P(A∪B)=0.6，则P(AB)=___0.2________.
13. 设随机变量X的分布律为

-0.5
0
0.5
1.5
P
0.3
0.3
0.2
0.2
是的分布函数，则__0.8_________.
14.设连续型随机变量，则期望EX= .
15.设 则P(X+Y≤1) =0.25 .
16.设，则 0.6826 . ()
17.设DX=4，DY=9，相关系数，则D(X+Y) = 16 .
18.已知随机变量X与Y相互独立，其中X服从泊松分布，且DX=3，Y服从参数=的指数分布，则E(XY ) = 3 .
19.设X为随机变量，且EX=0，DX=0.5，则由切比雪夫不等式得=
0.5 .
20.设每颗炮弹击中飞机的概率为0.01，X表示500发炮弹中命中飞机的炮弹数目，由中心极限定理得，X近似服从的分布是 N(5，4.95) .
21.设总体是取自总体X的样本，则 .
22.设总体是取自总体X的样本，记，则 .
23.设总体X的密度函数是，(X1，X2，…，Xn)是取自总体X的样本，则参数的极大似然估计为 .
24.设总体，其中未知，样本来自总体X，和分别是样本均值和样本方差，则参数的置信水平为1-的置信区间为 .
25.已知一元线性回归方程为，且，则 1 .
三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
26. 设随机变量X服从正态分布N(2, 4)，Y服从二项分布B(10, 0.1)，X与Y相互独立，求D(X+3Y).
解：因为，所以.
又X与Y相互独立，故D(X+3Y)=DX+9DY=4+8.1=12.1.
27. 有三个口袋，甲袋中装有2个白球1个黑球，乙袋中装有1个白球2个黑球，丙袋中装有2个白球2个黑球.现随机地选出一个袋子，再从中任取一球，求取到白球的概率是多少？

解：B表示取到白球，A1，A2，A3分别表示取到甲、乙、丙口袋.
由题设知，. 由全概率公式：

四、综合题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
28.设连续型随机变量X的分布函数为 ，
求：(1)常数k； (2)P(0.3<X<0.7)； (3)方差DX.

.解：(1)由于连续型随机变量X的分布函数F(x)是连续函数，所以

即k=1，故

(2) )=0.4；
(3) 因为对于的连续点，，所以

Y
X
1 2 3
0
1
0.2 0.1 0.1
0.3 0.1 0.2
29. 已知二维离散型随机变量(X，Y )的联合分布为

求：(1) 边缘分布；(2)判断 X与Y是否相互独立；(3)E(XY).

解：(1) 因为,
,
所以，边缘分布分别为：
X
0 1
P
0.4 0.6

Y
1 2 3
P
0.5 0.2 0.3

(2)因为
所以，X与Y不独立；
(3)

五、应用题（本大题共1小题，共6分）
30.假设某班学生的考试成绩X(百分制)服从正态分布，在某次的概率论与数理统计课程考试中，随机抽取了36名学生的成绩，计算得平均成绩为=75分，标准差s = 10分.问在检验水平下，是否可以认为本次考试全班学生的平均成绩仍为72分？ ()
解：总体方差未知，检验H0：对H1：，采用t检验法.
选取检验统计量：
由，得到临界值. 拒绝域为：|t|>2.0301 .
因，故接受H0.
即认为本次考试全班的平均成绩仍为72分.

概率论与数理统计（经管类）综合试题三
（课程代码 4183）
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设A，B为随机事件，由P(A+B)=P(A)+P(B)一定得出 ( A ).
A. P(AB)=0 B. A与B互不相容
C. D. A与B相互独立
2.同时抛掷3枚硬币，则恰有2枚硬币正面向上的概率是 ( B ).
A. B. C. D.
3.任何一个连续型随机变量X的分布函数F(x)一定满足 ( A ).
A. B.在定义域内单调增加
C. D.在定义域内连续
4.设连续型随机变量，则= ( C ).
A. 0.5 B.0.25 C. D.0.75
5.若随机变量X与Y满足D(X+Y)=D(X-Y)，则 ( B ).
A. X与Y相互独立 B. X与Y不相关
C. X与Y不独立 D. X与Y不独立、不相关
6.设,且X与Y相互独立，则D(X+2Y)的值是 ( A ).
A. 7.6 B. 5.8 C. 5.6 D. 4.4
7.设样本来自总体，则~ ( B ).
A. B. C. D.
8.假设总体X服从泊松分布，其中未知，2,1,2,3,0是一次样本观测值，则参数的矩估计值为 ( D ).
A. 2 B. 5 C. 8 D. 1.6
9.设是检验水平，则下列选项正确的是 ( A ).
A.
B.
C.
D.
10.在一元线性回归模型中，是随机误差项，则E= ( C ).
A. 1 B. 2 C. 0 D. -1
二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11.一套4卷选集随机地放到书架上，则指定的一本放在指定位置上的概率为 .
12.已知P(A+B)=0.9，P(A)=0.4，且事件A与B相互独立，则P(B)= .
13.设随机变量X~U[1，5]，Y=2X-1，则Y~ Y~ U[1，9] .
14.已知随机变量X的概率分布为
X
-1 0 1
P
0.5 0.2 0.3
令，则Y的概率分布为
Y
0 1
P
0.2 0.8
.
15.设随机变量X与Y相互独立，都服从参数为1的指数分布，则当x>0,y>0时，(X,Y)的概率密度f(x, y)= .
16.设随机变量的概率分布为
X
-1 0 1 2
P
0.1 0.2 0.3 k
则EX= 1 .
17.设随机变量X~，已知，则= .
18.已知则相关系数= 0.025 .
19.设R.V.X的期望EX、方差DX都存在，则 .
20. 一袋面粉的重量是一个随机变量，其数学期望为2(kg)，方差为2.25，一汽车装有这样的面粉100袋，则一车面粉的重量在180(kg)到220(kg)之间的概率为 0.816 . ()
21.设是来自正态总体的简单随机样本，是样本均值，是样本方差，则______t(n-1)____.
22.评价点估计的优良性准则通常有 无偏性、有效性、一致性（或相合性） .
23.设(1, 0, 1, 2, 1, 1)是取自总体X 的样本，则样本均值= 1 .
24.设总体，其中未知，样本来自总体X，和分别是样本均值和样本方差，则参数的置信水平为1-的置信区间为 .
25.设总体，其中未知，若检验问题为， 则选取检验统计量为 .
三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
26.已知事件A、B满足：P(A)=0.8，P()=0.6，P(B|A)=0.25，求P(A|B).

解：P(AB)=P(A) P(B|A)= 0.8×0.25=0.2.
P(A|B)=.

27.设二维随机变量(X, Y)只取下列数组中的值：(0,0), (0,-1), (1,0), (1,1),且取这些值的概率分别为0.1,0.3,0.2,0.4.求：(X,Y)的分布律及其边缘分布律.

解：由题设得，(X, Y)的分布律为：

Y
X
-1 0 1
0
1
0.3 0.1 0
0 0.2 0.4

从而求得边缘分布为：

X
0 1
P
0.4 0.6
Y
-1 0 1
P
0.3 0.3 0.4

四、综合题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
28.设10件产品中有2件次品，现进行连续不放回抽检，直到取到正品为止.求：(1)抽检次数X的分布律；
(2) X的分布函数；
(3)Y=2X+1的分布律.
解：(1)X的所有可能取值为1，2，3.且

所以，X的分布律为：

X
1 2 3
P

(2)当时，；
当时，；
当时，；
当时，.
所以，X的分布函数为：
.
(3)因为Y=2X+1，故Y的所有可能取值为：3，5，7.且

得到Y的分布律为：

Y
3 5 7
P

29.设测量距离时产生的误差（单位：m），现作三次独立测量，记Y为三次测量中误差绝对值大于19.6的次数，已知.
(1)求每次测量中误差绝对值大于19.6的概率p；
(2)问Y服从何种分布，并写出其分布律；
(3)求期望EY.
解：(1)
.
(2)Y服从二项分布B(3，0.05). 其分布律为：

(3)由二项分布知：

五、应用题（本大题共10分）
30.市场上供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%；甲厂产品的合格品率为90%，乙厂的合格品率为95%，若在市场上买到一只不合格灯泡，求它是由甲厂生产的概率是多少？

解：设A表示甲厂产品，表示乙厂产品，B表示市场上买到不合格品.
由题设知：
由全概率公式得：

由贝叶斯公式得，所求的概率为：
.

概率论与数理统计（经管类）综合试题四
（课程代码 4183）
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设A，B为随机事件，且P(A)>0，P(B)>0，则由A与B相互独立不能推出( A ).
A. P(A+B)=P(A)+P(B) B. P(A|B)=P(A)
C. D.
2.10把钥匙中有3把能打开门，现任取2把，则能打开门的概率为 ( C ).
A. B. C. D. 0.5
3.设X的概率分布为，则c= ( B ).
A. B. C. D.
4.连续型随机变量X的密度函数，则k= ( D ).
A. 0.5 B. 1 C. 2 D. -0.5
5.二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为，则(X,Y)关于X的边缘密度 ( A ).
A. B. C. D.
6.设随机变量的概率分布为
X
0 1 2
P
0.5 0.2 0.3
则DX= ( D ).
A. 0.8 B. 1 C. 0.6 D. 0.76
7.设，且X与Y相互独立，则E(X-Y)与D(X-Y)的值分别是 ( B ).
A. 0，3 B. -2，5 C. -2，3 D.0，5
8.设随机变量其中，则
( B ).
A. B.
C. D.
9.设样本来自总体，则~ ( C ).
A. B. C. D.
10.设样本取自总体X，且总体均值EX与方差DX都存在，则DX的矩估计量为 ( C ).
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11.设袋中有5个黑球，3个白球，现从中任取两球，则恰好一个黑球一个白球的概率为 .
12.某人向同一目标重复独立射击，每次命中目标的概率为p(0<p<1),则此人第4次射击恰好第二次命中目标的概率是 .
13.设连续型随机变量X的分布函数为，则其概率密度为
.
14.设随机变量X与Y相互独立，且,则随机变量2X+Y~
N(1，25)； .

15.设二维随机变量(X,Y)的概率分布为
Y
X
1 2 3
-1
0
1
0.1 0.2 0 0.1 0.1 0.2
0.2 0 0.1

则协方差Cov(X,Y)= 0 .
16.设(泊松分布)，（指数分布），，则
= 9.4 .
17.设二维随机变量(X, Y)~，则E(XY2)= .
18.设随机变量X~N(2，4)，利用切比雪夫不等式估计 .
19.设随机变量X1，X2，X3相互独立，且同分布，则随机变量 .
20.设总体X 服从[0,]上的均匀分布,(1, 0, 1, 0, 1, 1)是样本观测值,则的矩估计为__________ .
21.设总体，X1，X2，X3，X4是取自总体X的样本，若是参数的无偏估计，则c =__________ .
22.设总体，样本来自总体X，和分别是样本均值和样本方差，则参数的置信水平为的置信区间为 .
23.设总体，其中未知，若检验问题，样本来自总体X，则选取检验统计量为 .
24.在假设检验问题中，若原假设H0是真命题，而由样本信息拒绝原假设H0，则犯错误 .第一类错误 .
25.在一元线性回归方程中，参数的最小二乘估计是 .
三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
26. 甲乙丙三人独立地向某一飞机射击，他们的射击水平相当，命中率都是0.4.若三人中有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若三人中有两人同时击中，则飞机被击落的概率为0.5；若三人都击中，则飞机必被击落.求飞机被击落的概率.
解：设B表示飞机被击中，Ai表示三人中恰有i个人击中，i=1,2,3.
由题设知：
,
.
.
由全概率公式，得

27. 设总体X的密度函数为
其中是未知参数，求：(1)的矩估计；(2)的极大似然估计.

解：(1),
令，解得的矩估计量为.
(2) 设的一次观测值为且.
则
取对数：，令
解得：的极大似然估计值 ，
的极大似然估计量

四、综合题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
28.设随机变量X～ ，令Y=2X+1，求：(1)分布函数F；(2) EY与DX.
解：(1)当时，，
当时，，
当时，，
当时，.
所以，分布函数为：
；
(2) ，
，
所以，,.

29.在某公共汽车站，甲、乙、丙三人分别独立地等1,2,3路汽车，设每个人等车时间（单位：分钟）均服从[0, 5]上的均匀分布，求(1)一个人等车不超过2分钟的概率；(2)三人中至少有两个人等车不超过2分钟的概率.
解： (1)设X表示一个人等车的时间，则X~U[0，5]，其概率密度为：
.
一个人等车不超过2分钟的概率为：；
(2)设Y表示三个人中等车不超过2分钟的人数，则Y~B(3，0.4).
三人中至少有两个人等车不超过2分钟的概率为：
.

五、应用题（本大题共10分）
30.要测量A，B两地的距离，限于测量工具，将其分成1200段进行测量，设每段测量产生的误差(单位：千米)相互独立，且都服从(-0.5，0.5)上的均匀分布，试求测量A，B两地时总误差的绝对值不超过20千米的概率.
()
解：设Xi“第i段测量产生的误差”（i=1.,2,…,1200).
Xi（i=1.,2,…,1200) 独立同分布，且EXi=0， DX i=1/12.
，
由中心极限定理得：.
所以，.