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不等式的概念及性质知识点详解及练习
一、不等式的概念及列不等式
不等式
1、不等式的概念及其分类
（1）定义：用“＞”、“﹤”、“≠”、“≥”及“≤”等不等号把代数式连接起来，表示不等关系的式子。
a-b>0a>b, a-b=0a=b, a-b<0a<b。 
（2）分类：①矛盾不等式：不等式只是表示了某种不等关系，它表示的关系可能在任何条件下都不成立，这样的不等式叫矛盾不等式；如2＞3，x2﹤0
②绝对不等式：它表示的关系可能在任何条件下都成立，这样的不等式叫绝对不等式；
③条件不等式：在一定条件下才能成立的不等式叫条件不等式。
（3）不等号的类型：
①“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小；
②“＞”读作“大于”，它表示左边的数比右边的数大；
③“﹤”读作“小于”， 它表示左边的数比右边的数小；
④“≥”读作“大于或等于”， 它表示左边的数不小于右边的数；
⑤“≤”读作“小于或等于”， 它表示左边的数不大于右边的数；
注意：要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。
（4）常见不等式基本语言的含义：
①若x＞0，则x是正数；②若x﹤0，则x是负数；③若x≥0，则x是非负数；④若x≤0，则x是非正数；⑤若x-y＞0，则x大于y；⑥若x-y﹤0，则x小于y；⑦若x-y≥0，则x不小于y；⑧若x-y≤0，则x不大于y；⑨若xy＞0（或＞0），则x，y同号；⑩若xy﹤0（或﹤0），则x，y异号；
（5）等式与不等式的关系：
等式与不等式都用来表示现实中的数量关系，等式表示相等关系，不等式表示不等关系，但不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得的关系，不是同类量不能比较。
2、列不等式：
（1）根据已知条件列不等式，实际上就是用不等式表示代数式间的不等关系，重点是抓住关键词，弄清不等关系。
（2）步骤：①正确列出代数式；②正确使用不等号
知识要点
总结
注意问题
不等式的概念
表示不相等关系的式子
1、“不大于”应为“≤”
2、“不小于”应为“≥”
列不等式
两步骤：正确列出代数式；正确使用不等号
解题方法总结
列不等式和列代数式以及列方程有相似之处，一般是先设出未知数，再用代数式表示出相关的量，通过寻找不等关系列出不等式，审题时要抓住关键词。如“不超过”、“不大于”、“不小于”等。
例1：列不等式：①x的2倍与y的差是非正数；②x与3的差不小于5
例2：已知关于x、y的方程组，试列出使x≤y成立的关于m的不等式
二、不等式的解和解集
1、相关概念：
①不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；
②不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围叫做不等式的解的集合，简称解集；
③解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式；
2、不等式的解和解集的区别与联系：
区别：不等式的解是一些具体数值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示。
联系：不等式的每一个解都在它的解集的范围内。
3、用数轴表示不等式的解集：
①x≥-2表示为： ②x≤-2表示为：
③x﹤2表示为： ④x＞2表示为：
特别提示：用数轴表示不等式的解集要注意两点：①定界点：一般在数轴上只标出原点和界点即可，定边界点时要注意点是实心还是空心，若边界点含于集合为实心点，不含于解集为空心点；②定方向：“小于向左，大于向右”。
例1、表示不等式组的解集如图所示，则不等式组的解集是　_________　．

例2、x的解集在数轴上表示为如图所示的不等式组，求x的解集

三、不等式的性质 
1、不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。
（1）不等式基本性质有： 
①一个数大于另一个数，则另一个数一定小于这个数；若a>bb<a (对称性) 
②一个数大于另一个数，另一个数大于其它数，则这个数一定大于其它数；若a>b, b>ca>c (传递性) 
③不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；a>ba+c>b+c (c∈R) 
④不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；c>0时，a>bac>bc 
⑤不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变；c<0时，a>bac<bc。 
特别提示：①、在不等式两边同乘以（或除以）同一个数（或式）时，必须先确定这个数的性质符号，然后再确定是否改变不等号的方向；
②、如果不等式乘以0，那么不等号改为等号，所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不能为0，否则不等式不成立;
（2）、运算性质有： 
① a>b, c>da+c>b+d。 
② a>b>0, c>d>0ac>bd。 
③ a>b>0an>bn (n∈N, n>1)。 
④a>b>0>(n∈N, n>1)。 
应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。 
2、不等式与等式性质的关系
相同
不管是等式还是不等式，都可以在它们的两边同加（减）一个数（整式），所得结果仍成立。
不同
在等式两边同乘（除以）一个正（负）数（整式），等式仍然成立；
在不等式两边同乘（除以）一个正数（整式），不等号方向不变，在不等式两边同乘（除以）一个负数（整式），不等号方向一定改变。
3、不等式性质的应用：主要有以下三类问题： 
(1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。 
(2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。 
(3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。
例1、试判断4m2+4m+5和2(2m+1)的大小 
例2、若关于x的不等式（1-a）x＞2可化为x＜,试确定a的取值范围
不等式的概念及性质练习题
一、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”）
1、不等式两边同时乘以一个整数，不等号方向不变。（ ）
2、如果a＞b，那么3－2a＞3－2b。（ ）
3、如果a是有理数，那么－8a＞－5a。（ ）
4、如果a＜b，那么a2＜b2。（ ）
5、如果a为有理数，则a＞－a。（ ）
6、如果a＞b，那么ac2＞bc2。（ ）
7、如果－x＞８，那么x＞－8。（ ）
8、若a＜b，则a＋c＜b＋c。（ ）
9、 （ ）
10、若 （ ）
11、若 （ ）
12、若 （ ）
13、若 （ ）
14、若 （ ）
15、若 （ ）
二、填空题
1、若，则 ，
2、当 0时，时，
3、若
4、若，则
5、实数a，b在数轴上的位置如图所示，用“＞”或“＜”填空：

a－b____0， a＋b____0，ab____0，a2____b2，____，︱a︱____︱b︱
6、若a＜b＜0，则（b－a）____0
7、用不等式表示“a的5倍与b的和不大于8”为 _______.
8、是个非负数可表示为_______.
9、若
10、若 0
三、选择题
1、在数学表达式①-3<0;②4x+5>0; ③x=3; ④x2+x; ⑤ x-4;⑥ x+2>x+1是不等式的有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2、若m＜ｎ，则下列各式中正确的是（ ）
A．m－3＞ｎ－3 B。3m＞3n C。－3m＞－3n D。m／3－1＞n／3－1
3、若a＜0，则下列不等关系错误的是（ ）
A．a＋5＜a＋7 B。5a＞7a C。5－a＜7－a D。a／5＞a／7
4、下列各题中，结论正确的是（ ）
A．若a＞0，b＜0，则b／a＞0 B．若a＞b，则a－b＞0
C．若a＜0，b＜0，则ab＜0 D．若a＞b，a＜0，则b／a＜0
5、下列变形不正确的是（ ）
A．若a＞b，则b＜a B．－a＞－b，得b＞a
C．由－2x＞a，得x＞－a／2 D．由x／2＞－y，得x＞－2y
6、有理数b满足︱b︱＜3，并且有理数a使得a＜b恒成立，则a得取值范围是（ ）
A．小于或等于3的有理数 B．小于3的有理数
C．小于或等于－3的有理数 D．小于－3的有理数
7、若a－b＜0，则下列各式中一定成立的是（ ）
A．a＞b B．ab＞0 C．a／b＜0 D．－a＞－b
8、若，且，那么在下面不等式①②③④中成立的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9、已知a、b、c都是实数，并且a>b>c，那么下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
10、下列由题意列出的不等关系中, 错误的是( )
A. a不是是负数可表示为a>0 B. x不大于3可表示为x<3
C. m与4的差是非负数, 可表示为x-40 D. 代数式 x2+3必大于3x-7，可表示为x2+3>3x-7
四、解答题
1、用不等式表示下列数量关系。
（1）a与b的和大于a的2倍。 （2）a的与b的的差是负数。
（3）x与y之和的绝对值不大于x的一半的相反数 （4）a与b两数和的平方不能大于3。
（5）3x的绝对值不小于5。 （6）a的6倍与3的差不大于1。
2、若试比较与的大小，与的大小。

3、若且是负数，求的取值范围。
五、应用题
1、某校规定期中考试成绩的40%和期末考试成绩的60%的和作为学生成绩总成绩.该校骆红同学期中数学靠了85分,她希望自己学期总成绩不低于90分,她在期末考试中数学至少应得多少分?

2、某次数学测验,共有16道选择题,评分方法是:答对一题得6分,不大或答错一题扣2分,某同学要想得分为60分以上,他至少应答对多少道题?(只列关系式)

3、有一个两位数，个位上的数是m，十位上的数是n，如果把这个两位数的个位数与十位数对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么m与n哪个大？