弦切角定理+圆幂定理之割线相交弦切割线定理.doc

弦切角定理及其应用
顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角）
弦切角定义
图1
如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都为弦切角。
弦切角定理
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.
如上图，∠PCA=1/2∠COA=∠CBA
弦切角定理证明：
证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。
∵∠TCB=90°-∠OCB
∵∠BOC=180°-2∠OCB
∴,∠BOC=2∠TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）
∵∠BOC=2∠CAB（同一弧所对的圆心角等于圆周角的两倍）
∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）
证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧.
求证：（弦切角定理）
证明：分三种情况：
（1）　圆心O在∠BAC的一边AC上
∵AC为直径，AB切⊙O于A，
∴弧CmA=弧CA
∵为半圆,
∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角

（2） 　圆心O在∠BAC的内部. ( B点应在A点左侧)
过A作直径AD交⊙O于D,
若在优弧m所对的劣弧上有一点E
那么，连接EC、ED、EA
则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB
∴ ∠CEA=∠CAB
∴ （弦切角定理）
（3）　圆心O在∠BAC的外部,
过A作直径AD交⊙O于D
那么 ∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90°
∴∠CDA=∠CAB
∴（弦切角定理）
3弦切角推论
推论内容
若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等
应用举例
例1：如图，在⊙O中，⊙O的切线AC、BC交与点C，求证：∠CAB=∠CBA。
解：⊙O的切线AC、BC交与点C，∴AC=BC（切线长定理）。∴∠CAB=∠CBA。（等腰三角形“等边对等角”）。
例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F. 求证：EF//BC.
证明：连接DF
AD是∠BAC的平分线
∠BAD=∠DAC ∠EFD=∠BAD ∠EFD=∠DAC
⊙O切BC于D ,∠FDC=∠DAC ∠EFD=∠FDC
EF∥BC
例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.
证明：∵AB是⊙O直径 ∴∠ACB=90
∵CD⊥AB ∴∠ACD=∠B，
∵MN切⊙O于C ∴∠MCA=∠B，
∴∠MCA=∠ACD， 即AC平分∠MCD， 同理：BC平分∠NCD。
割线定理
割线定理是现代词，是一个专有名词，指的是从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等，英文“Secant Theorem”。
1定义
文字表达：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。
数学语言：从圆外一点L引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有 LA·LB=LC·LD=LT^2。
几何语言：∵割线LDC和LBA交于圆O于ABCD点
∴LA·LB=LC·LD=LT^2
如右图所示。(LT为切线）
2证明一
已知：如图直线ABP和CDP是自点P引的⊙O的两条割线
求证：PA·PB=PC·PD
证明：连接AD、BC∵∠A和∠C都对弧BD
∴由圆周角定理，得 ∠A=∠C
又∵∠P=∠P
∴△ADP∽△CBP （A，A）
∴AP:CP=DP:BP
即AP·BP=CP·DP

3证明二
既然圆内接四边形定理可以从割线定理而得，那么或许割线定理就可以从圆内接四边形定理而得。
如图所示。
已知：从圆O外一点P引两条圆的割线，一条交圆于A、B，另一条交圆于C、D
求证：AP·BP=CP·DP
证明：连接AC、BD
由圆内接四边形定理得
∠ABD+∠DCA=∠CAB+∠BDC=180°
又∵∠ACP+∠DCA=∠DCP=180°，∠CAP+∠CAB=∠BAP=180°（平角的定义）
∴∠ABD=∠ACP，∠BDC=∠CAP（同角的补角相等）
∴△ACP∽△DBP（两角对应相等的三角形相似）
∴AP/DP=CP/BP（相似三角形对应边成比例）
∴AP·BP=CP·DP（比例基本性质）[1]
4证明三
根据切割线定理求证。
已知：从圆O外一点P引两条圆的割线，一条交圆于A、B，另一条交圆于C、D
求证：AP·BP=CP·DP
过点P作圆O的切线，记切点为T
由切割线定理可知：AP·BP=PT^2，CP·DP=PT^2
所以AP·BP=CP·DP
相交弦定理
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 或：经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等。
1概念
定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等）
几何语言：
若弦AB、CD交于点P
则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）
概述：相交弦定理为圆幂定理之一，其他两条定理为：切割线定理、 割线定理
2证明
证明：连结AC，BD
由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B。（圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.）
∴△PAC∽△PDB
∴PA∶PD=PC∶PB，PA·PB=PC·PD

注：其逆定理可作为证明圆的内接四边形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性。其逆定理也可用于证明四点共圆。

3比较
相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们的推论统称为圆幂定理。一般用于求线段长度。
4相交弦定理推论
定理:如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它所分直径所成的两条线段的比例中项。
几何语言：
若AB是直径，CD垂直AB于点P，
则PC2=PA·PB（相交弦定理推论）

切割线定理
1定理：切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。是圆幂定理的一种。
几何语言：
∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线
∴PT²=PA·PB（切割线定理）
推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
几何语言：∵PT是⊙O切线，PBA，PDC是⊙O的割线
∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理）
由上可知:PT2=PA·PB=PC·PD
2证明
切割线定理证明:
设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT²=PA·PB
证明：连接AT, BT
∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理)
∠APT=∠APT(公共角)
∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)
则PB：PT=PT：AP
即：PT 2 =PB·PA