概率论与数理统计期末复习资料.pdf

概率统计、概率论与数理统计、随机数学课程期期 末末 复复 习习 资资 料料注：以下是考试的参考内容，不作为实际考试范围，考试内容以教学大纲和实施计划为准；注明“了解”的内容一般不考。1、能很好地掌握写样本空间与事件方法，会事件关系的运算，了解概率的古典定义2、能较熟练地求解古典概率；了解概率的公理化定义3、掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的概念；掌握加法公式与乘法公式4、能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的概念及性质。5、理解随机变量的概念，能熟练写出(01)分布、二项分布、泊松分布的分布律。6、理解分布函数的概念及性质，理解连续型随机变量的概率密度及性质。7、掌握指数分布(参数)、均匀分布、正态分布，特别是正态分布概率计算8、会求一维随机变量函数分布的一般方法，求一维随机变量的分布律或概率密度。9、会求分布中的待定参数。10、会求边缘分布函数、边缘分布律、条件分布律、边缘密度函数、条件密度函数，会判别随机变量的独立性。11、掌握连续型随机变量的条件概率密度的概念及计算。12、理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布函数及其性质，理解二维离散型随机变量的联合分布律及其性质，理解二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。13、了解求二维随机变量函数的分布的一般方法。14、会熟练地求随机变量及其函数的数学期望和方差。会熟练地默写出几种重要随机变量的数学期望及方差。15、较熟练地求协方差与相关系数.16、了解矩与协方差矩阵概念。会用独立正态随机变量线性组合性质解题。17、了解大数定理结论，会用中心极限定理解题。18、掌握总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念，掌握样本均值与样本方差及样本矩概念，掌握2分布(及性质)、t 分布、F 分布及其分位点概念。19、理解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理；会用矩估计方法来估计未知参数。20、掌握极大似然估计法，无偏性与有效性的判断方法。21、会求单正态总体均值与方差的置信区间。会求双正态总体均值与方差的置信区间。23、明确假设检验的基本步骤，会 U 检验法、t 检验、检验法、F 检验法解题。224、掌握正态总体均值与方差的检验法。概率论部分必须要掌握的内容以及题型1古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。2概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。3准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。4一维、二维离散型随机变量的分布律，连续型随机变量的密度函数性质的运用。分布中待定参数的确定，分布律、密度函数与分布函数的关系，联合分布与边缘分布、条件分布的关系，求数学期望、方差、协方差、相关系数，求函数的分布律、密度函数及期望和方差。5会用中心极限定理解题。6熟记(0-1)分布、二项分布、泊松分布的分布律、期望和方差，指数分布(参数)、均匀分布、正态分布的密度函数、期望和方差。数理统计部分必须要掌握的内容以及题型1统计量的判断。2计算样本均值与样本方差及样本矩。3熟记正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理。4会求未知参数的矩估计、极大似然估计。5掌握无偏性与有效性的判断方法。6会求正态总体均值与方差的置信区间。7理解假设检验的基本思想和原理，明确正态总体均值与方差的假设检验的基本步骤。概率论部分必须要掌握的内容以及题型1古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。古典概型例子古典概型例子摸球模型摸球模型例 1：袋中有 a 个白球，个黑球，从中接连任意取出 m(ma+)个球，且每次取出的球不再放回去，求第 m 次取出的球是白球的概率;例 2：袋中有 a 个白球，个黑球，c 个红球，从中任意取出(ma+)个球，求取出的 m个球中有 k1(a)个白球、k2(b)个黑球、k3(c)个红球(k1k2k3=m)的概率.占位模型占位模型例：n 个质点在 N 个格子中的分布问题.设有 n 个不同质点，每个质点都以概率 1/N 落入 N个格子(Nn)的任一个之中，求下列事件的概率：(1)A=指定 n 个格子中各有一个质点；(2)B=任意 n 个格子中各有一个质点；(3)C=指定的一个格子中恰有 m(mn)个质点.抽数模型抽数模型例：在 09 十个整数中任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？2概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。如对于事件 A，B，或，已知 P(A)，P(B)，P(AB)，P(AB)，P(A|B)，P(B|A)以及换为ABU或之中的几个，求另外几个。AB例例 1：事件 A 与 B 相互独立，且 P(A)=0.5，P(B)=0.6，求：P(AB)，P(AB)，P(AB)U例例 2：若 P(A)=0.4，P(B)=0.7，P(AB)=0.3，求：P(AB)，P(AB)，U)|(BAP)|(BAP)|(BAP3准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。若已知导致事件 A 发生(或者是能与事件 A 同时发生)的几个互斥的事件 B i，i=1,2,n,的概率 P(B i)，以及 B i发生的条件下事件 A 发生的条件概率 P(A|B i)，求事件 A 发生的概率P(A)以及 A 发生的条件下事件 B i发生的条件概率 P(B i|A)。例例：玻璃杯成箱出售，每箱 20 只。假设各箱含 0、1、2 只残次品的概率相应为 0.8、0.1 和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看 4 只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。4一维、二维离散型随机变量的分布律，连续型随机变量的密度函数性质的运用。分布中待定参数的确定，分布律、密度函数与分布函数的关系，联合分布与边缘分布、条件分布的关系，求数学期望、方差、协方差、相关系数，求函数的分布律、密度函数及期望和方差。(1)已知一维离散型随机变量的分布律 P(X=xi)=pi，i=1,2,n,X确定参数 求概率 P(aXb)求分布函数 F(x)求期望 E(X)，方差 D(X)求函数 Y=g(X)的分布律及期望 Eg(X)例例：随机变量的分布律为.XX1234pk2k3k4k确定参数 k求概率 P(0X3)，31 XP求分布函数 F(x)求期望 E(X)，方差 D(X)求函数的分布律及期望2)3(XY2)3(XE(2)已知一维连续型随机变量的密度函数 f(x)X确定参数求概率 P(aXb)求分布函数 F(x)求期望 E(X)，方差 D(X)求函数 Y=g(X)的密度函数及期望 Eg(X)例例：已知随机变量的概率密度为，X 其他0202xkxxf确定参数 k求概率31 XP求分布函数 F(x)求期望 E(X)，方差 D(X)求函数的密度及期望XY)(XE(3)已知二维离散型随机变量(X，Y)的联合分布律 P(X=xi，Y=yj)=pij，i=1,2,m,；j=1,2,n,确定参数求概率 P(X,Y)G求边缘分布律 P(X=xi)=pi.，i=1,2,m,；P(Y=yj)=p.j，j=1,2,n,求条件分布律 P(X=xi|Y=yj)，i=1,2,m,和 P(Y=yj|X=xi)，j=1,2,n,求期望 E(X)，E(Y)，方差 D(X)，D(Y)求协方差 cov(X,Y)，相关系数，判断是否不相关XY求函数 Z=g(X,Y)的分布律及期望 Eg(X,Y)例例：已知随机变量(X,Y)的联合分布律为YX012300.050.10.150.210.030.050.050.0720.020.050.10.13求概率 P(XY)，P(X=Y)求边缘分布律 P(X=k)k=0,1,2 和 P(Y=k)k=0,1,2,3 求条件分布律 P(X=k|Y=2)k=0,1,2 和 P(Y=k|X=1)k=0,1,2,3求期望 E(X)，E(Y)，方差 D(X)，D(Y)求协方差 cov(X,Y)，相关系数，判断是否不相关XY求 Z=X+Y，W=maxX，Y，V=minX，Y的分布律(4)已知二维连续型随机变量的联合密度函数 f(x,y)X确定参数求概率 P(X,Y)G求边缘密度，判断是否相互独立)(xfX)(yfYYX,求条件密度，)|(|yxfYX)|(|xyfXY求期望 E(X)，E(Y)，方差 D(X)，D(Y)求协方差 cov(X,Y)，相关系数，判断是否不相关XY求函数 Z=g(X,Y)的密度函数及期望 Eg(X,Y)例例：已知二维随机变量(X，Y)的概率密度为，其它,01,),(22yxycxyxf确定常数 的值；c求概率 P(XY)求边缘密度，判断是否相互独立)(xfX)(yfYYX,求条件密度，)|(|yxfYX)|(|xyfXY求期望 E(X)，E(Y)，方差 D(X)，D(Y)求协方差 cov(X,Y)，相关系数，判断是否不相关XY5会用中心极限定理解题。例例 1：每次射击中，命中目标的炮弹数的均值为 2，方差为，求在 100 次射击中有 18025.1到 220 发炮弹命中目标的概率例例 2：设从大批发芽率为 0.9 的种子中随意抽取 1000 粒，试求这 1000 粒种子中至少有 880粒发芽的概率。6熟记(0-1)分布、二项分布、泊松分布的分布律、期望和方差，指数分布(参数)、均匀分布、正态分布的密度函数、期望和方差。数理统计部分必须要掌握的内容以及题型1统计量的判断。对于来自总体 X 的样本，由样本构成的各种函数是否是统计量。nXXX,21L2计算样本均值与样本方差及样本矩。3熟记正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理。4会求未知参数的矩估计、极大似然估计。例例：设总体的概率密度为，是来自总体的一个样本，X 其它,010,1xxxfnXX,1LX求未知参数的矩估计量与极大似然估计量.5掌握无偏性与有效性的判断方法。对于来自总体 X 的样本，判断估计量是否无偏，比较哪个更有效。nXXX,21L例例：设是来自总体的一个样本，下列统计量是不是总体均值的无偏估计321,XXXX；3212110351XXX)(31321XXX321XXX)(2121XX 3211214331XXX 求出方差，比较哪个更有效。6会求正态总体均值与方差的置信区间。对于正态总体，由样本结合给出条件，导出参数的置信区间。7理解假设检验的基本思想和原理，明确正态总体均值与方差的假设检验的基本步骤。对于单、双正态总体根据给定条件，确定使用什么检验方法，明确基本步骤。例例：设，u 和未知，(X1，Xn)为样本，(x1,xn)为样本观察值。(1)试写),(2uNX2出检验 u 与给定常数 u0有无显著差异的步骤；(2)试写出检验与给定常数比较是否显著220偏大的步骤。1古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。古典概型例子古典概型例子 摸球模型摸球模型例 1：袋中有 a 个白球，个黑球，从中接连任意取出 m(ma+)个球，且每次取出的球不再放回去，求第 m 次取出的球是白球的概率;分析：本例的样本点就是从 a+中有次序地取出 m 个球的不同取法；第 m 次取出的球是白球意味着：第次是从 a 个白球中取出一球，再在 a+-1 个球中取出 m-1 个球。解：设 B第 m 次取出的球是白球 样本空间的样本点总数：mbaAn 事件 B 包含的样本点：，则 111mbaaACrbaaAaAnrBPmbamba11)(注：本例实质上也是抽签问题，结论说明按上述规则抽签，每人抽中白球的机会相等，同抽签次序无关。例 2：袋中有 4 个白球，5 个黑球，6 个红球，从中任意取出 9 个球，求取出的 9 个球中有 1 个白球、3 个黑球、5 个红球的概率.解：设 B取出的 9 个球中有 1 个白球、3 个黑球、5 个红球 样本空间的样本点总数：=5005915Cn 事件 B 包含的样本点：=240，则 P(B)=120/1001=0.048563514CCCr 占位模型占位模型例：n 个质点在 N 个格子中的分布问题.设有 n 个不同质点，每个质点都以概率 1/N 落入 N个格子(Nn)的任一个之中，求下列事件的概率：(1)A=指定 n 个格子中各有一个质点；(2)B=任意 n 个格子中各有一个质点；(3)C=指定的一个格子中恰有 m(mn)个质点.解：样本点为 n 个质点在 N 个格子中的任一种分布，每个质点都有 N 种不同分布，即 n 个质点共有 Nn种分布。故样本点总数为：Nn(1)在 n 个格子中放有 n 个质点，且每格有一个质点，共有 n!种不同放法；因此，事件 A 包含的样本点数：n!，则 nNnAP!)(2)先在 N 个格子中任意指定 n 个格子，共有种不同的方法；在 n 个格子中放 n 个质点，nNC且每格一个质点，共有 n!种不同方法；因此，事件 B 包含的样本点数：，则nNnNACn!nnNNABP)(3)在指定的一个格子中放 m(mn)个质点共有种不同方法；余下 n-m 个质点任意放在余mnC下的 N-1 个格子中,共有种不同方法.因此，事件 C 包含的样本点数：,mnN)1(mnCmnN)1(则mnmmnnmnmnNNNCNNCCP)1()1()1()(抽数模型抽数模型例：在 09 十个整数中任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？解：考虑次序.基本事件总数为：=5040，设 B=能排成一个四位偶数。410A若允许千位数为 0，此时千位数可在 0、2、4、6、8 这五个数字中任选其一，共有 5 种选法；其余三位数则在余下的九个数字中任选，有种选法；从而共有 5=2520 个。其中，千39A39A位数为 0 的“四位偶数”有多少个？此时个位数只能在 2、4、6、8 这四个数字中任选其一，有 4 种选法；十位数与百位数在余下的八个数字中任选两个，有种选法；从而共有28A4=224 个。因此=2296/5040=0.45628A410283945)(AAABP2概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。例例 1：事件 A 与 B 相互独立，且 P(A)=0.5，P(B)=0.6，求：P(AB)，P(AB)，P(AB)U解：P(AB)=P(A)P(B)=0.3，P(AB)=P(A)P(AB)=0.2，P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=0.8U例例 2：若 P(A)=0.4，P(B)=0.7，P(AB)=0.3，求：P(AB)，P(AB)，U)|(BAP)|(BAP)|(BAP解：P(AB)=0.1，P(AB)U=0.8，=3/7，=4/7，=)|(BAP)()(BPABP)|(BAP)()()()()(BPABPBPBPBAP)|(BAP=2/3)(1)()()(BPBAPBPBAPU3准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。例例：玻璃杯成箱出售，每箱 20 只。假设各箱含 0、1、2 只残次品的概率相应为 0.8、0.1 和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看 4 只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。解：设事件表示“顾客买下该箱”，表示“箱中恰好有 件次品”，。则AiBi2,1,0i，8.0)(0BP1.0)(1BP1.0)(2BP1)|(0BAP54)|(4204191CCBAP。1912)|(4204182CCBAP由全概率公式得；2094.019121.0541.018.0)|()()(iiiBAPBPAP由贝叶斯公式 。85.094.018.0)()|()()|(000APBAPBPABP4(1)例例：随机变量的分布律为.XX1234pk2k3k4k确定参数 k求概率 P(0X3)，P(1X3)求分布函数 F(x)求期望 E(X)，方差 D(X)求函数的分布律及期望2)3(XY2)3(XE解：由，有 k2 k3 k4 k=1 得 k=0.11iip P(0X3)=P(X=1)P(X=2)=0.3，P(1X3)=P(X=2)=0.2 41436.0323.0211.010)(xxxxxxF=3，=10，D(X)=1iiipxXE)(iiipxXE22)(22)()(XEXEY014P0.30.60.1 =12)3(XE(2)例例：已知随机变量的概率密度为，X 其他0202xkxxf确定参数 k求概率 P(1X3)求分布函数 F(x)求期望 E(X)，方差 D(X)求函数的密度函数及期望XY)(XE解：由 =1，有=1，得 k=3/8dxxf)(dxxf)(kdxkx38202 P(1X3)=7/8.31)(dxxf21283dxx 2120800)(3xxxxxF =3/2，=12/5dxxxfXE)()(20383dxxdxxfxXE)()(2220483dxx D(X)=3/2022)()(XEXE其他02043)(5yyyf =)(XEdxxfx)(202583dxx726(3)例例：已知随机变量(X,Y)的联合分布律为YX012300.050.10.150.210.030.050.050.0720.020.050.10.13求概率 P(XY)，P(X=Y)求边缘分布律 P(X=k)k=0,1,2 和 P(Y=k)k=0,1,2,3 求条件分布律 P(X=k|Y=2)k=0,1,2 和 P(Y=k|X=1)k=0,1,2,3求期望 E(X)，E(Y)，方差 D(X)，D(Y)求协方差 cov(X,Y)，相关系数，判断是否不相关XY求 Z=X+Y，W=maxX，Y，V=minX，Y的分布律解：P(XY)=0.1，P(X=Y)=0.2 X 的分布律X012p0.50.20.3Y 的分布律Y0123p0.10.20.30.4X 的条件分布律X|Y=2012p1/21/61/3Y 的条件分布律Y|X=10123p0.150.250.250.35=0.8，=1.4，D(X)=0.76iijjipxXE)(iijjipxXE22)(22)()(XEXE=2，=5，D(Y)=1iijjjpyYE)(iijjjpyYE22)(22)()(YEYE=1.64，cov(X,Y)=0.04iijjjipyxXYE)()()()(YEXEXYE =0.046 相关XY)()(),cov(YDXDYXZ=XY 的分布律Z012345p0.050.130.220.30.170.13W=maxX，Y的分布律W0123p0.050.180.370.4V=minX，Y的分布律V012p0.550.220.23(4)例例：已知二维随机变量(X，Y)的概率密度为，其它,01,),(22yxycxyxf确定常数 的值；c求概率 P(XY)求边缘密度，判断是否相互独立)(xfX)(yfYYX,求条件密度，)|(|yxfYX)|(|xyfXY求期望 E(X)，E(Y)，方差 D(X)，D(Y)求协方差 cov(X,Y)，相关系数，判断是否不相关XY解：由 =1，有=1，得 c=21/4 dxdyyxf),(dxdyyxf),(11212ydyxcdxx P(XY)=0.85102421ydxxdyyy 其它011)1(821421)(42122xxxydyxxfxX其它01027421)(252yyydxxyfyyYX 与 Y 不独立 其它023)(),()|(232|yxyyxyfyxfyxfYYX其它0118)(),()|(24|yxxyxfyxfxyfXXY=0 dxdyyxfxXE),()(11312421ydyxdxx=7/15 dxdyyxfxXE),()(2211412421ydyxdxxD(X)=7/1522)()(XEXE=7/9 dxdyyxfyYE),()(112212421dyyxdxx=7/11 dxdyyxfyYE),()(22113212421dyyxdxx D(Y)=28/89122)()(YEYE=0 dxdyyxfxyXYE),()(112312421dyyxdxxcov(X,Y)=0，=0，X 与 Y 不相关XY5会用中心极限定理解题。例例 1：每次射击中，命中目标的炮弹数的均值为 2，方差为，求在 100 次射击中有 18025.1到 220 发炮弹命中目标的概率解：例例 2：设从大批发芽率为 0.9 的种子中随意抽取 1000 粒，试求这 1000 粒种子中至少有 880粒发芽的概率。解：设这批种子发芽数为，则，由中心极限定理得X)9.0,1000(BX所求概率为。880XP9826.0)108.2()108.2(1)90900880(1数理统计部分必须要掌握的内容以及题型1统计量的判断。2计算样本均值与样本方差及样本矩。3熟记正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理。4会求未知参数的矩估计、极大似然估计。例例：设总体的概率密度为，是来自总体的一个样本，X 其它,010,1xxxfnXX,1LX求未知参数的矩估计量与极大似然估计量.5掌握无偏性与有效性的判断方法。例例：设是来自总体的一个样本，下列统计量是不是总体均值的无偏估计321,XXXX；3212110351XXX)(31321XXX321XXX)(2121XX 3211214331XXX 求出方差，比较哪个更有效。6会求正态总体均值与方差的置信区间。7理解假设检验的基本思想和原理，明确正态总体均值与方差的假设检验的基本步骤。例例：设，u 和未知，(X1，Xn)为样本，(x1,xn)为样本观察值。(1)试写),(2uNX2出检验 u 与给定常数 u0有无显著差异的步骤；(2)试写出检验与给定常数比较是否显著220偏大的步骤。解:(1)1.提出假设ooouuHuuH:,:12.选取统计量 nSuXt/)(03.对给定的显著性水平，查表得)1(2nt4.计算 nsuxt/)(05.判断 若拒绝 反之,接受),1(2ntt;oH.oH(2)1.提出假设 2021202:,:HHo2.选取统计量2022)1(Sn 3.对给定的显著性水平，查表得)1(2n4.计算 .)1(2022sn 5.判断 若拒绝 反之,接受),1(22n;oH.oH