2019届浙江专版高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.3抛物线及其性质讲义.ppt

,10.3,抛物线及其性质,高考数学,考点一抛物线的定义和标准方程,1.抛物线的定义,到一定点,F,和定直线,l,(,F,l,),距离相等,的点的轨迹叫做抛物线.定,点叫做抛物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线.,2.抛物线的标准方程,焦点在,x,轴上,标准方程为,y,2,=2,px,(,p,0).,焦点在,y,轴上,标准方程为,x,2,=2,py,(,p,0).,要根据一次项来判断焦点的位置,若,x,为一次项,则焦点在,x,轴上,若,y,为一,次项,则焦点在,y,轴上.一次项系数大于0时,焦点在正半轴上,系数小于0,时,焦点在负半轴上.,知识清单,考点二抛物线的几何性质,1.双基表,2.点,P,(,x,0,y,0,)和抛物线,y,2,=2,px,(,p,0)的关系,(1),P,在抛物线内(含焦点),2,px,0,.,3.焦点弦:,F,为抛物线的焦点,AB,为抛物线,y,2,=2,px,(,p,0)的焦点弦,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,).,(1),x,1,x,2,=,;,(2),y,1,y,2,=,-,p,2,;,(3)弦长,l,=,x,1,+,x,2,+,p,x,1,+,x,2,2,=,p,即当,x,1,=,x,2,时,弦长最短,为2,p,;,(4)弦长,l,=,(,为,AB,的倾斜角);,(5),+,=,;,(6)以,AB,为直径的圆与抛物线的准线相切;,(7)焦点,F,对,A,B,在准线上射影的张角为90,.,4.,AB,为抛物线,y,2,=2,px,(,p,0)的弦,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),弦中点,M,(,x,0,y,0,),设弦所在,直线斜率存在,为,k,(,k,0).,(1)弦长,l,=,|,x,1,-,x,2,|=,|,y,1,-,y,2,|,;,(2),k,=,;,(3)直线,AB,的方程:,y,-,y,0,=,(,x,-,x,0,);,(4)线段,AB,的垂直平分线方程:,y,-,y,0,=-,(,x,-,x,0,).,抛物线的定义和标准方程的解题策略,1.抛物线定义的应用,抛物线是到定点和定直线的距离相等的点(点不在定直线上)的轨迹,利,用该定义,可有效地实现抛物线上到焦点和到准线的距离的转化,有利,于问题的解决.,2.抛物线标准方程的求法,(1)定义法:根据条件确定动点满足的几何特征,从而确定,p,的值,得到抛,物线的标准方程.,(2)待定系数法:由焦点位置设出标准方程,确定,p,的值.注意抛物线标准,方程有四种形式,从简单化角度出发,焦点在,x,轴上,设为,y,2,=,ax,(,a,0),焦,点在,y,轴上,设为,x,2,=,ay,(,a,0).,方法技巧,方法,1,例1(2017浙江温州十校期末联考,14)若,OAB,的垂心,H,(1,0)恰好为抛,物线,y,2,=2,px,的焦点,O,为坐标原点,点,A,、,B,在该抛物线上,则此抛物线的,方程是,OAB,的面积是,.,解析由,H,(1,0)为抛物线的焦点,得,=1,所以,p,=2,所以抛物线的方程是,y,2,=4,x,.由已知条件可知,A,、,B,关于,x,轴对称,可设,A,B,y,0,0且,y,0,2.由,AH,OB,得,=-1,解得,y,0,=,2,故,OAB,的面积,S,=,4,5=10,.,答案,y,2,=4,x,;10,评析本题考查抛物线的定义和标准方程,抛物线的对称性,三角形垂,心的性质,面积的计算等基础知识,考查推理运算能力.,抛物线的几何性质的解题策略,1.焦半径:抛物线,y,2,=2,px,(,p,0)上一点,P,(,x,0,y,0,)到焦点,F,的距离|,PF,|=,x,0,+,.,2.通径:过焦点,F,且与,x,轴垂直的弦,PQ,叫通径,|,PQ,|=2,p,是所有焦点,弦中最短的.,3.焦点弦的性质:斜率存在时,过点,F,的直线方程为,y,=,k,;斜率,不存在时为通径,一般焦点弦长通过焦半径公式来计算.,例2(2017浙江金华十校调研,15)已知抛物线,y,2,=4,x,的焦点为,F,过焦点,的直线与抛物线交于,A,B,两点,则直线的斜率为,时,|,AF,|+4|,BF,|,取得最小值.,方法,2,解题导引,设直线,AB,方程:,x,=,ty,+1,联立直线与抛物线方程消去,x,由韦达定理和焦,点弦公式用,A,B,两点的纵坐标表示|,AF,|+4|,BF,|利用基本不等式得最小值由等号成立的条件得,A,B,两点的纵坐标计算直线斜率得结论,解析设,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),直线,AB,:,x,=,ty,+1,代入,y,2,=4,x,得,y,2,-4,ty,-4=0,所以,y,1,+,y,2,=4,t,y,1,y,2,=-4.,|,AF,|+4|,BF,|=,x,1,+1+4(,x,2,+1)=,x,1,+4,x,2,+5=10+,t,(,y,1,+4,y,2,)=10+,(,y,1,+,y,2,)(,y,1,+4,y,2,)=10,+,(,+4,+5,y,1,y,2,),10+,(2,y,1,2,y,2,+5,y,1,y,2,)=10+,y,1,y,2,=1,当且仅当,=4,即,y,1,=-2,y,2,即,或,时,取等号,此时4,t,=,所以,=,2,故直线,AB,的斜率为,2,.,答案,2,评析本题考查抛物线的焦半径,直线与抛物线的位置关系,韦达定理,直线斜率,利用基本不等式求最值等知识,考查推理运算能力和化归与,转化思想.,与抛物线有关的综合问题的解题策略,与抛物线有关的综合问题主要有以下几个方面:,1.求直线与抛物线的相交弦长,一般是联立直线与抛物线方程,利用韦达,定理和弦长公式|,AB,|=,|,x,1,-,x,2,|=,|,y,1,-,y,2,|(,k,为直线的斜率,且,k,0),进行求解.若求焦点弦长,则利用焦半径公式和韦达定理.如果是求弦长,的取值范围或最值,则要利用判别式大于零,得到相关参变量的取值范,围.,2.求弦所在的直线方程(如中点弦、相交弦等)、弦的中点轨迹等,往往,利用韦达定理和“点差法”,但要注意判别式必须大于零.,3.与直线斜率综合,一般由斜率公式和韦达定理进行转化.,4.求抛物线内接三角形、四边形的面积(或面积的取值范围、最值),一,方法,3,般求出一条弦的长和另一点到这条弦的距离,得三角形面积(四边形一,般分为两个三角形).若是求面积的取值范围或最值,往往把面积表示为,某个参量(斜率、截距等)的函数,转化为求函数的值域或最值.,例3(2017浙江高考模拟训练冲刺卷四,21)设斜率不为零的直线,l,与抛,物线,x,2,=4,y,相交于,A,B,两点,与圆,C,:,x,2,+(,y,-3),2,=,r,2,(,r,0)相切于点,M,且,M,为线,段,AB,的中点.,(1)求,r,的取值范围;,(2)求,ACB,的面积,S,的最大值.,解题导引,(1)由,k,AB,k,CM,=-1和中点坐标公式,得点,M,的纵坐标由点,M,在抛物线内得,点,M,的横坐标的平方的取值范围由两点间的距离公式得结论,(2)联立直线与抛物线方程消去,y,由韦达定理和弦长公式把|,AB,|表示成关于,m,的函数用,r,表示,m,把,S,表示成关于,r,的函数换元,把,S,转化为关于,x,的函数利用导数得,S,的最大值,解析(1)设,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),M,(,m,n,).,因为直线,l,的斜率不为零,所以,m,0.,k,AB,=,=,=,=,=,k,CM,=,由,k,CM,k,AB,=-1,得,=-1,得,n,=1.,又点,M,在抛物线内部,则有,m,2,4,n,=4,所以0,m,2,4,所以,r,2,=,m,2,+(1-3),2,=,m,2,+4(4,8),故,r,的取值范围是(2,2,).,(2)由(1)知,直线,l,的方程为,y,=,(,x,-,m,)+1,与抛物线方程联立得,x,2,-2,mx,+2,m,2,-4=0,所以,所以|,AB,|=,|,x,1,-,x,2,|=,=,故,S,=,|,AB,|,r,=,r,.,又,m,2,=,r,2,-4,所以,S,=,r,2,其中4,r,2,8.,令,x,=,则0,x,2,故,S,=,f,(,x,)=,x,(8-,x,2,)=-,x,3,+4,x,0,x,2.,由,f,(,x,)=-,x,2,+4=-,知函数,f,(,x,)在区间,上为增函数,在区,间,上为减函数,故当,x,=,即,r,=,时,ACB,的面积,S,取最大值,最大值为,.,评析本题考查抛物线的性质,直线与圆的位置关系,直线斜率,直线与,抛物线的位置关系,韦达定理,弦长公式,利用导数求最值等知识,考查推,理运算能力和化归与转化思想.,