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组合数学第01讲比赛中的推理(六年级)
组合数学第01讲_比赛中的推理
知识图谱
组合数学第01讲_比赛中的推理-一、比赛中的推理场次计算总分计算具体赛程积分与名次得失球相关
一：比赛中的推理
知识精讲
比赛中的推理:这些问题有各种不同的形式：有分析对阵情况的，有计算各队积分的，有利用积分排名的，甚至还有讨论进球数、失球数的．不同类型的问题我们应该用不同的方法来处理．
在推理中，画示意图或表格用来分析比赛问题，能够让我们对比赛的情况更为直观明了．
1．比赛分类：
（1）淘汰赛：每场比赛踢掉一支球队，只取第一名．
（2）单循环赛：n支球队，每两队比赛1场，总共比赛场．
（3）双循环比赛：n支球队，每两球比赛2场总共比赛场．
2．与比赛积分有关的推理问题．两种常见的计分法：
（1）2分制计分法：“每场比赛胜者得2分，负者得0分，平局各得1分”．这种情况下，每场比赛无论结果如何，双方总得分都是2分，因此所有选手的总分就等于“比赛场数×2”．
（2）3分制计分法：“每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各的1分”．这种情况下，总分就是“胜负场数×3+平局场数×2”，或者写成“比赛场数×2-平局场数”．
三点剖析
重难点：要注意搞清比赛规则，特别是积分规则，对阵方式，认识总场次、总得分与某个对或人总得分、总场次间的区别与联系．．若是画对阵关系图，注意箭头表胜负，虚线表示平局．
题模精讲
题模一 场次计算
例1.1.1、
某年级8个班级进行足球友谊赛，比赛采用单循环赛制（参加比赛的队每两队之间只进行一场比赛），胜一场得3分，负一场得0分，平一场得1分．某班级共得15分，并以无负局成绩获得冠军，那么该班共胜几场比赛？
答案：
4
解析：
该班赛了7场．假设全是平局，应得7分．每将1场平局替换为胜场，总分增分，故该班共胜场．

例1.1.2、
为弘扬亚运精神，四年级组织了篮球联赛，赛制为单循环制，即每两队之间都要比一场，计划安排15场比赛，应该邀请几个篮球队参加？
答案：
6
解析：
由于，故应该邀请6个篮球队参加．

例1.1.3、
甲、乙、丙、丁与小明五位同学进入象棋决赛．每两人都要比赛一盘，每胜一盘得2分，和一盘得1分，输一盘得0分．到现在为止，甲赛了4盘，共得了2分；乙赛了3盘，得了4分；丙赛了2盘，得了1分；丁赛了1盘，得了2分．那么小明现在已赛了______盘．
答案：
2
解析：
由题意可画出比赛图，已赛过的两人之间用线段连接．
由图看出小明赛了2盘．

例1.1.4、
A，B，C三个篮球队进行比赛，规定每天比赛一场，每场比赛结束后，第二天由胜队与另一队进行比赛，败队则休息一天，如此继续下去．最后结果是A队胜10场，B队胜12场，C队胜14场，则A队共打了几场比赛？
答案：
23场
解析：
因为A队胜10场，所以A队休息和被击败的天数的和是．26是个偶数，结合我们在分析中得到的结论，可以知道A队休息的天数与被打败的天数是相同的，所以A队休息了13天．因为一共有36场比赛，所以A队打了23场比赛．

例1.1.5、
有16位选手参加象棋晋级赛，每两人都只赛一盘．每盘胜者积1分，败者积0分．如果和棋，每人各积0.5分．比赛全部结束后，积分不少于10分者晋级．那么本次比赛后最多有_______为选手晋级．
答案：
11
解析：
一共比赛了120场，每场比赛两个选手总分会得到1分，所以共有120分，理论上来讲，最多能有人，但是没有晋级的人同样也消耗了120分钟的若干分，所以不可能这120分全部是这12个人获得，故最多不可能是12人；于是接下来考虑11人的情况，这样是可以实现的，11人只需110分，而剩下来的5人正好消耗分，加起来120分．（具体的一种情况可以使前11人之间均为平局，然后他们都赢了最后5名，则前11人每人得分都为10分）．

例1.1.6、
五支足球队伍比赛，每两个队伍之间比赛一场；胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．比赛完毕后，发现各队得分均不超过9分，且恰有两支队伍同分．设五支队伍的得分从高到低依次为、、、、（有两个字母表示的数是相同的）．若恰好是15的倍数，那么此次比赛中共有______场平局．
答案：
3
解析：
体育比赛得分问题，首先算出比赛一共10场，总分在20到30分之间．五位数是15的倍数，利用整除性可知，可为0或者5，考虑到最小，如果，总分最小为分，不成立，所以，即第五名4场全负积0分．第五名负四场，则平局最多为6场，总分最少为24分．又考虑到分数和为3的倍数，总分可能情况为30，27，24．对三种情况分别讨论：
（1）总分30分：即无平局情况，那么前四名队伍得分只可能为9，6，3分．不能在只有两个重复的情况下凑出30．所以总分30分情况不存在．
（2）总分27分：经测试，存在，满足题目分数要求，且四个队7场胜3场负，恰好满足第五队的4场负，所以此为一解，比赛3场平局．
（3）总分24分：在24分情况下，只有前四名只能各胜1场平2场，但不满足只有两队得分相同．
所以总分24分情况不存在．
综上，唯一存在总分27分情况下，比赛中共有3场平局．

题模二 总分计算
例1.2.1、
6名同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场，比赛规定胜者得2分，平局各得1分，输者得0分．那么6个人最后得分的总和是_______分．
答案：
30
解析：
无论赛果如何，每场共产生2分．6个人共赛了场，因此总分为分．

例1.2.2、
四支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．比赛结束后，各队的总得分恰好是4个连续的自然数．问：输给第一名的队的总分是多少？
答案：
4分
解析：
如果比赛分出胜负，那么双方得分之和就是3分；如果平局，双方得分之和就是2分．
4支队之间要进行场比赛，那么总分就要在12分和18分之间．各队的总得分就是6场比赛的总得分，因此四支球队的总分也要在12分和18分之间．
由题意，四支球队的得分是4个连续的自然数．而四个连续自然数的和可能是：，，，，…… 在12分和18分之间的只有14和18，因此这四支球队的得分可能是2分、3分、4分、5分，或者3分、4分、5分、6分．这两种情况都可能出现吗？
如果是3分、4分、5分、6分，总分是18分，那么每场比赛都分出了胜负，但这是不可能的，大家自己想想这是为什么？
如果是2分、3分、4分、5分，那么第一名得5分，只能是1胜2平；第二名得4分，只能是1胜1平1负；第三名得3分，可能是1胜2负，也可能是3平；第四名得2分，只能是2平1负．其中只有第三名的比赛结果有两种情况．
综合考虑第一名、第二名、第四名的胜负情况：他们一共有2胜5平2负．由于总胜场数与总负场数相同，所以第三名只能是3平．第三名没有平局，容易画出四支队之间的比赛胜负关系，如图所示．

因此输给了第一名的只有第二名，他得了4分．

例1.2.3、
10名选手参加象棋比赛，每两名选手间都要比赛一次．已知胜一场得2分，平一场得1分，负一场不得分．比赛结果：选手们所得分数各不相同，前两名选手都没输过，前两名的总分比第三名多20分，第四名得分与后四名所得总分相等．问：前六名的分数各为多少？
答案：
17分，16分，13分，12分，11分，9分
解析：
因为前两名选手都没有输过，所以第一名选手的战绩最好是8胜1平，得17分．第二名最多得16分．可知第三名最多得分．
后四名选手之间有6场比赛，每场比赛得2分，一共得12分．所以后四名选手总分最少为12分，从而第四名选手最少得12分．考虑到第三名最多得13分，可知第三名得13分，第四名得12分．于是第一名和第二名总分为33分，也就是第一名得17分，第二名得16分．
10名选手之间一共有45场比赛，总分是90．第五名和第六名的总分是．考虑到每一个的得分都小于第四名的得分12，可知第五名得11分，第六名得9分．
因此前六名的分数分别为17、16、13、12、11、9．

例1.2.4、
有A、B、C、D、E五个队分在同一个小组进行单循环足球赛（每两队只进行一场比赛），为争夺出线权，比赛规则规定：胜一场得3分，平一场各队各得一分，负一场得0分．小组赛结束后，小组中名次在前的两个队出线，请你解答下列问题：
（1）小组赛结束后，若A队的积分为9分，设A队胜m场，平n场，则的值是多少？
（2）小组赛结束后，设5个队的积分总和为x，那么x的范围是什么？
（3）小组赛结束后，若A队的积分为10分，A队能出线吗？请你对A队能否出线作出分析．
答案：
（1）9（2）（3）能
解析：
（1）即为A的总分，故．
（2）共赛场，每场最少产生2个积分，最多产生3个积分，故5个队的积分总和x最小为，最多为，且易知此范围内任何一种情况均可达到．因此，x的范围是．
（3）假设A无法出线，则至少有两队的得分不低于10分，即此三队总分至少为分，进而另两队总分最多为分．但另两队之间会比一场，不可能都积0分，矛盾．因此假设不成立，即A一定能出线．

题模三 具体赛程
例1.3.1、
甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘．到现在为止，甲已经赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘．问：小强已经赛了几盘？分别与谁赛过？
答案：
2；甲，乙
解析：
用5个点代表5人，实线代表两人比过，虚线则为没比过．甲与每人都比过，这样丁只与甲比过，乙未与丁比，与另三人比过，进而丙只与甲、乙比过．最终得小强与甲、乙比过2盘．

例1.3.2、
今有6支球队进行单循环赛，每两队仅赛一场，胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．比赛结束，各队得分由高到低恰好是等差数列（排名相邻两队得分差相等），其中第三名得8分．这次比赛中平局共有几局？
答案：
3
解析：
第三名5场得8分，故最多胜2场．假设其只胜1场，则其积分最多为分，矛盾，因此第三名只能为2胜2平1负．共比了场，故所有队总分最多为分．前五名总分为分，进而第六名最多为分，且与第三名差3个公差，只能为2分．这样，所有队总分为分，平局有局．

例1.3.3、
五个国家足球队A、B、C、D、E进行单循环比赛，每天进行两场比赛，一队轮空．已知第一天比赛的是A与D，C轮空；第二天A与B比赛，E轮空；第三天A与E比赛；第四天A与C比赛；B与C的比赛在B与D的比赛之前进行．那么C与E在哪一天比赛？
答案：
第五天
解析：
列表分析，用*表示轮空．

题模四 积分与名次
例1.4.1、
A、B、C、D四支球队进行足球比赛，每两队都要比赛一场．已知A、B、C三队的成绩分别是：A队2胜1负，B队2胜1平，C队1胜2负．那么D队的成绩是________胜．
答案：
0
解析：
D显然有1平．共赛了场，A、B、C共胜5场，再加上1场平局，已经达到6场，因此D没有获胜．

例1.4.2、
东亚四强赛是由中国、韩国、日本、朝鲜四个国家球队之间进行的一次单循环制比赛，即每支球队都必须分别和其他球队比赛一场．请问：东亚四强赛总共需要比多少场比赛？如果每赢一场得3分，平一场得一分，输一场得0分，那么第一名最多可以的多少分？最少可以得多少分？
答案：
9；3
解析：
易知第一名最多为分．若所有比赛均为平局，显然第一名为分．假设某队只得2分、1分或0分，则其至少输了1场，故必有1队至少积3分，因此3分以下不可能为第一名．综上，第一名最多9分，最少3分．

例1.4.3、
A、B、C、D四支足球队进行一次单循环比赛，赢一场得2分，平局各得1分，输一场不得分．所有比赛结束后，按积分高低排名，A、B两队并列最后一名，C队第二名，D队第一名．那么A队最多得多少分？
答案：
2
解析：
共赛了场，各队总积分为分．A队得分必低于平均分分，即最多2分．易知2分是可达的，如D胜A、B，其余比赛均为平局即可．因此，A队最多得2分．

例1.4.4、
一张有4人参加的国际象棋单循环比赛的积分表如下，每场比赛胜者得3分，负者减1分，平局则两人各得1分．

（1）填出表内空格中的分值．
（2）排出这次比赛的名次．
答案：
（1）见下表（2）余张赵陈

解析：
若a胜b，则b负于a；若a与b战平，则b与a也战平．由此易将表格补全，进而得到名次．

例1.4.5、
热火队和雷霆队为了争夺NBA总决赛的冠军，斗得难分难解．在今天晚上的比赛中：
（1）两队都没有换过人；
（2）除了三名队员外，其他队员得分都互不相同．这三名队员都得了22分，但是不在同一个队中；
（3）全场最高个人得分是30分，只有三名队员得分不到20分；
（4）热火队中，得分最多和得分最少的球员只相差3分；
（5）雷霆队每人的得分正好组成一个等差数列．
这场比赛__________队胜，他们的比分是___________________．
答案：
雷霆，
解析：
综合条件，可以得到雷霆队得分组成的等差数列的公差只能是4分，队员分别得分为30、26、22、18、14，而热火队得分为22、22、21、20、19．所以雷霆队与热火队的比分是110:104．

例1.4.6、
世界杯足球小组赛，每组四个队进行单循环比赛（即每个队都与同组的其它三个队各赛一场）．每场比赛胜队得3分，败队得0分，若打成平局，则两队各得1分，小组赛全赛完后，总积分高的两个队出线进入下一轮比赛．如果总积分相同，则还要依次按净胜球多少和进球数多少来排序．试问：
（1）每组小组赛需要比赛几场？
（2）一个队的积分情况有哪几种可能？
（3）若某队只积3分，那么该队的输赢情况有哪几种可能（不考虑三场比赛的先后顺序）？
（4）若某队只积3分，那么该队有可能出线吗？请简单叙述理由．
（5）至少需要积多少分才能保证一定出线？请简单叙述理由．
（6）至少需要积多少分才有可能出线？请简单叙述理由．
答案：
（1）6（2）0至7分与9分均有可能，共9种（3）1胜2负或3平，共2种（4）可能（5）7（6）2
解析：
（1）场．
（2）可能为、、、、、、、、、，共9种．
（3），故可能为1胜2负或3平．
（4）可能，如6场均为平局，每队均为3分，则必有2只可以出线．
（5）7分．9分显然小组第一出现．若为7分，其战胜的两支球队最多为6分，故7分可确保前两名．若1队3负，另3队均为2胜1负，则必有1只积6分的无法出线．
（6）2分．若一支球队全胜，另三只均为2平1负，则必有2分的可以出线．而若积1分或0分，其至少输给过2只球队，那两只至少3分，排名一定在前，即此时必无法出线．

题模五 得失球相关
例1.5.1、
现有A、B、C共3支足球队举行单循环比赛，即每两队之间都要比赛一场．比赛积分的规定是胜一场积2分，平一场积1分，负一场积0分．图1是一张记有比赛详细情况的表格．但是，经过核对，发现表中恰好有4个数字是错误的，请你把正确的结果填入图2中．

答案：
<
解析：
对于A，赛2场，2胜1平0负，这里至少有一个数字有误，如果只有一个数字有误，那有三种可能：（1）赛3场，2胜0负1平；（2）赛2场，1胜0负1平；（3）赛2场，2胜0负0平．对于（1）、（3）两种情况，后面的积分都是错误的，对于（2）这种情况，后面的进球是错误的，所以对A来说，至少有两个数字是错误的．
对于C，赛1场，0胜2平1负，这里至少有一个数字有误，如果只有一个数字有误，那有两种可能：（1）赛3场，0胜2平1负；（2）赛1场，0胜0平1负．无论哪种情况，后面的积分都是错误的，所以对C来说，也至少有两个数字是错误的．A和C一共至少有4个错误的数字，而总共只有4个数字错误，所以它们各错了两个，B的数字全部正确．
三个球队打单循环，每支球队的比赛场数不多于2．对A来说，如果它的两个错误全部出现在前4个数字上，那么它进0球就是对的，所以它没有赢．这时它最多平2场得2分，这样积分出错，矛盾．因此前4个数字只有一个错误，那它的结果是一胜一平或者两胜．如果A的比赛结果是2胜，那进球数是错的，积分也是错的，一共有3个错误，所以A的比赛结果是一胜一平，另一个错误的数字是进球数．
用类似的方法可以写出正确的表格，如图所示．

我们还容易看出，A平C而胜了B，B胜了C而负于A，C平了A而负于B．再从C的进球数与失球数就可以判断出三场比赛比分分别是：
Avs B
Avs C
Bvs C

例1.5.2、
A、B、C三队比赛篮球，A队以83∶73战胜B队，B队以88∶79战胜C队，C队以84∶76战胜A队，三队中得失分率最高的出线．一个队的得失分率为，如，A队得失分率为．三队中__________队出线．
答案：
A
解析：
这道题没必要算出三队得失分率，得失分率就是衡量一个球队总共是赢了还是输了．A：赢了10分，输了8分，一共赢了2分．B：赢了9分，输了10分，一共输了1分．C：赢了8分，输了9分，一共输了1分，所以A的得失分率最大．

随堂练习
随练1.1、
6支足球队，每两队间至多比赛一场．如果每队恰好比赛了2场，那么符合条件的比赛安排共有_________种．
答案：
70
解析：
把六个球队看做六个点，这之间进行连线．则可能形成一个六边形或者两个三角形．如果形成一个六边形，则有种；如果形成两个三角形，则有种．
所以共有种．

随练1.2、
六个人传球，每两人之间至多传一次，那么最多共进行____次传球．
答案：
13
解析：
本题是一道比赛场数计数问题，“每两个之间至多传一次”让六个人最多次地传球，则是5+4+3+2+1=15次．但得看是否可传递回去，在传递过程中同两人是否重复．（15条线，代表传球15次）根据一笔画问题：一笔画要求只有2个奇点（不需要回到出发点时）或0个奇点（需要回到出发点时），行不通．所以应减少奇点个数，共有6个奇点，应该去掉两条两条直线，即去掉了4个奇点，剩下2个奇点，可以传递成功，共15-2=13次传球．

随练1.3、
五支球队进行足球比赛，每两支队之间都要赛一场，那么每支队要赛几场？一共要进行多少场比赛？若这五支球队进行淘汰赛，为了决出冠军，一共需要进行多少场比赛？
答案：
4；10；4
解析：
每支队要赛场，共进行场．淘汰赛每场淘汰1支球队，故为了决出冠军，一共需要进行场淘汰赛．

随练1.4、
6支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．请问：
（1）各队总分之和最多是__________分，最少是__________分。
（2）如果在比赛中出现了6场平局，那么各队总分之和是__________。
答案：
（1）最多45分，最少30分（2）39分
解析：
（1）从6支队中任意选出两支球队都要进行一场比赛，所以一共需要比场．
各队总分之和，就是每场比赛得分的总和．我们可以通过分析每一场比赛两支球队得分和的可能，来求出各队总分之和的最大值和最小值．
一场比赛有两种可能，要么分出胜负，要么是平局．如果分出胜负，这场比赛两个队得分的总和是3；如果是平局，两队得分的总和是2．
要想使各队总分之和尽可能大，每场比赛都应该分出胜负，这样总分之和就是．
同理，要想使总分之和尽可能小，每场比赛都应该是平局，总分之和就是．
（2）一共要比赛15场，而其中平局有6场．那么分出胜负的比赛有9场．总分之和是．

随练1.5、
四个足球队进行单循环赛，每两队都要比赛一场，如果踢平，每队各得1分，否则胜队得3分，负队得0分，比赛结果，各队的总得分恰好是四个连续的自然数，那么输给第一名的队的总分是                  分．
答案：
4
解析：
每场产生的积分为2或3，共场比赛，故最终四轮总分在12与18分之间，四队得分为2、3、4、5或3、4、5、6．但若总分为18分则无平局，3、4、5、6显然不满足，故四队依次为5、4、3、2分，且易得第一名1胜2平，第二名1胜1平1负，第四名2平1负．由于总胜场数等于总负场数，故第三名只能是3平，进而可得第一名与第三、四战平，故输给第一名的是第二名，为4分．

随练1.6、
一次象棋比赛共有10位选手参加，他们分别来自甲、乙、丙3个队．每人都与其余9人比赛一盘，每盘胜者得1分，负者得0分，平局各得0.5分．结果乙队平均得分为3.6分，丙队平均得分为9分，那么甲队平均得多少分？
答案：
4.5分
解析：
乙队平均得分是3.6分，且队员个数小于10．那么乙队一定有5个人，否则乙队的总分不是0.5分整数倍，这是不符合实际情况的．
丙队的平均得分为9．考虑到每位选手有9场比赛，每多只能得9分，可以知道丙队每一名队员的得分都是9．但实际上，如果1名选手的得分是9的话，其他选手就都输给了这位选手，得分就不可能是9．换句话说，得分是9的选手最多只有1位．所以丙队只有1个人．
于是甲队有4个人，得分，平均得分为4.5分．

随练1.7、
甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，规则是：两人比赛，另一人当裁判，输者将在下一局中担任裁判，每一局比赛没有平局，已知甲、乙各比赛了4局，丙当了3次裁判，那么第2局的输者是（      ）．
A、
甲

B、
乙

C、
丙

D、
不能确定

答案：
C
解析：
①因为丙当了3局裁判，∴甲与乙对战了；
②因为甲、乙分别比赛了4局，所以甲、乙分别与丙对战了1局，也就是说丙一共比赛了2局；
③因为丙比了2局却当了3局裁判，所以第1局是必定是甲与乙对战，丙当裁判；
④同样的两个人不能连续进行比赛，且只有甲对乙与甲（或乙）对丙依次进行，才能满足上述①，②两步推理中甲对乙比3局，丙比2局的结论；
⑤丙必定了参加了第2局，同时第3局必定是甲对乙，也就是说第2场丙输了．
选C

随练1.8、
天、地、玄、黄4支球队进行单循环比赛，每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局则双方各得1分．已知比赛结果是：天队得7分，地队得5分，玄队得2分，黄队得1分．请问：比赛中有多少场平局？
答案：
3场
解析：
根据题意，每队各比了3场，由得分推出的比赛情况如下：
天队：2胜1平
地队：1胜2平
玄队：2平1负
黄队：1平2负
每个队的情况都是唯一确定的，所以比赛中有场平局．

随练1.9、
五个人进行围棋比赛，每两人只下一局，每赢一局得2分，平局各得1分，输一局不得分．若其中四人一共得了18分，那么另一人得了多少分？
答案：
2
解析：
共比了局，故四人总积分为分，另一人得分．

随练1.10、
八个人进行围棋比赛，每两人下一局，一共要下多少局？如果每赢一局得3分，第一名最多可以得多少分？
答案：
28；21
解析：
每人比了7局，共进行了局．显然，第一名全胜时可得到最高积分，因此最多分．

随练1.11、
六个人进行一次单循环制的乒乓球比赛，请问：这六人一共要进行多少场比赛？如果每赢一场得2分，那么第一名最多可以得多少分？
答案：
15；10
解析：
每人比了5场，共进行了场．显然，第一名全胜时可得到最高积分，因此最多分．

随练1.12、
有A，B，C三支足球队，每两队比赛一场，比赛结果为：
A：两胜，共失2球；
B：进4球，失5球；
C：有一场踢平，进2球，失8球．
则A与B两队间的比分是__________。
答案：

解析：
A队胜了两场，说明它战胜了其它两支球队．C队有一场平局，说明它与B队打平．所以比赛的胜负关系是：A胜B，B平C，A胜C．
三场比赛只有一场平局，这场平局就是一个特殊条件，我们来分析它的比分：
由于是平局，只要知道B队和C队在这场比赛的总进球数，就能知道这场比赛的比分．B、C两队一共进了6个球．A队共失2球，说明这6个球中射进A队大门的有2个，剩下的4个都是在B和C的比赛中打进的．于是这场平局的比分是．B队共进4球失5球，可知它在同A队的比赛中进2球失3球，A与B的比分是．

随练1.13、
“世界杯”足球赛中，甲、乙、丙、丁4支队分在同一小组，在小组赛中，这4支队中的每支队都要与另3支队比赛一场．根据规定：每场比赛获胜的队可得3分；失败的队得0分；如果双方踢平，两队各得1分．已知：
（1）这4支队三场比赛的总得分为4个连续奇数；
（2）乙队总得分排在第一；
（3）丁队恰有两场同对方踢平，其中有一场是与丙队踢平的．
根据以上条件可以推断，总得分排在第四的是（    ）队．
A、
丙

B、
丁

C、
乙

D、
甲

答案：
A
解析：
共场，每场双方积分和最多3分，故总分最多18分，四队只能为1、3、5、7分，总分16分，故共有2场平局．，，，，由于共有2场平局，3的组成只能是，由此易知丁第二，丙第四．所以正确答案是A．

随练1.14、
共有4人进行跳远､百米､铅球､跳高4项比赛，规定每个单项中，第一名记5分，第二名记3分，第三名记2分，第四名记1分．已知在每一单项比赛中都没有并列名次，并且总分第一名共获17分，其中跳高得分低于其他项得分；总分第三名共获11分，其中跳高得分高于其他项得分．总分第二名在铅球项目中的得分是______分．
答案：
3
解析：
四人总分为分，故总分第二名与第四名共分．易知总分第四名至少4分，故第二名至多12分，但第二名要高于11分，故第二名12分．第四名4分，其各项均为第四．第一名的17分必为3个第一1个第3，即跳高第三．若11分的跳高第二，即得3分，其总分不高于，矛盾，故总分第三名的跳高排第一，其另三项总分6分，每项均为第三，进而第二名在铅球项目中的得分是3分．

随练1.15、
有A､B､C三个足球队，每两队都比赛一场，比赛结果是：A有一场踢平，共进球2个，失球8个；B两战两胜，共失球2个；C共进球4个，失球5个．
则A_________B､B_________C､C_________A(写比分，如1：0)．
答案：
0：6、3：2、2：2
解析：
易知B胜A､B胜C，A与C战平，B的进球数为．A､C共进6球，B共失2球，故A､C间比赛共进球，比分为2：2，进而A队0：6负于B，C队2：3负于B．

随练1.16、
2014年巴西世界杯足球赛小组赛结束后，东道主巴西所在的A组比赛结果如下所示：

（1）请将表格内空缺处补充完整
（2）根据此表有人猜测克罗地亚对喀麦隆的比分可能是1:0，你认为有可能吗？为什么？
答案：
（1）见下表（2）不可能

解析：
（1）每队胜平负场次和为3场，故喀麦隆胜、平均为0场，且其它队均战胜喀麦隆，胜场至少为1场，这样克罗地亚1胜0平，进而巴西的平局只能是和墨西哥产生，墨西哥1平0负．所有队总胜场与总负场相等，故巴西2胜0负．此外，所有球队总进球数与总失球数相等，因此巴西进球数为个．
（2）不可能，克罗地亚负于巴西与墨西哥，至少净负2球．由于其净胜球为0，故胜朝鲜至少胜2球，1:0不可能出现．

课后作业
作业1、
甲、乙、丙、丁四名同学进行象棋比赛，每两个人都要比赛一场，规定胜者得2分，平局各得1分，输者得0分，请问：
（1）一共有多少场比赛？
（2）四个人最后得分的总和是多少？
答案：
（1）6（2）12
解析：
（1）共场．
（2）每场一定产生2个积分，故四个人最后得分的总和是分．

作业2、
有10名选手参加乒乓球单打比赛，每名选手都要和其它选手各赛一场，而且每场比赛都分出胜负．请问：
（1）总共有__________场比赛。
（2）这10名选手胜的场数能否全都相同？答：__________。（填“能”或“不能”）
（3）这10名选手胜的场数能否两两不同？答：__________。（填“能”或“不能”）
作业3、
甲、乙、丙、丁与小强这5位同学一起参加象棋比赛，每两人都要赛一盘．到目前为止，甲赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘．问：小强已经赛了__________盘。
作业4、
n名棋手进行单循环赛，即任两名棋手间都要赛一场．胜利者得2分，平局各得1分，负者得0分．比赛完成后，前4名依次得8、7、5、4分，则n=__________．
作业5、
A、B、C、D四个队举行足球循环赛(即每两个队都要赛一场)，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．已知：
(1)比赛结束后四个队的得分都是奇数；
(2)A队总分第一；
(3)B队恰有两场平局，并且其中一场是与C队平局．那么，D队得多少分？
作业6、
某小学举行环保知识抢答竞赛，共有甲、乙、丙三个小组参加，一共有30道抢答题，每道题抢答对加4分，抢答错扣1分，不抢答既不扣分也不加分．活动组织方先给三个小组30分的基础分，活动结束时，发现甲组取得总分第一名，可以根据它的得分算出答对的题目数，乙、丙两个小组的分数相同，只比甲组少1分，同时也知乙、丙两组答对的题目不同，请你算一下甲组所得总分最多为___________．
作业7、
甲、乙两队进行象棋对抗赛，甲队的三人是张、王、李，乙队的三人是赵、钱、孙．按照以往的比赛成绩看，张能胜钱，钱能胜李，李能胜孙，但是第一轮的三场比赛他们都没有成为对手．请问：第一轮比赛的分别是谁对谁：______________________________。
作业8、
A，B，C，D，E，F六个国家的足球队进行单循环比赛（即每队都与其他队赛一场），每天同时在3个场地各进行一场比赛，已知第一天B对D，第二天C对E，第三天D对F，第四天B对C．请问：第五天与A队比赛的是哪支队伍？
作业9、
有甲、乙、丙、丁四支球队参加的足球循环赛，每两队都要赛一场，胜者得3分，负者得0分，如果踢平，两队各得1分．现在甲、乙和丙分别得7分、1分和6分．已知甲和乙踢平，那么丁得多少分？
作业10、
四个人进行一次围棋比赛，每两人只下一局．每赢一局得2分，平局各得1分，输一局不得分．若其中三人一共得了8分，那么另一人得了多少分？
作业11、
五位棋手参赛，任意两人都赛过一局．胜一局得2分，败一局得0分．和一局得1分，按得分多少排名次，已知第一名没下过和棋；第二名没输过，第四名没赢过．五名棋手的得分是第一名____分､第二名____分､第三名____分､第四名____分､第五名____分．
作业12、
五支足球队进行循环赛，即每两个队之间都要赛一场．每场比赛胜者得2分，输者得0分，平局两队各得1分．比赛结果各队得分互不相同．已知：
①第一名的队没有平过；
②第二名的队没有输过；
③第四名的队没有胜过．
问：第一名至第五名各得多少分？全部比赛共打平过几场？
作业13、
一次足球赛，有A，B，C，D四个队参加，每两队都赛一场．按规则，胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分．比赛结束后，B队得5分，A队得1分．所有场次共进了9个球，B队进球最多，共进了4个球，C队共失了3个球，D队1个球也未进，A队与C队的比赛比分是．问：A队与B队的比赛比分是多少？
作业14、
2015年亚洲杯足球赛小组赛中国队被分在B组，同组四支球队举行单循环比赛，下表给出小组赛结束之后比赛结果：

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